О с н о в н а т е о р е м а а р и ф м е т и к и

Множина натуральних чисел

Визначення: Множина називається числовою, якщо її елементами являються числа.

Наведемо приклади класичних числових множин:

N - множина натуральних чисел;

Z - множина цілих чисел;

Q - множина раціональних чисел;

І - множина ірраціональних чисел;

R - множина дійсних чисел;

С - множина комплексних чисел.

Між цими множинами встановленні такі відношення:

N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

 

 

В основі розширення числових множин лежать такі принципи: якщо множина А розширюється до множини В, то:

1) А Ì B;

2) операції і відношення між елементами, які виконуються в множині А, зберігаються і для элементів множини В;

3) у множині В виконуються операції, які не виконуються або частково виконуються у множині А;

4) множина В являється мінімальним розширенням множина А, яка володіє властивостями 1) – 3).

Множина натуральних чисел N строго визначається за допомогою аксіом Пеано.

Довідка: Джузеппе Пеано (1858-1932) — італійський математик, якому, крім фор­мулювання аксіом натуральних чисел, належать загальна теорема про існуван­ня розв'язку диференціального рівняння, результати з обґрунтування геометрії. Вперше побудував неперервну криву, що заповнює квадрат.

 

1. Існує натуральне число 1, яке не є наступним ні за яким натуральним числом (натуральний ряд починається з 1).

2. Кожне натуральне число следує тільки за одним і тілько одним натуральним числом (у натуральному ряді немає повторень).

3. За кожним натуральним числом слідує одне і тільки одне натуральне число (натуральный ряд нескінчений).

4. Аксіома індукції. Нехай М Ì N. Якщо:

1) 1 Î М; (початковий елемент належить підмножині натуральних чисел)

2) Для будь-якого елемента а Î М множині М належить і наступний за а элемент а¹, тоді множина М співпадає з множиною натуральних чисел.

Таким чином, множина N = { 1, 2, 3, 4,...}.

Формули сум:

1. 2+4+6+..+ 2к = к(к+1) (сума перших парних натуральних чисел);

2. 1+3+5+..+ 2к -1 = к² (сума перших непарних натуральних чисел);

3. 1+2+3+4+..+ к = (сума перших натуральних чисел);

4. 1²+2²+3²+4²+..+ к ² = (сума квадратів перших натуральних чисел);

5. 1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + к(к + 1) = ;

6. 1³+2³+3³+4³+..+ к ³ = (сума кубів перших натуральних чисел);

7. 1⁴+2⁴+3⁴+4⁴+..+ к ⁴ = (сума четвертих степенів перших к чисел);

8. 1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+..+ к ⁵ = (сума п’ятих степенів перших к чисел);

9. 1⁶+2⁶+3⁶+4⁶+..+ к ⁶ = (сума шостих степенів перших к чисел)

10. 1⁷+2⁷+3⁷+4⁷+..+ к ⁷ = (сума сьомих степенів перших к чисел);

11. 1⁸+2⁸+3⁸+4⁸+..+ к ⁸ = (сума восьмих степенів перших к чисел);

12. 1⁹+2⁹+3⁹+4⁹+..+ к ⁹ = (сума дев’ятих степенів перших к чисел).

 

Зауваження. Іноді непорожню множину N називають множиною чи рядом натуральних чисел, а її елементи – натуральними числа­ми, якщо для неї справджуються такі п 'ять аксіом Пеано.

Аксіома 1. Множина N містить елемент, який називають оди­ницею і позначають 1. (Ця аксіома задає найменший елемент числової множини).

Аксіома 2. Для довільного елемента n з N існує елемент n⁺ з М, який називають наступним за n. (Ця аксіома вказує, що найбільшого натурального числа не існує. Наступне за 1 натуральне число назвемо "два" і позначимо 2, наступне за 2 натуральне число назвемо "три" і позначимо 3 і т. ін. Дана аксіома вказує на очевидний зв'язок між множиною натуральних чисел та лічбою.)

Аксіома 3. Одиниця не є наступним елементом жодного з еле­ментів N.

