Мета роботи: Навчитись визначати випадкову та систематичну похибки результатів експериментів з врахуванням класів точності засобів вимірів.
Вихідна інформація: В результаті експериментів отримана вибірка об’ємом n=30 (див. табл. 4.1 для свого варіанта). При вимірах було використано два прилади П1 та П2 з відносними похибками δ1 і δ2, відповідно (див табл. 3.4 лабораторної роботи №3). Необхідно: 1) обчислити вибіркове середнє; 2) виключити грубі помилки, які можливі при вимірах; 3) методом вірчих інтервалів з імовірністю р=0,95 визначити випадкову похибку ε (за інтегральною функцією Гауса або Стьюдента); 4) обчислити результуючу систематичну похибку для двох приладів; 5) визначити результуючу похибку з врахуванням класів точності приладів і вказати метрологічний інтервал, в якому слід очікувати величину х, що вимірювалась.
Таблиця 4.1
| Дані | Варіанти | ||||||||||||||||||||
| 1,18 | 5,03 | 3,73 | 3,65 | 4,46 | 4,1 | 1,98 | 2,66 | 1,52 | 1,73 | ||||||||||||
| 1,18 | 3,08 | 4,12 | 3,31 | 2,44 | 3,14 | 2,51 | 1,94 | 2,45 | 2,12 | ||||||||||||
| 1,13 | 2,8 | 2,18 | 1,33 | 2,27 | 3,1 | 1,95 | 1,21 | 1,92 | 2,31 | ||||||||||||
| 1,27 | 2,49 | 4,18 | 3,55 | 3,4 | 4,58 | 2,06 | 1,32 | 1,76 | 1,74 | ||||||||||||
| 1,15 | 1,79 | 1,24 | 4,49 | 2,62 | 1,61 | 2,13 | 1,9 | 2,23 | |||||||||||||
| 1,16 | 2,29 | 3,22 | 4,53 | 3,17 | 2,64 | 2,19 | 1,51 | 0,99 | 2,07 | ||||||||||||
| 1,29 | 1,69 | 3,28 | 2,52 | 2,79 | 3,86 | 2,17 | 1,91 | 1,75 | 2,44 | ||||||||||||
| 1,22 | 3,55 | 2,56 | 2,28 | 4,36 | 2,41 | 1,14 | 2,32 | 2,79 | 2,63 | ||||||||||||
| 1,16 | 4,2 | 3,75 | 3,51 | 2,47 | 3,85 | 2,17 | 2,6 | 1,77 | 1,87 | ||||||||||||
| 1,23 | 3,03 | 4,34 | 3,85 | 1,94 | 2,23 | 2,9 | 2,19 | 2,7 | 2,25 | ||||||||||||
| 1,13 | 3,32 | 3,05 | 0,86 | 3,18 | 3,95 | 2,82 | 1,98 | 2,3 | |||||||||||||
| 1,11 | 4,11 | 4,08 | 3,08 | 3,18 | 2,85 | 1,29 | 1,73 | 2,65 | 1,76 | ||||||||||||
| 1,1 | 3,66 | 2,68 | 4,31 | 2,2 | 4,84 | 0,94 | 2,07 | 1,89 | 1,06 | ||||||||||||
| 1,24 | 2,91 | 3,35 | 3,01 | 3,25 | 2,89 | 1,04 | 1,12 | 1,71 | 1,77 | ||||||||||||
| 1,11 | 3,64 | 3,61 | 5,93 | 3,42 | 3,49 | 3,26 | 2,02 | 1,74 | 1,54 | ||||||||||||
| 1,04 | 2,96 | 3,26 | 2,79 | 3,95 | 1,57 | 1,76 | 2,1 | 2,09 | 1,17 | ||||||||||||
| 1,21 | 4,47 | 1,74 | 2,19 | 3,57 | 2,78 | 1,8 | 2,31 | 1,88 | |||||||||||||
| 1,07 | 2,16 | 3,71 | 3,04 | 2,52 | 4,07 | 2,45 | 2,23 | 2,53 | 1,49 | ||||||||||||
| 1,17 | 3,96 | 3,12 | 2,09 | 4,74 | 1,83 | 1,8 | 0,83 | 2,62 | |||||||||||||
