Класичне та статистичне визначення ймовірності геологічних даних

 

МЕТА І ЗАДАЧІ

Метою роботи, яка виконується, є ознайомлення студентів з основними поняттями ймовірностей та одержання практичних навиків з найбільш поширених методів їх визначення.

 

ОСНОВНI ТЕОРЕТИЧНI ПОЛОЖЕННЯ

Статистичне визначення ймовірності.Ймовірністю Р(А) випадкової події А називається границя, до якої прямує частота появи події А у незалежних випробуваннях при збільшенні кількості випробувань:

(1.1)

де N – загальна кількість випробувань; N(А) – кількість тих випробувань, в яких має місце А.

Відношення називається частотою появи події А у N випробуваннях.

Подія називається неможливою, якщо її ймовірність дорівнює нулю. В умовах досліду вона ніколи не відбувається, позначається V або f.

Подія називається достовірною, якщо її ймовірність дорівнює одиниці. Позначається U.

Cтатистичне визначення універсальне, але на практиці дає змогу визначати ймовірність лише наближено, та й то лише тоді, коли є можливість проводити достатню кількість випробувань. Існують визначення, що використовуються хоча і в окремих випадках, але завдяки яким можна розраховувати ймовірність точно та без випробувань: класичне визначення, геометрична ймовірність.

Класичне визначення ймовірності. Застосовується за таких умов: дослід (випробування) має скінченну кількість n рівноможливих взаємно виключних елементарних наслідків, а подія А відбувається з появою будь-якого з n (А) певних наслідків.

Наслідки, з яких складається подія А, називаються сприятливими події А. Ймовірністю події А називається відношення кількості сприятливих події А наслідків до загальної кількості наслідків:

(1.2)

Допоміжні формули.

Кількість варіантів розміщення на n місцях k різних елементів

(1.3)

число розміщень з n по k.

n! – число розміщень n елементів на n місцях.

При цьому варіанти розміщення вважаються різними, якщо вони відрізняються зайнятими місцями, а також порядком, в якому розміщені на них елементи. На кожному місці може бути не більше одного елемента.

Кількість варіантів вибору k елементів із загальної кількості n

(1.4)

число комбінацій з n по k). При цьому варіанти вибору вважаються різними лише в тому разі, якщо вони відрізняються складом вибірок.

При для спрощення розрахунків корисно використовувати формулу

(1.5)

Якщо дослід складається з k окремих незалежних дослідів, то загальна кількість наслідків n= n₁×n₂...n_k, де n_i – кількість наслідків і -го окремого досліду.

Приклад1.1. Зерно мінералу може мати три типи забарвлення та чотири форми, до того ж можуть зустрічатися зерна з ядрами та без них. Скільки можливих різновидів зерен за цими трьома показниками?

Розв’язання. Маємо три окремі ознаки: n₁ = 3, n₂ = 4, n₃ = 2. Всього n = n₁×n₂×n₃ = 24 різновиди.

Приклад 1.2. Скільки є способів для розміщення трьох осіб на 10 місцях?

Розв’язок. Для першої – 10 можливостей (n₁ = 10), для другої – 9 (n₂ = 9), для третьої – 8 (n₃ = 8). Всього n = 10×9×8 = 720. Таке саме значення отримаємо за формулою числа розміщень:

Приклад1.3. Скільки є способів для того, щоб вибрати з групи в 10 осіб команду із трьох чоловік?

Розв’язок.

Приклад1.4. Обчислити

Розв’язок.

Приклад1.5. Гральну кістку (кубик з оцифрованими гранями) кидають один раз. Знайти ймовірність того, що випаде парна грань.

Розв’язок. Всього наслідків n = 6. Сприятливих наслідків – n(A) =3.

Приклад1.6. Монету кидають три рази. Знайти ймовірність того, що кожен раз випаде “герб”.

Розв’язання. Маємо три окремих досліди з двома наслідками у кожному:

n = 2×2×2 = 8. Сприятливих результатів – n(A) = 1×1×1 = 1, P(A) = 1/8 = 0,125.

Приклад1.7. Площа об’єкта дослідження розділена на 10 ділянок, що мають рівні площі. У межах цього об’єкта розміщено 8 малих тіл. Вважаючи їх розміщення довільним, знайти ймовірність того, що:

1) усі тіла розміщені на п’ятій ділянці;

2) усі тіла перебувають на тій самій ділянці;

3) усі тіла розміщені на різних ділянках;

4) на п’ятій ділянці є хоча б одне тіло;

5) усі тіла розміщені на частині об’єкта, що складається з п’ятої – сьомої ділянок;

6) хоча б одне тіло перебуває на частині об’єкта, що складається з п’ятої – сьомої ділянок;

7) є щонайменше одна ділянка, на якій розміщено не менш двох тіл.

Розв’язання. Пронумеруємо ділянки – і = 1,2,..., 10 й тіла – j = 1,2,...,8. Для першого тіла – 10 варіантів розміщення (за кількістю ділянок), для другого – також 10. Для першого і другого разом - 10×10 = 10² варіантів. Для восьми тіл – 10⁸. Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних наслідків – n = 10⁸.

1. Позначимо А₁ подію, яка полягає в тому, що всі тіла розміщено на п’ятій ділянці. Їй сприяє один варіант розміщення: n (A₁) = 1. P(A₁) = 1/10⁸ = 10^-8.

