Арифметические основы работы ЭВМ

Двоичная система счисления получила широкое распространение с появлением ЭВМ. Любое число в этой системе представляется сочетанием нулей и единиц. Это позволяет достаточно просто организовать хранение и переработку информации, представленной в двоичном виде. Другим важным достоинством двоичной системы счисления является простота вычислений. Выполнение арифметических действий над числами в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной. При этом пользуются соответствующими таблицами. Рассмотрим только две арифметические операции: сложение и умножение, так как вычитание и деление по существу сводятся к сложению.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами можно свести в таблицу:

Сложение	Умножение
0 + 0 = 0	0 0 = 0
0 + 1 = 1	0 1 = 0
1 + 0 = 1	1 0 = 0
1 + 1 = 10	1 1 = 1

В устройствах, реализующих операцию арифметического сложения двоичных чисел, операнды представляют числами определенной разрядности (одинаковой для обоих операндов). При этом неиспользуемые разряды заполняются нулями. Это касается как целой, так и дробной частей числа.

В реальных ЭВМ чаще всего используются 16-, 32- и 64-разрядные числа. Однако для учебных целей при рассмотрении методов выполнения арифметических операций не будем обращать внимание на разрядность операндов (т. е. будем использовать разрядность, отличающуюся от разрядности реальных ЭВМ).

В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд.

Пример 13. Выполнить операцию арифметического сложения двоичных чисел 110111,01₂ и 10011,1₂.

Решение:

В качестве проверки воспользуемся десятичными числами, соответствующими исходным двоичным. При сложении дробей перенос осуществляется из дробной части числа в целую.

Умножение двоичных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1.

Пример 14. Перемножить двоичные числа 111,1₂ и 101₂.

Решение:

Как и в предыдущем случае, в качестве проверки используем десятичные числа, соответствующие исходным двоичным.

В рассмотренном примере второй разряд множителя равен 0, поэтому второе частичное произведение также равно 0.