Элементы специальной теории относительности. Преобразование Галилея

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

При стационарном течении количество жидкости, втекающей в единицу времени в трубку тока через сечение , равно количеству жидкости, вытекающей через сечение (рис. 6.1). Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одинакова во всех точках одного и того же поперечного сечения. Масса жидкости, протекающая за время через поперечное сечение трубки, определяется выражением:

,

где – плотность жидкости, а S – площадь поперечного сечения трубки. В случае стационарного течения масса будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны и , то можно написать:

.

Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между сечениями и изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Если жидкость несжимаема, то , и последнее соотношение принимает вид:

.

(6.1)

Это соотношение называется уравнением неразрывности. Его физический смысл заключается в том, что жидкость нигде не накапливается, то есть за одинаковый временной интервал в трубку тока втекает и вытекает равное количество жидкости. Скорость жидкости в одной и той же трубке тока больше там, где меньше площадь поперечного сечения трубки.

 

ВЯЗКОСТЬ (ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ)

— сопротивление перемещению частиц под влиянием приложеннойсилы. В применении к жидкостям различают В. динамическую и кинематическую. Динамическая В. — силасопротивления перемещению слоя жидкости площадью 1 см² на 1 см со скоростью 1 см/сек; измеряется впуазах. Кинематическая В. — отношение динамической В. жидкости к ее удельному весу; измеряется встоксах. В нефтяной практике пользуются также относительными или условными мерами В., напр., удельнойВ., численно равной отношению динамической В. жидкости к динамической В. воды при определеннойтемпературе. Наиболее обычным способом определения В. является измерение скорости истеченияиспытуемой жидкости в стандартных условиях. Приборы для определения В. называются вискозиметрами.Условная В. нефти или ее производных, определяемая в вискозиметре Энглера, измеряется в градусахЭнглера (°E_t или °Э_t), в вискозиметрах Сейболта и Редвуда — в секундах Сейболта ("S) или Редвуда ("R).

 

 

Опыты показывают, что существует 2 вида течения жидкости в трубах. Ламинарное (слоистое течение) Турбулентное (бурное, возмущенное) При ламинарном режиме течения жидкость движется без перемешивания слоев, плавно изменяя скорость, может быть вихревым. При турбулентном режиме течения происходит интенсивное перемешивание слоев жидкости, сопровождаемое пульсациями скорости и давления. Наряду с поступательным движением объема в целом присутствуют как поперечные, так и вращательные движения объемов жидкости. Это позволяет принять коэффициент неравномерности потока . Смена режимов течения данной жидкости в данной трубе происходит при определенной скорости течения, называемой критической скоростью Vкр. Из опытов установлено, что где k - универсальный коэффициент, который не зависит от свойств жидкости Аналогично вводится число Рейнольдса При Re<Reкр имеет место ламинарное течение, при Re>Reкр - турбулентное. Имеется переходная зона, при увеличении скорости переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при больших числах Re, чем при уменьшении скорости и переходе от турбулентного течения к ламинарному. Принимается, Reкр=2300. Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического. Геометрическое подобие представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки. Отношение двух сходственных размеров подобных каналов назовем линейным масштабом моделирования и обозначим через?. Эта величина одинакова для подобных каналов. Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных топках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей. Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического подобия требуется геометрическое подобие каналов. Динамическое подобие — это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематически подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил. В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия часто оказывается невозможным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил. Общность уравнений, описывающих процессы в «натурных» и модельных процессах позволяет записать целый ряд безразмерных величин, которые будут одинаковыми для этих процессов. Эти величины получили наименование критерии подобия. Равенство критериев для простейших процессов может быть обеспечено только геометрическим подобием, для сложных процессов эта задача может быть неразрешимой.

 

Методы определения вязкости

1. Метод Стокса. * Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

* Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

 

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р= ⁴/₃ pr ³ rg (r — плотность шарика), сила Архимеда Р= ⁴/₃ pr ³ r'g (r' — пло­тность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F= 6 phrv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномерном движении шарика

откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля.* Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной d r (рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где d S — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

* Ж. Пуазейль (1799—1868) — французский физиолог и физик.

 

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем

 

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис. 53).

За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

 

Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные.

 

Если частица (тело) в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица (тело) находится в поле сил.

Пример: 1. Частица вблизи поверхности Земли находится в поле силы тяжести;

2. Заряженная частице «е» (материальная точка) находится в электрическом поле, возбуждаемом неподвижным точечным зарядом q (рис. 3.4). Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд q), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра F = F(r).

Поле, обладающее выше указанными свойствами, называется центральным. Поле силы тяжести является частным случаем центрального поля сил (с центром, расположенным на бесконечности).

Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению (), такое поле называется однородным.

Поле, не изменяющееся по времени, называется стационарным.

Если для стационарного поля работа сил, совершаемая ими над телом, не зависит от формы и длины траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве, то такое поле будем называть потенциальным, а сами силы – консервативными.

Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. – работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков (рис. 3.5). Т.к. изменение направления на обратное приводит к замене на в выражении для работы, то и поскольку работа в потенциальном поле сил не зависит от пути, т.е. , то А=0.

Из равенства нулю работы на замкнутом пути путем обратных рассуждений можно получить, что работа этих сил не зависит от пути.

Поэтому консервативные силы можно определить как такие силы, работа которых на любом замкнутом пути равна «0». А потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути рана нулю.

Примеры: сила тяжести – консервативна;

сила трения – неконсервативна;

поле силы тяжести – потенциальное.

 

Космическая скорость

Космическая скорость это начальная скорость, необходимая для запуска ракет в космическое пространство.

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение.

Первая космическая скорость - формула:

Первой космической скорости недостаточно для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения.