Аксіома 4. Якщо для довільних двох елементів N відповідні їм на­ступні елементи збігаються, то самі ці елементи рівні.

Аксіома 5. Якщо множина М містить одиницю ряду натураль­них чисел і для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел N –підмножина М. (Зміст 5-ої аксіоми Пеано полягає у тому, що всі натуральні числа можна отримати з одиниці переходом до наступного натурального числа.)

Відношення порядку на множині натуральних чисел

Означення. Натуральне число m більше, ніж натуральне число к, якщо існує таке натуральне число n, що

m = к + n.

В даному разі також кажуть, що к менше, ніж m.

Самі відношення «більше, ніж» та «менше, ніж» записують відповідно в такому вигляді:

m > к «число m більше, ніж число к»

та

к < m «число к менше, ніж число m».

 

Відношення порядку має такі властивості:

1) Для довільних двох натуральних чисел справджується одне й
лише одне з тверджень: або перше більше, ніж друге, або друге
більше, ніж перше, або вони рівні між собою;

2) Нехай m>к і к>n, тоді m>n, тобто, якщо одне число більше, ніж друге, а друге більше, ніж третє, то перше число більше, ніж третє;

3) Нехай m > к, тоді m+n > к+n, тобто, до обох частин нерівності можна додавати одне й те саме число зі збереженням знаку нерівності;

4) Нехай m > к, тоді mn > кn тобто, обидві частини нерівності можна множи­ти на одне й те саме натуральне число зі збереженням знаку нерівності.

Зауваження. Легко сформулювати властивості, аналогічні до трьох останніх, для відношення порядку "менше", здійснивши формальну замі­ну >(більше) на <(менше).

Найбільше та найменше значення числової множини

Якщо деяка непорожня підмножина натурального ряду містить скінчену(обмежену) кількість чисел, то серед них існує найменше(мінімальне) число цієї підмножини та найбільше(максимальне) число цієї підмножини.

Означення.

1. Елемент n називають найменший елемент множини М для відношення порядку <, якщо для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність n < m.

Такий елемент, якщо він існує, позначають так: minМ або

n = min m;

mÎМ

2. Елемент n називають найбільший елемент множини М для відношення порядку <, якщо для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність m < n.

Такий елемент, якщо він існує, позначають так: mахМ або

n = max m;

mÎМ

 

Зауваження. Найбільшого натурального числа не існує (див. аксіому 2). Якщо для підмножини А натурального ряду існує таке натуральне число, що більше, ніж будь-який елемент А, то існує найбільший елемент А.

Зауваження. Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати в порядку зростання від найменшого до найбільшого.

Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати в порядку спадання від найбільшого до найменшого.

Ознаки подільності натуральних чисел.

Ознака подільності натурального числа n на натуральне число k – це твердження, що залежить від цифрового запису і перевірка істинності якого, особливо для великих n, потребує менше обчислень, ніж безпосереднє ділення з остачею n на k. Ознаки подільності різ­ні в різних системах числення. Cформулюємо деякі ознаки подільності у десятковій системі числення.

Нехай натуральне число у десятковій системі числення має вигляд

Тоді це число ділиться без остачі на:

· 2, якщо a_о: 2 — остання цифра десяткового запису парна;

· 3, якщо (a_n+a_n-1 + …+ a_о): 3 – сума цифр десяткового
запису а ділиться без остачі на 3;

· 4, якщо a₁a_о: 4 – число, утворене двома останніми цифрами
десяткового запису a, ділиться без остачі на 4;

· 5, якщо a_о = 0 або a_о = 5 – остання цифра десяткового запису
a дорівнює 0 або 5;

· 6, якщо воно ділиться без остачі на 2 і на 3 одночасно;

· 7, якщо знакозмінна сума трицифрових чисел:

ділиться без остачі на 7;

· 8, якщо : 8 – число, утворене трьома останніми цифрами десяткового запису a, ділиться без остачі на 8;

· 9, якщо (a_n+a_n-1 + …+ a_о): 9 – сума цифр десяткового

· запису a ділиться без остачі на 9;

· 10, якщо a_о = 0 – остання цифра десяткового запису a до­рівнює нулю;

· 11, якщо (a_n-a_n-1 + …+a_к - a_к-1 + …- a₁ + a_о): 11 – знакозмінна сума цифр ділиться без остачі на 11;

· 12, якщо воно ділиться без остачі на 3 і 4;

· 13, якщо знакозмінна сума трицифрових чисел:

ділиться без остачі на 13.

