Вариант 1
Задание 1. Системы массового обслуживания с отказами
Анализируется работа вычислительного центра (ВЦ) с тремя взаимозаменяемыми компьютерами для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими. Буфер ожидания отсутствует.
Определить показатели эффективности работы СМО (ВЦ). Определить, сколько компьютеров надо дополнительно приобрести, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
Решение:
Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 1 • 1.8 = 1.8
Интенсивность нагрузки ρ=1.8 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).
Следовательно, 36% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 21.4 мин.
3. Доля заявок, получивших отказ (вероятность отказа).
pотк = 1 - p0 = 1 - 0.357 = 0.64
Значит, 64% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
4. Относительная пропускная способность.
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = p0 = 0.357
5. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = Q • λ = 0.357 • 1 = 0.357 заявок/час.
6. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.64 • 1.8 = 1.157 час.
7. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 1.8 • 0.357 = 0.643 ед.
Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p1 = 0.64 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1.8 = 0.556 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.357 / 0.556 = 64% от номинальной производительности.
Задание 2. Системы массового обслуживания с очередью ограниченной длины
Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,5 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 5,8 минут; посетитель покидает телефонный узел, если в очереди находится 3 человека.
Требуется определить значения характеристик СМО при исходных данных, а также найти оптимальное количестве телефонов (чтобы обслуживалось более 95% заявок).
Решение:
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.5 • 5.8 = 2.9
Интенсивность нагрузки ρ=2.9 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 2.9<3, то процесс обслуживания будет стабилен.
2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 4.24% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 2.5 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2.91/1! • 0.0424 = 0.123
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 2.92/2! • 0.0424 = 0.178
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 2.93/3! • 0.0424 = 0.172
3. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
Значит, 16% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
4. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.156 = 0.844
Следовательно, 84% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ • pобс = 2.9 • 0.844 = 2.448 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 3 - 2.448 = 0.6 канала.
6. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
Следовательно, система на 80% занята обслуживанием.
7. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс • λ = 0.844 • 0.5 = 0.422 заявок/мин.
8. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.156 • 5.8 = 0.904 мин.
Вероятность образования очереди.
Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 - pоч = 1 - 0.5 = 0.5
9. Среднее число заявок, находящихся в очереди.
10. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
11. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2.9 • 0.844 = 2.448 ед.
12. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 0.956 + 2.448 = 3.405 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 0.078 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 5.8 = 0.517 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.422 / 0.517 = 82% от номинальной производительности.
Задание 3. Системы массового обслуживания с очередью неограниченной длины
Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,25 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 минут. Если все телефоны заняты, клиент становится в очередь и ожидает обслуживания.
Найти вероятность того, что клиенты отсутствуют (все каналы обслуживания свободны), вероятность того, что заняты все телефоны, вероятность отказа в обслуживании, относительную и абсолютную пропускные способности телефонного узла.
Решение
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.25 • 10 = 2.5
Интенсивность нагрузки ρ=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 15.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 9.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2.51/1! • 0.151 = 0.377
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 2.52/2! • 0.151 = 0.472
4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).
Значит, 47% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность:
Q = pобс.pобс = 1 - pотк = 1 - 0.472 = 0.528
Следовательно, 53% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ • pобс = 2.5 • 0.528 = 1.321 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 2 - 1.321 = 0.7 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс • λ = 0.528 • 0.25 = 0.132 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.472 • 10 = 4.717 мин.
10. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2.5 • 0.528 = 1.321 ед.
11. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 0.118 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 2 / 10 = 0.2 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.132 / 0.2 = 66% от номинальной производительности.
Задание 4.
Что такое СМО?
Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
На какие классы делятся СМО?
Основные классы СМО следующие:
1.Системы с отказами (с потерями).
2.Системы с ожиданием (с очередью).
