Пусть 
пространство финитных функций.
Опр. Лин. непрерыв. функционал на пространстве будем наз-ть обобщённой функцией(на числовой оси 
).
Множество всех обобщённых функций, в силу данного выше определения, образует сопряженное множество 
к пространству финитных функций .
Если 
– обобщённая функция и 
, то число 
называют значением обобщённой функции f на финитной функции x.
Отметим, что часто вместо в математической литературе применяются обозначения <f,x> или <f(t),x(t)>, а в технической - 
или 
.
Для того чтобы линейный функционал на пространстве D был бы обобщённый функцией, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий:
1. Для любой последовательности (
) сходящейся к нулю в пространстве D числовая последовательность (
) сходится к нулю.
2. Функционал ограничен.
3. Для любого натурального числа n функционал непрерывен на пространстве 
, то есть выполняется следующее условие:
. Если в условии (3) взять m,не зависящее от n, что эквивалентно условию 
, то функционал f наз-ся обобщённой функцией конечного порядка сингулярности, причём наименьшее m, при котором выполняется (2), наз-ся порядком сингулярности обобщённой функции f. Обобщённые функции, не являющиеся обобщёнными функциями конечного порядка сингулярности, наз-т обобщёнными функциями бесконечного порядка сингулярности.
Функция, определённая на числовой оси, будет наз-ся обычной, если она интегрируема по Лебегу на любом конечном интервале числовой оси.
Пусть f- обычная функция. Сопоставим ей функционал 
на пространстве D по следующей формуле: 
() (3).
Так как f- обычная функция, а функция x финитна, то интеграл в правой части равенства (3) существует и конечен.
Линейность функционала следует из линейности интеграла.
Докажем, что функционал непрерывен. Пусть 
. Из определяющего равенства (3) имеем 
, где ради краткости введено обозначение 
.
Из получ. нерав-ва следует, что -обобщ. ф-ция нулевого порядка сингулярности.Т.о., каждой обычной функции мы сопоставили обобщённую функцию, причём нулевого порядка сингулярности. Такие обобщённый функции называют регулярными. В этом случае говорят, что регулярная обобщённая функция порождена обычной функцией f. Обобщённые функции, не являющиеся регулярными, наз-ся сингулярными обобщёнными функциями.
Примеры не регулярных обобщённых функций:
1. 
-функция. Обобщённая функция , называемая дельта-функцией, или дельта-функцией Дирака, которая определяется равенством 
2. Смещенная -функция. Зафиксируем 
и определим обобщённую функцию 
. обобщённая 
называется смещенной -функцией.
3. Обобщённая функция 
. Функция 
не явл-ся обычной функцией, так как она не интегрируема в окрестности нуля. Однако можно определить обобщённую функцию, обозначаемую , следующим образом: 
где v.p.- означает главное значение в смысле Коши рассм-го интеграла.
4. Обобщённая функция 
5. Обобщённая функция 