Прості та складені числа

Визначення. Натуральне число р називається простим, якщо р > 1 и р не має дільників, відмінних від 1 і р.

Приклади простих чисел:2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 101, 103, …, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2089, 2099, …

Теорема Евкліда. Простих чисел безліч.

Доведення (від супротивного).

Припустимо, що р₁, р₂,..., p_n – всі різні прості числа натурального ряду. Тоді всі числа, відмінні від простих дільників, кратні хоча б одному з елементів р₁, р₂,..., р_n. Проте таке натуральне число

(р_1∙p₂ ∙…∙p_n + 1) – взаємно просте з усіма цими числами. Отримана суперечність засвідчує хибність припущення про скінченність множини простих елементів.

Усі натуральні числа поділяються на три групи:

1 множина – це одиниця, має тільки один дільник.

2 множина – це прості числа, які мають тільки по два дільники,

3 множина – це складені числа, які мають більше, ніж два дільника.

Теорема. Складених чисел безліч.

Теорема. Довільне натуральне n > 1 можна подати у вигляді добутку простих чисел.

О с н о в н а т е о р е м а а р и ф м е т и к и.

Для кожного натурального числа n > 1 існує єдиний розклад на простімножники:

,

де p₁, p₂,..., p_k – прості числа, а - натуральні числа.

Розклад являється канонічним.

Властивості взаємно простих чисел.

1) Якщо а та b взаємно прості з с, то добуток аb та­кож взаємно простий з с.

2) Якщо аb ділиться без остачі на с, що взаємно просте з а, то b ділиться без остачі на с.

3) Якщо с ділиться на а і b, що взаємно прості, то с ділиться й на добуток аb.

Найбільший спільний дільник натуральних чисел

Означення. 1) Спільним дільником натуральних чисел а₁, а₂,..., а_n називається натуральне число d, таке, що a₁ : d, а₂: d,..., а_n: d.

2) Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а₁, а₂,..., а_n називається такий спільний дільник дільник чисел а₁, а₂,..., а_n, який ділиться на довільний другий спільний дільник цих чисел.

Позначається: d =НСД (а₁, а₂,..., а_n).

Найбільший спільний дільник цілих чисел а і b можна знайти за допомогою алгоритму Евклида, в основі якого лежить теорема про ділення з остачею. Остання, відмінна від нуля, остача і буде найбольшим спільним дільником чисел а и b.

Означення. Два числа називаються взаємно простими, якщо найбільший спільний дільник у цих чисел дорівнює одиниці

Найменше спільне кратне натуральних чисел

Означення. Найменшим спільним кратним натуральних чисел а₁, а₂,..., а_n, відмінних від нуля, називається найменьше число, кратне всім цим числам.

Обозначают: m =НСК[ а₁, а₂,..., а_n ].

Нехай а и b цілі числа, тоді

НСК

Кількість дільників натурального числа

Теорема. Нехай канонічне розкладення на прості множники натурального числа n має такий вигляд:

,

тоді кількість всіх різних натуральних дільників n дорівнює:

(a₁ + 1) ∙ (a₂ + 1) ∙…∙ (a_k+ 1).

Множина цілих чисел

На множині натуральних чисел виконуються операції додавання і множення, але не завжди виконується операція віднімання. Розширюючи множину N так, щоб арифметична операція віднімання завжди виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому Z = N È {0, -1, -2,...} або множина цілих містить цілі від’ємні числа(перед від’ємними числами завжди ставлять знак «мінус», нуль(це число немає знаку) та цілі додатні числа(перед додатніми числами ставлять знак плюс або іноді нічого не ставлять): Z ={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, тобто, множина цілих чисел Z містить множину натуральних чисел, число нуль та числа, які протилежні натуральним(цілі від’ємні числа).