| 1,02 | 2,36 | 1,59 | 4,31 | 1,67 | 4,02 | 1,73 | 3,05 | 2,06 | 0,67 | ||||||||||||
| 1,16 | 2,56 | 1,84 | 2,05 | 2,14 | 3,82 | 2,04 | 1,63 | 2,08 | 2,94 | ||||||||||||
| 1,12 | 2,99 | 2,74 | 2,77 | 3,02 | 3,32 | 2,76 | 1,36 | 2,16 | 2,16 | ||||||||||||
| 1,13 | 2,58 | 5,38 | 2,21 | 2,98 | 2,26 | 1,84 | 2,65 | 2,19 | 1,75 | ||||||||||||
| 1,04 | 3,02 | 2,69 | 2,96 | 2,88 | 2,77 | 0,92 | 1,33 | 1,26 | 2,07 | ||||||||||||
| 1,23 | 4,14 | 2,23 | 4,25 | 0,3 | 4,16 | 1,98 | 2,15 | 1,57 | 1,81 | ||||||||||||
| 1,07 | 2,82 | 3,61 | 2,9 | 2,8 | 1,63 | 1,77 | 2,38 | 2,39 | |||||||||||||
| 1,15 | 3,32 | 3,4 | 2,22 | 3,1 | 2,1 | 1,55 | 1,62 | 2,3 | 1,02 | ||||||||||||
| 1,38 | 3,42 | 3,98 | 4,37 | 1,76 | 3,21 | 2,23 | 1,48 | 1,87 | 2,24 | ||||||||||||
| 1,27 | 2,98 | 2,26 | 3,7 | 1,66 | 5,39 | 2,09 | 1,69 | 2,53 | |||||||||||||
| 1,1 | 3,65 | 3,02 | 4,44 | 2,7 | 1,91 | 2,37 | 1,63 | 2,37 | 2,2 | ||||||||||||
| Дані | Варіанти | ||||||||||||||||||||
| 3,72 | 3,51 | 4,01 | 3,52 | 1,92 | 2,71 | 4,67 | 2,94 | 2,64 | 3,29 | ||||||||||||
| 4,07 | 3,57 | 3,51 | 4,68 | 1,3 | 3,28 | 2,76 | 3,62 | 2,39 | 3,33 | ||||||||||||
| 4,21 | 4,64 | 4,47 | 3,39 | 1,77 | 2,77 | 5,78 | 2,59 | 2,64 | 3,24 | ||||||||||||
| 3,89 | 3,68 | 4,33 | 3,55 | 2,92 | 2,62 | 4,83 | 3,28 | 3,31 | 3,01 | ||||||||||||
| 3,68 | 4,07 | 4,62 | 3,69 | 2,03 | 3,8 | 3,08 | 3,06 | 2,67 | 3,27 | ||||||||||||
| 3,42 | 3,55 | 3,71 | 3,65 | 4,02 | 0,69 | 3,95 | 2,87 | 3,94 | 3,22 | ||||||||||||
| 5,07 | 3,74 | 4,34 | 3,68 | 2,65 | 3,61 | 2,44 | 2,9 | 3,03 | 2,99 | ||||||||||||
| 4,07 | 3,53 | 4,14 | 3,84 | 1,72 | 3,51 | 2,74 | 2,56 | 2,95 | 2,73 | ||||||||||||
| 3,39 | 3,95 | 2,99 | 4,2 | 3,42 | 3,88 | 3,35 | 3,45 | 3,51 | 3,04 | ||||||||||||
| 4,53 | 4,51 | 3,18 | 3,13 | 3,21 | 2,59 | 3,64 | 2,66 | 2,84 | |||||||||||||
| 3,66 | 4,26 | 4,66 | 3,69 | 3,03 | 3,11 | 2,94 | 2,06 | 2,54 | 3,96 | ||||||||||||
| 3,87 | 4,28 | 3,26 | 5,11 | 3,16 | 2,07 | 2,53 | 3,71 | 3,72 | 2,16 | ||||||||||||
| 4,17 | 3,76 | 3,8 | 3,2 | 2,32 | 2,05 | 4,16 | 2,88 | 3,25 | 4,21 | ||||||||||||
| 4,54 | 3,62 | 3,95 | 4,77 | 4,21 | 3,69 | 3,77 | 3,19 | 3,6 | 3,51 | ||||||||||||
| 3,4 | 3,54 | 4,41 | 4,31 | 4,48 | 1,22 | 0,96 | 4,06 | 3,13 | 2,58 | ||||||||||||
| 4,1 | 3,78 | 4,75 | 3,99 | 3,46 | 4,85 | 4,62 | 3,23 | 2,61 | 3,85 | ||||||||||||
| 3,81 | 3,64 | 3,98 | 3,68 | 3,83 | 3,61 | 2,96 | 3,61 | 3,51 | |||||||||||||