Вторая космическая скорость - это наименьшая скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, то есть чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Вторая космическая скорость равна 11,2 км/с (v = 11,2).

Третья космическая скорость - это скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость равна 16,7 км/с (v = 16,7).

Космическая скорость

 

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая - при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 году, вторая - при запуске ракеты в 1959 году. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 году начинается бурное развитие космонавтики.

 

Элементы специальной теории относительности. Преобразование Галилея.

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности (или принципотносительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В частном случае, когда система K' движется со скоростью υ вдоль положительного направления оси x системы K (рис. 4.1.1), преобразования Галилея имеют вид:

x = x' + υ t, y = y', z = z', t = t'.

Предполагается, что в начальный момент оси координат обеих систем совпадают.

Рисунок 4.1.1. Две инерциальные системы отсчета K и K'

Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

ux = u'x + υ, uy = u'y, uz = u'z.

Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми:

Следовательно, уравнение движения классической механики (второй закон Ньютона) не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.

К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые вступали в противоречие с законами классической механики. Большие затруднения возникли при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой среде – эфире, было опровергнуто многочисленными экспериментами. Американский физик А.Майкельсон сначала самостоятельно в 1881 году, а затем совместно с Эдвардом Марли (тоже американец) в 1887 году пытался обнаружить движение Земли относительно эфира («эфирный ветер») с помощью интерференционного опыта. Упрощенная схема опыта Майкельсона–Морли представлена на рис. 4.1.2.

Рисунок 4.1.2. Упрощенная схема интерференционного опыта Майкельсона–Морли. – орбитальная скорость Земли

В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (υ = 30 км/с). Затем прибор поворачивался на 90°, и второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной скорости. Расчеты показывали, что если бы неподвижный эфир существовал, то при повороте прибора интерференционные полосы должны были сместиться на расстояние, пропорциональное (υ / c)². Опыт Майкельсона–Морли, неоднократно повторенный впоследствии со все более возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ результатов опыта Майкельсона–Морли и ряда других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об эфире как среде, в которой распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не существует избранной (абсолютной) системы отсчета. Движение Земли по орбите не влияет на оптические явления на Земле.

Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение – в 1895 году А.С.Поповым было изобретено радио. Но из теории Максвелла следует, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме. Это значит, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе отсчета K' (рис. 4.1.1) в положительном направлении оси x', то в системе K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c + υ, а не c.

Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис. Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени. Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не зависящими от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены в разряд относительных.

Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени, новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла не затронуть в итоге всю физику.

В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Постулаты Эйнштейна

В своей работе Эйнштейн без единого нового эксперимента, проанализировав и обобщив уже известные опытные факты, впервые изложил идеи теории относительности, которые коренным образом изменили привычные представления о свойствах пространства и времени.

Теория относительности Эйнштейна состоит из двух частей: частной и общей теории относительности. В 1905 г. Эйнштейн опубликовал основные идеи частной или специальной теории относительности, в которой рассматриваются свойства пространства и времени, справедливые при условиях, когда можно пренебречь тяготением тел, т.е. считать их гравитационные поля 'пренебрежимо малыми. Теория относительности, в которой рассматриваются свойства пространства и времени в сильных гравитационных полях, называется общей теорией относительности. Принципы общей теории относительности были изложены Эйнштейном на 10 лет позже, чем частной, в 1915 г.

В основу специальной теории относительности Эйнштейна легли два постулата, т.е. утверждения, которые принимаются за истинные в рамках данной научной теории без доказательств (в математике такие утверждения называются аксиомами).

1 постулат Эйнштейна или принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению ко всем инерциальным системам отсчета. Все физические, химические, биологические явления протекают во всех инерциальных системах отсчета одинаково.

Постулат или принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме постоянна и одинакова по отношении» к любым инерциальным системам отсчета. Она не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости его приемника. Ни один материальный объект не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Более того, пи одна частица вещества, т.е. частица с массой покоя, отличной от нуля, не может достичь скорости света в вакууме, с такой скоростью могут двигаться лишь полевые частицы, т.е. частицы с массой покоя, равной нулю.

Анализируя 1 постулат Эйнштейна, мы видим, что Эйнштейн расширил рамки принципа относительности Галилея, распространив его на любые физические явления, в том числе и на электромагнитные. 1 постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона-Морли, доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. Из результатов этого нее опыта следует и 2 постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который тем не менее вступает в противоречие с 1 постулатом, если распространить на электромагнитные явления не только сам принцип относительности Галилея, но и галилеево правило сложения скоростей, вытекающее из галилее-ва правила преобразования координат (см. п. 10). Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.

Преобразования Лоренца

Пусть нам даны две системы отсчета k и k`. В момент t = О обе эти системы координат совпадают. Пусть система k` (назовем ее подвижной) движется так, что ось х` скользит по оси х, ось у` параллельна оси у, скорость v - скорость движения этой системы координат (рис. 109).

Точка М имеет координаты в системе k - х, у, z, a в системе k` - х`, у`, z`.

Преобразования Галилея в классической механике имеют вид:

Преобразования координат, удовлетворяющие постулатам специальной теории относительности, называются преобразованиями Лоренца.

Впервые они (в несколько иной форме) были предложены Лоренцем для объяснения отрицательного эксперимента Майкельсона-Морли и для придания уравнениям Максвелла одинакового вида во всех инерциальных системах отсчета.

Эйнштейн вывел их независимо на основе своей теории относительности. Подчеркнем, что изменилась (по сравнению с преобразованием Галилея) не только формула преобразования координаты х, но и формула преобразований времени t. Из последней формулы непосредственно видно, как переплетены пространственная и временная координаты.