Зауваження. Впровадження нуля та від'ємних цілих чисел здійснено з метою запровадження дії віднімання, оберненої до додавання, так, щоб ре­зультат був завжди визначений. Це не потребує нових аксіом і здій­снено таким чином: множину натуральних чисел можна розширити до декартового добутку самої на себе з подальшою факторизацією – роз­биттям на класи еквівалентності.

Властивості додавання, множення та відношення порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для множини натуральних чисел.

Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють наступні властивості чисел(далі ці властивості чисел сформульовані як теореми, але ми наводимо їх без доведення.

Т е о р е м а про ділення з остачею. Для будь-якого цілого а і b > 0 існує і притому єдині цілі q та r, такі, що

а = bq + r, де 0 £ r < | b |.

Зауваження: Ціле число а називають ділене, ціле число b називають дільником, ціле число q – неповною часткою(результат дії ділення), число r називають остачею від ділення а: b.

Зауваження: Якщо ціле число а ділиться на ціле число b націло тоді внаслідок ділення отримуємо ціле число, тбто, повну частку, або остача від ділення а:b рівна нулю). Тому із умови подільності а:b націло слідує, що існує деяке ціле число z таке, що а= z∙b.

Теорема. Довільне ціле число, окрім 0, ділиться на себе і на 1.

Теорема. Нуль ділиться на будь-яке ціле число, окрім 0.

Зауваження: рівняння 0∙b = 0 має безліч розв’язків на множині цілих чисел. Проте слід запам’ятати: 0∙0 = 0, 0:b = 0.

Модуль числа

Теорема. Сума двох цілих чисел q та r є цілим числом.

Зауваження. На множині цілих чисел завжди виконується дія додавання та віднімання.

Правило 1. Щоб знайти суму цілих чисел однакових знаків, то спочатку додають модулі цих чисел (це числа без знаку), а потім перед сумою ставлять знак будь-якого доданку.

Приклад:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 = -55

або

+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=+55=55.

Правило 2. Щоб знайти суму двох цілих чисел протилежних знаків, то спочатку віднімають модулі цих чисел, від більшого віднімають менше, а потім перед результатом ставлять знак більшого за модулем числа.

Приклад:

+ 3 -5 = -2,

-7 + 9 = +2 = 2,

+20 -9 = + 11 = 11.

Теорема. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Приклад. (-1,5) + (+1,5) = 0.

Теорема. Якщо один з двох доданків дорівнює нулю, то сума до­рівнює другому доданку: а + 0 = 0 + а = а.

Переставний і сполучний закони додавання справджуються для всіх цілих чисел.

Зауваження: Додавати кілька чисел з різними знаками можна послі­довно: спочатку знайти суму двох перших доданків, потім до цієї суми додати третій доданок і т. д. Але можна окремо додати всі додатні і всі від'ємні числа, а потім дві здобуті суми додати за правилом 2 додавання чисел з різними зна­ками.

Теорема. Якщо два довільні цілих числа d та s, то існує єдине ціле число х, яке задовольняє рівняння

d + х = s.

Зауваження. Ціле число х знаходять за допомогою дії віднімання і записують х = s – d.

Математики:

число d називають відомим доданком,

число х називають невідомим доданком,

Зауваження: Наприклад, нехай цілі числа n і m еквівалентні, якщо їхня різ­ниця – парне число. Легко пересвідчитися, що вказане відношення є відношенням еквівалентності на множині цілих чисел, а множини парних і непарних чисел – класи еквівалентності. Тобто всі цілі числа можна розділити на дві множини:

· множина парних чисел(2к);

· множина непарних чисел(2к+1).

Теорема. Добуток двох цілих чисел q та r є цілим числом.