| 4,06 | 3,79 | 4,51 | 3,24 | 2,4 | 2,53 | 2,31 | 2,64 | 3,2 | 2,98 | ||||||||||||
| 3,97 | 4,5 | 2,99 | 3,7 | 4,68 | 2,86 | 3,71 | 2,75 | 3,27 | 3,46 | ||||||||||||
| 3,77 | 3,52 | 4,44 | 4,03 | 2,84 | 3,56 | 2,02 | 3,2 | 3,16 | 3,1 | ||||||||||||
| 4,85 | 4,4 | 4,2 | 4,22 | 1,99 | 4,2 | 4,85 | 3,4 | 2,92 | 3,15 | ||||||||||||
| 5,04 | 3,9 | 4,57 | 4,17 | 5,2 | 1,95 | 3,94 | 2,92 | 4,03 | 4,21 | ||||||||||||
| 4,01 | 3,6 | 3,94 | 4,59 | 3,14 | 3,13 | 4,81 | 3,18 | 3,7 | 3,1 | ||||||||||||
| 3,59 | 4,07 | 4,47 | 4,18 | 2,27 | 3,93 | 2,42 | 3,4 | 3,34 | |||||||||||||
| 3,96 | 3,83 | 3,73 | 3,41 | 2,97 | 2,69 | 2,29 | 2,36 | 3,3 | 2,82 | ||||||||||||
| 4,4 | 3,66 | 2,98 | 4,56 | 1,84 | 0,58 | 4,49 | 3,17 | 3,28 | 3,7 | ||||||||||||
| 4,57 | 4,01 | 4,17 | 4,03 | 2,53 | 3,68 | 1,53 | 3,26 | 2,48 | 3,1 | ||||||||||||
| 4,4 | 3,7 | 4,21 | 4,85 | 3,59 | 2,41 | 2,18 | 2,93 | 3,65 | 4,12 | ||||||||||||
| 3,84 | 3,32 | 3,85 | 4,6 | 3,8 | 2,8 | 3,22 | 3,14 | 3,6 | |||||||||||||
| 3,88 | 3,99 | 4,2 | 5,46 | 2,4 | 3,36 | 2,81 | 2,77 | 3,55 | 3,27 | ||||||||||||
| Дані | Варіанти | |||||||||
| 4,11 | 3,58 | 2,65 | 3,91 | 1,3 | 1,24 | 4,8 | 4,37 | 2,77 | 4,23 | |
| 3,37 | 4,32 | 4,06 | 2,44 | 3,3 | 2,43 | 2,14 | 2,67 | 3,81 | 2,49 | |
| 4,89 | 3,48 | 2,8 | 3,29 | 3,05 | 4,43 | 2,2 | 3,19 | 3,67 | 2,73 | |
| 3,09 | 3,87 | 5,56 | 4,32 | 3,3 | 1,97 | 2,82 | 0,45 | 2,06 | 1,67 | |
| 2,91 | 2,41 | 2,83 | 4,04 | 3,45 | 3,83 | 4,8 | 2,98 | 2,72 | 2,26 | |
| 2,21 | 4,39 | 4,83 | 3,96 | 1,86 | 5,08 | 2,88 | 3,41 | 2,95 | 2,12 | |
| 3,97 | 3,02 | 3,17 | 3,51 | 4,86 | 2,35 | 2,6 | 0,75 | 2,39 | 1,64 | |
| 4,86 | 0,65 | 2,7 | 3,14 | 1,97 | 3,38 | 3,62 | 1,08 | 3,73 | 2,38 | |
| 3,74 | 1,33 | 2,16 | 2,35 | 2,35 | 3,38 | 3,07 | 3,09 | 4,2 | 4,36 | |
| 2,58 | 2,03 | 2,7 | 4,34 | 2,58 | 1,49 | 3,19 | 4,04 | 2,37 | ||
| 3,17 | 3,01 | 4,94 | 2,37 | 4,34 | 2,03 | 2,37 | 3,54 | 2,06 | ||
| 2,17 | 3,18 | 2,21 | 2,84 | 2,93 | 0,95 | 2,84 | 2,19 | 1,35 | 3,96 | |
| 2,1 | 2,77 | 2,75 | 1,63 | 3,1 | 2,14 | 3,48 | 2,28 | 3,5 | 4,25 | |
| 2,48 | 2,88 | 4,33 | 1,7 | 1,26 | 2,93 | 3,44 | 3,86 | 1,82 | 4,43 | |
| 4,18 | 2,33 | 3,29 | 4,63 | 3,53 | 2,99 | 4,87 | 3,47 | 1,59 | 2,55 | |
| 2,18 | 4,3 | 2,5 | 1,08 | 3,41 | 3,3 | 1,91 | 4,33 | 2,1 | 2,27 | |
| 2,9 | 0,99 | 2,64 | 3,14 | 2,15 | 3,05 | 1,67 | 3,26 | 3,9 | 2,84 | |
| 2,68 | 3,51 | 4,6 | 2,41 | 3,51 | 2,98 | 2,57 | 1,58 | 3,29 | 3,14 | |
| 2,74 | 1,6 | 2,96 | 3,58 | 3,8 | 3,67 | 4,25 | 3,63 | 2,54 | 2,37 | |
