Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac. Два корені: х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5)/(2a), х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5)/(2a). Координати вершини квадратичної параболи: х_в = - 0,5b:a; у_в = - -0,5b:a.

xy + x + y + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.

xy + x + y + 1 = (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний, то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння ak² + bk + c = 0.

 

Можливість виділення з многочлена лінійних множників пов’язана з наявністю у цього многочлена дійсних коренів.

Властивість 1. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього одночасно виконуються дві умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів многочлена, без вільного члена, парна.

Властивість 2. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього кількість непарних коефіцієнтів многочлена разом із вільним членом, непарна.

Властивість 3. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає цілих коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів многочлена, окрім вільного члена, парна.

Властивість 4. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає натуральних коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член;

1) усі коефіцієнти многочлена разом з вільним членом, одного знаку.

Властивість 5. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами має корінь 1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів разом із вільним членом дорівнює нулю.

Властивість 6. Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами одного знаку має корінь х = -1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів, що стоять при парних степенях змінної, включаючи вільний член, рівна сумі усіх коефіцієнтів, що стоять при непарних степенях змінної.

Властивість 7. Довільний многочлен від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені змінної і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

Властивість 8. Довільний многочлен парного степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами має хоча б два дійсних корені, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені змінної і вільний член – це два числа, що мають різні знаки, при цьому знаки дійсних коренів різні.

Властивість 9. Довільний многочлен f(x) парного степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь, якщо знайдеться таке натуральне n таке, що добуток f(n)f(0)< = 0.

Властивість 10. Якщодовільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами не приймає парні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 11. Якщодовільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає значення тільки одного знаку(або тільки додатні, або тільки від’ємні) при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 12. Довільний многочлен f(x) будь-якого степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з цілими коефіцієнтами має парним значенням наступне число f(а) + f(-а) та парне значення: f(а):а + f(-а):(-а)=0, де а – вільний член многочлена. Тобто, корнем многочлена

f(х):х + f(-х):(-х)=0 є вільний член f(x).

Звертаємо вашу увагу, що рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння одержуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

1)Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі.

Наприклад, у рівнянні n³-n = 3m²+1 для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз

n(n - 1)(n + 1),

ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

2)Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині.

Наприк­лад, у рівнянні

х²+х -1 = 3^2у+1

для довільних натуральних х та у числа, які одер­жуються в лівій частині, закінчуються цифрами 1, 5 і 9, а числа, які одержуються в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

3) Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.

Наприклад, у рівнянні

4^m = 3∙k + 2

ліва частина для довільного натурального m є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого нату­рального k не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі або 0, або 1).

 

 

Довідник. Формули скороченого множення

для трьох змінних

 

Однією з таких якісних характеристик може бути парність.

Наводимо ще такі властивості парності чисел:

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

Таким чином, парність результату суми та різниці натуральних чисел не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.

Добутки двох множників, що містять три змінні

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b - c)= a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)(a + b - c)= (a + b)² – c² = a ² + 2b a + b² – c²;

(a - b + c)(a + b - c)= a² - b² + 2b c – c ² = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a - b - c)= a² + b² + c ² + 2b c – 2ab -2a c = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a + b - c)= a² - b² + c² -2ac =(a - c)² -b²;

 

Деякі факти про розклад цілих многочленів на множники

 

Нехай а₁, а₂, а₂, …, а_n – попарно різні цілі числа. Тоді:

А) многочлен (х - а₁) (х - а₂)(х - а₂) … (х - а_n) - 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Б) многочлен (х - а₁)(х - а₂)(х - а₂) … (х - а_n) + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, окрім наступних випадків:

(х – а)(х – а - 2) + 1 = (х – а - 1)²;

(х - а) (х – а - 1) (х – а - 2)(х - а - 3) + 1 = ((х – а - 1(х – а - 2) – 1)²;

В) многочлен (х - а₁)²(х - а₂)²(х - а₂)² … (х - а_n)² + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Г) якщо р – просте число, то многочлен х^р – х – 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Д) якщо р – просте число, а – натуральне число, що не ділиться на р, то многочлен х^р – х – а – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Є) будь-який многочлен з цілими коефіцієнтами можна записати як суму двох незвідних многочленів.

Тотожності.

1 = m =

m² = m² =

mⁿ =

Добутки трьох множників, що містять три змінні

Завдання 1.

Чому не існує трійки цілих чисел (a; b; c), яка задовольняє такі рівняння:

А) (a+ b)(a + c)(b + c)= 1; Б) (a - b)(a - c)(b - c)= 1;

В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1; В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1;

Г) (a + b)(a + c)(b - c)= 1?

Відповідь. (a+ b)(a + c)(b + c) - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.

 

Завдання 2.