Зауваження. На множині цілих чисел завжди виконується дія множення. Добуток цілих чисел з однаковими знаками є додатнім, а добуток цілих чисел з різними знаками є число від’ємне. Добуток будь-якого цілого числа і нуля дорівнює нулю. (Аби мати однозначність, математики домовилися, що число нуль не може бути дільником довільного цілого числа, тобто ціле число не можна поділити на нуль)

Зауваження. Множина цілих чисел серед математиків ще отримала назву кільце, тому що у цій множині завжди виконуються три арифметичні дії: додавання, віднімання, множення.

Щоб визначити добуток двох цілих чисел, треба перемножити їх модулі і перед результатом поставити знак плюс, якщо обидва множники мають однакові знаки, чи мінус, якщо знаки множників різні. Коли ж хоч один множ­ник дорівнює нулеві, то й добуток дорівнює нулеві.

Щоб знайти добуток кількох чисел з різними знаками, треба перемножити їх модулі і перед результатом поста­вити знак плюс, якщо кількість від'ємних множників парна, чи мінус, якщо кількість від'ємних множників непарна.

Переставний, сполучний і розподільний закони мно­ження справджуються для всіх цілих чисел.

a∙b = b∙a, - переставний закон множення.

(a∙b)∙c = (c∙b)∙a – сполучний закон множення.

(a±b)∙c = c∙a±c∙b – розподільний закон множення.

Степінь цілого числа з натуральним показни­ком - це добуток кількох однакових цілих множ­ників:

а∙а∙….∙а = аⁿ.

Зауваження. Будь-який парний степінь від'ємного числа додатний, а непарний _– від'ємний.

Зауваження. Другий степінь числа називають квадратом числа. Вираз (-5)² – читають: «Мінус п’ять у квадраті».

Третій степінь числа називають кубом числа. Вираз (-5)³ – читають: «Мінус п’ять у кубі».

Степінь ненульового числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Зауваження. Не можна підносити нуль до нульового степеня.

0⁰ – не визначений.

Степінь цілого числа з від’ємним цілим показником - це звичайний дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику добуток кількох однакових цілих множ­ників.

а^-n = 1/(a∙a∙….∙a) = 1/aⁿ.

 

Зауваження. Не можна підносити нуль до від’ємного показника.

0^-6 – не визначений.

Властивості степенів з цілим показником:

1. aⁿ ∙bⁿ = (a∙b)ⁿ;

2. (aⁿ)ⁿ = a^n∙n;

3. (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^n∙m;

4. aⁿ :bⁿ = (a:b)ⁿ;

5. aⁿ /a^m = a^n-m;

6. aⁿ ∙a^m = a^n+m;

7. (a/b)ⁿ = (b/a)^-n;

8. 1ⁿ = (-1)^2k = 1;

9. - 1ⁿ = (-1)^2k-1 = -1;

10. a^-m = (1/a)^m.

Теорема. Якщо ціле число а ділиться на ціле число b націло (внаслідок ділення отримуємо ціле число, тобто, повну частку, або остача від ділення а:b рівна нулю) і ціле число b ділиться на ціле число c націло, тоді ціле число а ділиться на ціле число с націло.

Теорема. Якщо кожний доданок суми або різниці с ± а цілих чисел ділиться на с, то сума і різниця поділиться на с.

Теорема. Якщо а ділиться на b націло або с ділиться на b націло, то добуток а∙с поділиться на b націло.

Таким чином, на множині цілих справедливі такі властивості:

аb(а ± b)=2к

n(n+1)= 2к, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(n+2)(n+1)n = 3к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(n-1)n(n+1) = 6к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-1)n(n+1)(n+2) = 24к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5к=120к, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло.

Варто звернути увагу на те, щосума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.

Множина раціональних чисел.

Означення. Число називається раціональним, якщо його можна записати у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник є натуральним числом.

ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ.

 

Уважно прогляньте такі запитання та відповіді на них. Наведіть власні приклади десяткових дробів на кожне запитання.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади періодичних десяткових дробів.