2. Нехай А₂ подія, яка полягає в тому, що всі тіла перебувають на одній і тій самій ділянці. Сприятливих елементарних наслідків (варіантів розміщення) за числом ділянок n (A₂) = 10. P (A₂) = 10/10⁸ = 10^-7.

3. Позначимо А₃ подію, яка полягає в тому, що всі тіла розміщені на різних ділянках. Для першого тіла – 10 варіантів розміщення; для другого за кількістю ділянок. Що залишились, - 9, для третього – 8 і т.д. Для восьми тіл разом – n (А₃) = 10×9×8×7×6×5×4×3 = 10!/2.

4. Для обчислення ймовірності P (A₄) того, що на п’ятій ділянці є хоча б одне тіло, знайдемо спочатку кількість наслідків, сприятливих протилежній події полягає в тому, що на п’ятій ділянці немає жодного тіла, тобто всі вісім тіл розміщаються на 9 ділянках, що залишилися. Таких варіантів розміщення . Отже, .

5. Події А₅ – всі тіла розміщені на частині площі, що складається з п’ятої – сьомої ділянок відповідає 3⁸ наслідків.

6. Наслідки, що сприяють події А6 - хоча б одне тіло є на частині площі, що складається з п'ятої-сьомої ділянок, аналогічно п. 4 - n (A ₆)=10⁸-7⁸.

7. Позначимо А₃ подію, про яку йдеться в п.3. Очевидно, n(A₇) = n-n(A₃).

 

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

1.8. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?

1.9. Чому дорівнює ймовірність неможливої події?

1.10. Ймовірність події дорівнює 0,2. До якого значення прямує частота появи цієї події?

1.11. Проведено 100 випробувань, причому у 56 мала місце подія А. Чи випливає з цього, що Р (А)= 0,56?

1.12. Проведено 1000 незалежних випробувань. В кожному з них подія А не мала місця. Чи правильне спостереження, що А - неможлива подія та що її ймовірність дорівнює 0?

1.13. Серед 50 відібраних проб у трьох виявлено вторинний кварц. Яка частота зустрічі вторинного кварцу в пробуваних породах?

1.14. Скільки є способів розміщення трьох осіб: а) на трьох місцях? б) на чотирьох місцях?

1.15. Монету кидають К разів. Чому дорівнює ймовірність того, що кожен раз випаде "герб"?

1.16. Зерно мінералу може мати: три типи габітусу, чотири типи забарвлення та два типи поверхні. Скільки існує різновидів зерен мінералу?

Відповідь: 24.

1.17. Геологічне тіло характеризується n властивостями, причому і - та властивість може бути в К_і різних станах. Скільки є різновидів геологічних тіл, якщо n =4; К₁ =4; К₂ =5; К₃ =3; К₄ =2?

Відповідь: 120.

1.18. У розрізі можуть зустрічатися породи п’яти типів: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, кожна один раз. Знайти імовірність того, що при їх випадковому розміщенні, вони йтимуть у такому порядку:

1) А₅, А₄, А₃, А₂, А₁;

2) за спаданням чи зростанням індексів;

3) посередині (на третьому місці), буде А₃;

Відповідь: 1) 1/120; 2) 1/60; 3) 0,2.

1.19. Розчин складається з шістьох сполук, що мають доливати у воду в певному порядку. Знайти імовірність правильного складання розчину, якщо сполуки йтимуть у випадковому порядку, причому:

1) будь-яке відхилення від встановленого порядку призводить до помилки;

2) послідовність, у якій йдуть три останні сполуки, не має значення;

Відповідь: 1) 1/720; 2) 1/120.

1.20. У жеребкуванні європейських футбольних турнірів виступають п’ять клубів. Кожен має зіграти дві зустрічі, причому де буде перша – дома чи в гостях – вирішує жереб. Яка ймовірність того. що всі п’ять клубів будуть грати першу зустріч на полях суперників?

Відповідь: 1/32.

1.21. У купі, що складається з 40 зерен мінералів, 10 зерен – мінералу А й 30 – інших мінералів. Знайти ймовірність таких подій:

1) одне навмання вибране зерно буде зерном мінералу А;

2) з двох навмання вибраних зерен обидва будуть зернами мінералу А;

Відповідь: 1) 0,25; 2) 3/52.

1.22. На шести картках написані літери: Г, Г, О, О, Е, Л. Знайти імовірність того, що в разі їх випадкового розміщення в ряд вийде слово "Геолог".

Відповідь: 1/180.

1.23. Студент знає 20 із 30 питань програми. Йому дають три питання. Визначити ймовірність того. що він

1) знатиме всі задані питання;

2) не знатиме жодного із заданих питань;

Відповідь:1) 684/2436»0,281; 2) 72/2436»0,030.

1.24. Гральну кістку (кубик з оцифрованими гранями) кидають два рази. Знайти ймовірність того, що сума очок:

1) дорівнюватиме 8;

2) буде більше 10;

3) дорівнюватиме 8. а різниця – 3;

4) дорівнюватиме 8, а модуль різниці – менше трьох.

Відповідь: 1) 5/36; 2) 1/12; 3)0; 4) 1/12.

1.25. Гральну кістку кидають 8 разів. Знайти ймовірність таких подій:

1) кожен раз випаде шістка;

2) кожен раз випаде парне число;

3) кожен раз випаде число, більше 4;

Відповідь: 1) 1/6⁸; 2) ½⁸; 3)1/3⁸.

 

ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

 

Звіт про виконану роботу повинен містити пояснювальну записку з вирішеними задачами.

 

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке ймовірність?

2. Що достовірна подія?

Лабораторна робота № 2