| 3,11 | 2,49 | 2,96 | 1,68 | 3,05 | 2,66 | 3,48 | 2,32 | 3,53 | 3,77 | |
| 3,01 | 4,54 | 2,97 | 4,15 | 3,06 | 4,91 | 2,61 | 2,82 | 3,15 | 2,4 | |
| 4,96 | 4,14 | 2,82 | 3,79 | 3,68 | 4,21 | 3,04 | 2,65 | 3,83 | 4,23 | |
| 0,6 | 1,14 | 1,41 | 2,59 | 4,45 | 5,08 | 2,94 | 3,55 | 3,53 | 2,68 | |
| 3,31 | 3,05 | -0,23 | 2,55 | 4,42 | 1,4 | 3,57 | 2,95 | 3,03 | 1,3 | |
| 3,48 | 3,64 | 4,76 | 2,66 | 2,86 | 3,51 | 2,11 | 2,29 | 3,23 | 2,52 | |
| 3,46 | 4,26 | 2,46 | 2,11 | 2,23 | 1,72 | 3,71 | 3,32 | 5,3 | 3,71 | |
| 1,99 | 2,62 | 5,18 | 1,8 | 1,61 | 2,44 | 3,33 | 4,34 | 2,99 | 3,38 | |
| 2,59 | 2,71 | 3,03 | 5,15 | 3,27 | 1,96 | 2,22 | 3,03 | 3,07 | 3,45 | |
| 2,03 | 3,57 | 2,51 | 4,16 | 3,09 | 1,94 | 1,5 | 1,6 | 3,09 | ||
| 4,09 | 5,13 | 5,18 | 2,01 | 3,96 | 2,71 | 3,71 | 2,92 | 2,98 | 2,34 |
СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ
1) Визначається середнє арифметичне значення результатів вимірів (вибіркова середня)
(4.1)
Обчислюється виправлене (незміщене) значення середнього квадратичного відхилення результатів вимірів (стандарт вибірки)
(4.2)
2) Виключаються грубі помилки в експерименті на основі обчислень
x1=mx-tpSx (4.3)
x2= mx-tpSx (4.4)
де: tp–коефіцієнт Стьюдента, який залежить від імовірності р=0,95 та параметра k=N-1 (див. табл. 4.2)
Таблиця 4.2
| Розподіл Стьюдента,Значення t=t(Р,k) | ||||||||
| k | Р | |||||||
| 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | 0,999 | ||||
| 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 8,61 | ||||
| 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 | 6,859 | ||||
| 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5,959 | ||||
| 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 5,405 | ||||
| 1,86 | 2,262 | 2,896 | 3,355 | 5,041 | ||||
| 1,833 | 2,228 | 2,821 | 3,25 | 4,781 | ||||
| 1,812 | 2,201 | 2,764 | 3,169 | 4,587 | ||||
| 1,796 | 2,179 | 2,718 | 3,106 | 4,487 | ||||
| 1,782 | 2,16 | 2,681 | 3,055 | 4,318 | ||||
| 1,771 | 2,145 | 2,65 | 3,012 | 4,221 | ||||
| 1,761 | 2,131 | 2,624 | 2,977 | 4,14 | ||||
| 1,753 | 2,13 | 2,602 | 2,947 | 4,073 | ||||
| 1,746 | 2,12 | 2,583 | 2,921 | 4,015 | ||||
| 1,734 | 2,103 | 2,552 | 2,878 | 3,922 | ||||
| 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,85 | ||||
| 1,708 | 2,06 | 2,485 | 2,787 | 3,725 | ||||
| 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,75 | 3,646 | ||||
| 1,689 | 2,03 | 2,437 | 2,724 | 3,591 | ||||
| 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 | 3,551 | ||||
