Лабораторная робота №1.
Тема: Теория приближенных вычислений.
Цель: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, решения обратной задачи теории погрешностей и нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции.
Ход работы:
1. Запустите МаthCad.
Абсолютная и относительная погрешности.
2.1. Если х=0,00006, а х*=0,00005, найти: ex и dx.
2.2. Если х=100500, а х*=100000, найти: ex и dx..
2.3. Используя Маthcad найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел х =984,6 и х= 2,364, если они имеют только верные цифры: а) в строгом смысле, б) в широком смысле.
2.4. Задано число х = 2,3644 иотносительная погрешность 
=0,07%. Определить количество верных цифр числа по относительной погрешности.
Решение.
= 0,0007 <10-3, значит, число х имеет по крайней мере, две цифры, верных в строгом смысле. Вычислим:
.
То есть, в строгом смысле действительно верны цифры 2 и 3.
2.5. Пусть х =984,6, =0,008. Определить количество верных цифр в числе х.
Решение.
Очевидно, что 0,008 <0,01= 
. Это означает, что число х имеет, по крайней мере, одну верную в строгом смысле цифру (цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле.
Вычислим 
. Полученная абсолютная погрешность не превышает половину единицы разряда сотен. Откуда следует, что цифра 9 действительно верна в строгом смысле, как по относительной погрешности, так и по абсолютной.
2.6. Пусть х = 24,307, = 0,005 %. Определить все верные цифры числа.
Решение.
, значит, в х, по крайней мере, четыре цифры верны в строгом смысле. Вычислим 
. То есть верными цифрами будут являться цифры 2, 4, 3, 0.
2.7. Дано число х = 24,010. Цифры верны в строгом смысле. Указать границы его абсолютной и относительной погрешности.
Решение.
Из определения цифры, верной в строгом смысле, можно заключить, что абсолютная погрешность числа х не превосходит половины единицы разряда тысячных. Значит ех =0,0005.
Относительную погрешность найдем по формуле:
.
2.8. При взвешивании двух грузов получили следующие значения их масс х =0,5 кг, у= 50 кг. Считая абсолютную погрешность взвешивания равной 1 г, определить относительную погрешность измерения масс тел х, у. Какое из тел взвешено более точно?
Решение.
Относительную погрешность найдем по формулам:
%
%
Более точно измерен груз весом 50 кг.
Погрешность округленного числа.
3.1. Округляя число х= 1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле.
Решение.
Округлим число х до четырех значащих цифр: 
=1,143.
По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность 
.
Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления:
;
;
.
3.2. Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности х= 1,1426. Решить в МаthCad.
Решение:
3.3. Со сколькими верными в строгом смысле десятичными знаками после запятой нужно взять:
а) 
;
б) sin(0,9);
в) 
;
г) 
, чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.
Решение.
а) 
Относительная погрешность 
. Значит, число , по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
. Следовательно, цифры 4 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 
.
б) sin(0,9)=0,7833269;
Относительная погрешность . Значит, число sin(0,9), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
. Следовательно, цифры 5, 7 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ sin(0,9)=0,783.
в) 
Относительная погрешность . Значит, число, по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры. 
. Следовательно, цифры 5 и 7 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ: 0,057.
г) 1n (1,25) = 0,223144.
Относительная погрешность . Значит, число 1n (1,25), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
. Следовательно, цифры 2, 2, 3, 1 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 1n (1,25) = 0,2231. 
, 
.
Погрешности арифметических действий.
4.1. Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых даны. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
,
Решение.
Найдем сумму данных чисел х + у = 7,12 + 8,27 = 15,39.
Для определения количества верных цифр найдем абсолютную погрешность суммы 
, Данное число показывает, что в числе 15,39 верными будут цифры до разряда десятых, т. е. цифры 1, 5 и 3. И т. к. мы отбрасываем число 9, большее пяти, то результат сложения будет 15,4.
По относительной погрешности можно получить более строгую оценку количества верных цифр:
и 
.
Тогда:
То есть в числе 15,39 цифры 1, 5 верны в строгом смысле.
Ответ: 15.
4.2. Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
х = 13,876, у = 11,82.
Решение.
Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превосходят единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. Поэтому 
, 
.
Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:
;
Найдем разность чисел х-у- 13,876-11,82 = 2,056.
Найдем абсолютную погрешность полученной разности. Она будет равна:
.
То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.
Найдем относительную погрешность разности. Она будет равна:
Действительно, две первые цифры верны в числе 2,056.
Ответ: 2,06.
