Cтатистическая обработка случайной величины X

Курсовая работа

По Математике

Тема: Статическая обработка данных.

 

 

Выполнил: Яркеев В.И. Гр 52-4

Проверила: Бабий Т.Я, Балуева Г.К.

 

Красноярск 2012

 

 

Пусть в процессе проведения эксперимента в лабораторных условиях были получены результаты ста измерений величины разрывного груза F(г) и диаметра D(мм) места разрыва волокон целлюлозы определенного типа, которые приведены в таблице:

№	F	D	№	F	D	№	F	D	№	F	D
	2,8	0,02		5,4	0,03			0,028		8,6	0,034
	2,8	0,03		5,6	0,034			0,03		8,6	0,026
	3,2	0,02		5,8	0,026			0,032		8,6	0,026
	3,8	0,018		5,8	0,03			0,026		8,8	0,03
		0,018		5,8	0,03		7,2	0,028		8,8	0,034
		0,026			0,026		7,2	0,03		8,8	0,0024
	4,2	0,014			0,02		7,2	0,028		8,8	0,034
	4,2	0,022			0,032		7,2	0,026		8,8	0,023
	4,6	0,03		6,2	0,024		7,4	0,028			0,014
	4,6	0,036		6,2	0,03		7,4	0,03			0,024
	4,6	0,022		6,2	0,02		7,4	0,02			0,024
	4,6	0,046		6,2	0,02		7,6	0,034			0,04
	4,6	0,034		6,2	0,018		7,6	0,032			0,04
	4,8	0,32		6,4	0,044		7,8	0,018			0,014
		0,02		6,4	0,014		7,8	0,03			0,044
		0,03		6,4	0,028		7,8	0,02		11,2	0,026
		0,024		6,6	0,032			0,018		11,2	0,026
		0,05		6,6	0,03			0,02		11,4	0,024
		0,018		6,6	0,026			0,03		11,4	0,03
	5,2	0,032		6,6	0,03			0,036		11,6	0,04
	5,2	0,026		6,6	0,02		8,2	0,03		11,6	0,03
	5,2	0,036		6,8	0,034		8,2	0,024		12,8	0,032
	5,2	0,032		6,8	0,026		8,2	0,03		12,8	0,038
	5,4	0,032		6,8	0,02		8,2	0,02			0,04
	5,4	0,034		6,8	0,02		8,4	0,03			0,05

Обозначим через Х- величину разрывного груза, Y- диаметр места разрыва, n- число проведенных измерений, X u Y – одномерные случайные величины.

Cтатистическая обработка случайной величины X.

1. Проведем первичную обработку данных.

Xmin=2,8; Xmax=16.

Все остальные значения наблюдаемой величины находятся в промежутке [Xmin;Xmax]. Разобьем отрезок на интервалы равной длины.

Найдем длину частичного интервала.

 

 

За начало первого интервала a0 возьмем значение случайно величины, равное Xmin-h/2

Для каждого из полученных интервалов найдем правый конец по формуле аi=аi-1+h, i=1,….11.

Будем считать полученные интервалы закрытыми слева.

Далее подсчитаем число значений случайно величины X, попавших в каждый из полученных интервалов (используем функцию ЧАСТОТА).

Вычислим относительные частоты W(i)=n(i)/n

Также для составления дискретного ряда распределения случайной величины найдем середины полученных интервалов x(i).

Результаты вычислений представим в таблице (2).

 

Таблица 2.

 

N	интервалы	n(i)	w(i)	x(i)
	2,14	3,46		0,03	2,8
	3,46	4,78		0,1	4,12
	4,78	6,1		0,2	5,44
	6,1	7,42		0,28	6,76
	7,42	8,74		0,17	8,08
	8,74	10,06		0,1	9,4
	10,06	11,38		0,04	10,72
	11,38	12,7		0,04	12,04
	12,7	14,02		0,02	13,36
	14,02	15,34			14,68
	15,34	16,66		0,02
Сумма

 

 

2. Построим гистограмму и полигон относительных частот:

 

 

 

 

3. Вычислим числовые характеристики выборки.

Выборочная средняя отображает положение центра распределения опытных данных и является оценкой математического ожидания.

Выборочная дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно выборочной средней и является оценкой дисперсии.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса служат для сравнения эмпирического распределения случайной величины с нормальным, для которого они равны нулю.

Для удобства вычислений числовых характеристик выборки составим таблицу (3).

Таблица 3.

x(i)	n(i)	x(i)*n(i)	(x(i)-x(вх))^2*n(i)	(x(i)-x(вх))^3*n(i)	(x(i)-x(вх))^4*n(i)
2,8		8,4	60,426432	-271,1938268	1217,117895
4,12		41,2	100,36224	-317,9475763	1007,257922
5,44		108,8	68,30208	-126,2222438	233,2587066
6,76		189,28	7,805952	-4,121542656	2,176174522
8,08		137,36	10,663488	8,445482496	6,688822137
9,4			44,60544	94,20668928	198,9645278
10,72		42,88	47,114496	161,6969503	554,9439333
12,04		48,16	90,326016	429,229228	2039,697292
13,36		26,72	73,738368	447,7393705	2718,673458
14,68
			151,797888	1322,4632	11521,2994
Сумма		728,8	655,1424	1744,295731	19500,07813

 

 

 

 

4. Установим тип распределения случайной величины.

В нашем примере вид полигона позволяет сделать предположение о том, что распределение наблюдаемой величины следует нормальному закону. Проверим эту статическую гипотезу.

Сформулируем нулевую H0 и конкурирующую H1 гипотезы. согласно условию задачи.

H0: распределение случайной величины Х следует по нормальному закону.

H1: случайная величина Х не подчиняется нормальному закону распределения.

Проверим гипотезу H0, пользуясь критерием согласия Пирсона.

Предполагая, что гипотеза H0 верна, найдем теоретические вероятности попадания случайной величины X в интервал по формуле:

 

Где Ф(х)- функция Лапласа.

Затем найдем теоретические частоты np и наблюдаемое значение статистики критерия Пирсона.

 

Для вычисления функции Лапласа используем функцию НОРМСТРАСП.

Также найдем χ^2(кр) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы.

Составим таблицу (4) расчетов.

 

Таблица 4.

Интервалы	n(i)	p(i)	np(i)	(n(i)-np(i))^2\np(i)
2,14	3,46		0,045207	4,520702	0,511543481
3,46	4,78		0,096181	9,618084	0,015165194
4,78	6,1		0,157718	15,77182	1,133508201
6,1	7,42		0,199351	19,93511	3,262705581
7,42	8,74		0,194229	19,42293	0,302251489
8,74	10,06		0,145871	14,58709	1,442464583
10,06	11,38		0,084442	8,444239	2,339021823
11,38	12,7		0,037675	3,767512	0,014346513
12,7	16,66		0,017086	1,708613	3,072933099
Сумма			0,977761	97,7761	12,09393996

 

χ^2(набл)= 12,09393996

χ^2(кр)= 12,59158724

χ^2(набл)< χ^2(кр)

Отсюда следует, при данном уровне значимости выдвинутая гипотеза H0 согласуется с экспериментальными данными.