0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9;

0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3;

0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;

0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857 / 999999;

0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 = 5:11 = 5/11;

0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384 / 999999.

 

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

 

Приклади скінчених десяткових дробів:

0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;

0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;

0, 3 = 3:10 = 3/10;

0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;

0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.

 

Запитання: Чи вірно, що існують нескінчені неперіодичні дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади нескінчених неперіодичних десяткових дробів:

3,1415926535897932384626433832795… = π (трансцендентне число, відношення довжини кола до дов­жини його діаметра);

2,71828182… = е (трансцендентне число Ейлера, значення виразу (1+1/к)^к, якщо к → ∞);

1,4142135623730950488016887242097… = 2^0,5 (ірраціональне число, довжина діагоналі одиничного квадрата).

 

Запитання: Як розпізнати скінчені та нескінчені десяткові дроби?

Відповідь: Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді звичайного дробу

a/b = a:b,

тобто, записати, як результат дії ділення. Зазначимо, що

b є N, (тобто, b ≠ 0, натуральні числа),

а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і нуль).

Запитання: Чи завжди в результаті ділення двох скінчених десяткових дробів ми отримаємо скінчені десяткові дроби?

Відповідь: Не завжди в результаті ділення одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий дріб. Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.

Запитання: Як розпізнати скінчені та нескінчені десяткові дроби?

Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні і неперіодичні.

Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці дістанемо нескінченний десятко­вий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7 періодично пов­торюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із періодом 27.

Але відношення довжини кола до дов­жини його діаметра виражається нескінченним неперіо­дичним десятковим дробом 3,14159....

Запитання: Які бувають періодичні дроби?

Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і мішані.

Чистим періодичним дробом називається такий, у якого період починається відразу після коми, наприклад чистий періодичний дріб:

12,363636...

Мішаним періодичним дробом називається такий, у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад мішаний періодичний дріб:

0,07464646...

Записувати періодичні десяткові дроби прий­нято скорочено:

замість 3,2666... пишуть 3,2(6),

замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42 записують у дужках.

 

Запитання: Як розпізнати скінчені дроби?

Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в роз­кладі на прості множники його знаменника немає інших множників, крім 2 і 5.

Запитання: Чи завжди нескоротний звичайний дріб є періодичним?

Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб перетворюється в не­скінченний десятковий дріб, то останній обов'язково періо­дичний.

Запитання: Як розпізнати чисті та мішані періодичні дроби?

Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множ­ників 2 і 5, то він чистий періодичний, якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа, тоді дріб мішаний періодичний.

Приклади. Дріб 5/33 до перетворюється в чистий періо­дичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5. Дріб 11/12 перетворюється у мішаний періодичний десятко­вий дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.

Справді,

5/33 = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);

11/12 = 11: 12 = 0,91666666… = 0,91(6).

 

Запитання: Як можна перетворювати чисті періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади.

0,(8) = 8/9;

0,(84) = 84/99;

0,(876) = 876/999;

0,(8456) = 8456/9999;

15,(37)= 15 + 37/99

12,(352)= 12 + 352/999.

Запитання: Як можна перетворювати мішані періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичай­ний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, від­няти число, що стоїть між комою і першим періодом, і здо­буту різницю взяти чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у пе­ріоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади.

0,8(57) = (857 – 8) / 990 = 849 / 990

6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.

Дії з множинами

 

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m; аⁿ:a^m=a^n-m; (аⁿ)^m=a^nm; а⁰=1; а^-n=1:aⁿ; а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m; a^{– m}b^{– m} =(ab)^-m; a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}

 

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)(a² + b²);

а⁴ + b⁴ - не розкладається на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)(a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m - не розкладається на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

аⁿ – bⁿ = (a–b)(a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо b =1, тоді аⁿ – 1= (a–1)(a^n-1+а^n-2 + а^n-3 +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1; (a±b)¹ = a±b; 1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n

Квадрат двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² – це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² – це квадрат різниці двох чисел.

Куб двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)(a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)(a^n-1- а^n-2 - а^n-3 +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і сума трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;