| 1,679 | 2,014 | 2,412 | 2,689 | 3,522 | ||||
| 1,676 | 2,008 | 2,403 | 2,677 | 3,497 | ||||
| 1,671 | 2,39 | 2,66 | 3,46 | |||||
| 1,667 | 1,995 | 2,381 | 2,648 | 3,436 | ||||
| 1,664 | 1,99 | 2,374 | 2,639 | 3,416 | ||||
| 1,662 | 1,987 | 2,368 | 2,632 | 3,401 | ||||
| 1,66 | 1,984 | 2,364 | 2,626 | 3,391 | ||||
| ∞ | 1,645 | 1,96 | 2,326 | 2,576 | 3,291 | |||
Закреслюють варіанти вибірки хі>х2 і отримують нову вибірку об’ємом n. Для нової вибірки повторюють розрахунок за п.1.(Якщо найменша варіанта хі>х2 і найбільша хі<х2, то вибірку залишають початковим об’ємом N і грубі випадкові помилки в експерименті відсутні)
3) За допомогою таблиці 4.2 для імовірності Р=0,95 і значення k=n-1 знаходиться коефіцієнт Стьюдента tр. Імовірне значення випадкової похибки ε обчислюється за формулою
(4.5)
а вимірювана величина х буде знаходитись в інтервалі
х є (mх-ε; mх+ε)
4) Абсолютна систематична похибка для двох приладів обчислюється за формулою
(4.5)
5) Результуючу похибку метрологічних вимірів з урахуванням класу точності приладів обчислюють наступним чином: а) визначають результуючий стандарт всіх похибок за формулою
(4.7)
6) Обчислюється коефіцієнт К
(4.8)
в) Метрологічна межа результуючої похибки вимірів обчислюється за формулою
(4.9)
а величина, що вимірювалась, буде розташована в інтервалі
х є (mх-Δ; mх+Δ)
Оформлення звіту
1. Переписати текст вихідної інформації з наведенням вибірки, відносних похибок δ1 та δ2 приладів П1 та П2.
2. За стандартною програмою статистичних обчислень (наприклад, на калькуляторі типу СІТІZЕN) обчислити mх=х та Sх=σn-1.
3. За пунктом 2 виключити грубі помилки і скорегувати нові значення вибіркової середньої mх стандарту вибірки та її об’єму n.
4. За пунктами 3-5 з наведенням відповідних формул обчислити значення ε, Θ та Δ.
5. Результати обчислень оформити в таблицю
| mх | n | Sх | ε | Θ1 | Θ2 | Θ | Δ |
Межі інтервалів
| mх-ε | mх+ε | mх-Θ | mх+Θ | mх-Δ | mх+Δ |
6. Обчислити значення
(4.10)
порівняти значення ε, Θ та Δ і зробити висновок, що більшим чином ε(а 
0,8) чи Θ(а 
8) впливає на результуючу величину Δ.
Контрольні запитання
1. Відносна та абсолютна похибки та їх взаємозв’язок.
2. Що таке випадкова похибка і чим вона викликана?
3. Систематичні похибки і причини їх виникнення.
4. Які похибки неможливо виключити ні за яких умов?
5. Охарактеризувати послідовність статистичної обробки результатів вимірювання.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5