Чи існують трійки цілих чисел (a; b; c), які задовольняє

А) (a - b)(a - c)(b - c)= 2; А) (a - b)(a - c)(b - c)= 0;

 

Відповідь. А) Існують такі трійки чисел: (n; n-1; n-2) (n; n-1; n+1) (n; n+2; n+1), де n - ціле числа. Б) Існують такі трійки чисел: (n; n; k) (k; n; n) (n; k; n), де n, k - цілi числа.

 

 

(a - b)(a - c)(b - c)= a²b -аb² + ac²- a²c + b²c - bc² - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.

(a + b)(a + c)(b + c)= a²b +аb² + ac²+ a²c + b²c + bc² +2abc; - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.

(a - b)(a + c)(b - c)= a²b -аb² - ac²- a²c - b²c + bc² +2abc; - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.

(a - b)(a + c)(b + c)= a²b - аb² + ac²+ a²c - b²c - bc²; - цей вираз завжди парне число, якщо усі змінні – це цілі числа.

 

Завдання 3.

Знайти трійку чисел (a; b; c) яка задовольняє (a - b)(a - c)(b - c)= -1

Сума трьох квадратів із трьох змінних

(a + b + c)² +(a - b - c)² +(a + b - c)² = 3a² + 3b²+ 3c²+ 2а²b + 2аb² -2a²c

цей вираз буде непарним числом, якщо тільки одна змінна є непарне число або усі три змінні є непарними числами.

(a + b + c)(a - b - c)(a + b - c) = a³ - b³ +c³ + а²b - аb² -a²c - c²a - b²c + c²b+2abc;

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b - c)² = a² + b² + c² + 2аb - 2bc -2ac;

(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2аb + 2bc -2ac;

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)³ = a³ + b³+ c³+ 3а²b + 3аb² +3a²c +3ac²+3b²c+3bc²+6abc;

(a - b - c)³ = a³ - b³- c³- 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c-3bc²+6abc;

(a + b - c)³ = a³ + b³- c³+ 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c+3bc²-6abc;

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) = (a² – (b - c)²) (a + b + c)²

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c- а) = 2a²c² +2b²c² +2b²a² – a⁴– b⁴– c⁴

 

Парні та непарні значення квадратного тричлена

Усі три незалежних цілих коефіцієнти a, b, c можуть приймати одне із двох значень: парне або непарне. Всього існує вісім різних випадків запису квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами за критерієм парності:

Всього існує шістнадцять різних випадків цілих значень квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами:

 

 

ax2 + bx + c = f(x), якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

 

a	x2+	b	x+	c	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)

 

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами при парних значеннях змінної приймає таку ж парність, яку має вільний член.

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів, якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Таблиця дає повну картину значень квадратного тричлена при парних значеннях х:

ax2 + bx + c = f(x), якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

 

 

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів, якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Якщо вільний член виражений непарним числом, то значення квадратного тричлена f(2m) = 2q - 1, і ніколи не буде дорівнювати нулю, бо нуль – це парне число.

Оглянемо таблицю значень квадратного тричлена при непарних значеннях зиінної:

ax2 + bx + c = f(x), якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q

 

Або

ax2 + bx + c = f(x), якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1

 

Теорема. Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, то вони мають однакову парність(або обидва корені непарні, або обидва корені парні), якщо b – парне число, і два корені мають різну п арність коренів(тільки один із коренів парний, а другий корінь – непарний), якщо b – непарне число.

Доведення. Випадок 1. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт дорівнює протилежній сумі цих двох парних коренів, а отже має бути записаний як 2m.

Випадок 2. Два цілі корені існують і обидва непарні, тобто 2k-1 i 2n-1. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт дорівнює протилежній сумі цих двох непарних коренів, а отже має бути записаний як 2m.

Випадок 3. Два цілі корені існують і один непарний, а інший парний тобто 2k-1 i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт дорівнює протилежній сумі цих непарного і парного коренів, а отже має бути записаний як 2m-1.

Теорема. Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, і вони обидва парні, тоді вільний член цього многочлена кратний 4.

Доведення. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути рівний добутку цим двом парним кореням, а отже має бути записаний як 4m.

Теорема. Якщо у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду (тобто а = 1) із цілим вільним членом та лінійним коефіцієнтом такими, що обидва непарні, то квадратний тричлен не має цілих коренів.

Доведення. Від супротивного. Припустимо, що цілі корені існують. Тоді у зведеного квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути кратний цілим кореням, а так як він виражений непарним числом, то його дільники це тільки непарні. А сума двох непарних дільників парна, і ця парність рівна парності лінійного коефіцієнта згідно теореми Вієта, що порушує задану умову непарності лінійного коефіцієнта.

Теорема. Якщо у квадратного тричлена стандартного вигляду із цілими коефіцієнтами а та b і с = 2k-1 такими, що обидва а та b однакової парності, то квадратний тричлен не має цілих коренів.

Доведення. Усі значення тричлена при цілих значеннях змінної – непарні!, Тому тричлен ніколи не дорівнюватиме нулю при цілих значеннях змінної.

 

Дивиться сайт для підготовки до ЗНО

http://zno0432.blogspot.com/2015/05/blog-post.html