Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Лабораторная работа №1

Тема: Математические основы компьютерной техники

Цель работы: изучение арифметических и логических основ работы ЭВМ.

 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Компьютер предназначен для ввода, обработки, хранения и вывода информации. Любая информация в компьютерах представляется с помощью чисел. Для записи чисел используются системы счисления (десятичная, двоичная, шестнадцатеричная).

Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.

Система счисления показывает, по каким правилам мы записываем числа и выполняем над ними действия (сложение, умножение и т.п.). Система счисления — это способ представления чисел. Количество символов, используемых в системе счисления, называют основанием этой системы счисления. Различают непозиционные и позиционные системы.

В непозиционной системе счисления значение каждой цифры в любом месте последовательности цифр, означающей запись числа, не изменяется. Примером непозиционной системы счисления является так называемая римская система счисления. Здесь знак I всегда означает единицу, знак V — пять, знак X — десять. Действительно, в числе XXX, записанном в римской системе счисления, цифра X в любом месте означает десять. Запись чисел в непозиционной системе счисления громоздка и неудобна. Например, число 278 в римской системе счисления запишется в виде CCLXXVIII. В особенности неудобны и сложны в таких системах арифметические действия.

Система счисления, в которой величина цифры определяется ее местоположением (позицией), называется позиционной. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе называется разрядностью числа. Например, десятичное число 2981 является четырехразрядным. Разряды нумеруются справа налево, и каждому разряду соответствует степень основания.

Разряд 3 2 1 0 Название разряда Степень основания

Число 2 9 8 1

1 Единицы 10⁰

8 Десятки 10¹

9 Сотни 10²

2 Тысячи 10³

 

Примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления, которой мы пользуемся. Например, в числе 555 значение цифры 5 зависит от позиции, в которой она находится. Значение цифры 5 в разряде десятков в десять раз больше ее значения в разряде единиц и в десять раз меньше ее значения в разряде сотен.

Ввычислительной технике широкое применение нашли также двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. В двоичной системе счисления используются два символа: 0 и 1, основание системы равно 2. Двоичная система используется в компьютерах потому, что электрическими сигналами очень просто обозначить двоичные цифры: 0 - нет сигнала и 1 - есть сигнал. В десятичной системе счисления — 10 символов: от 0 до 9. В шестнадцатеричной системе счисления — 16 символов: цифры от 0 до 9 и первые шесть букв латинского алфавита (от A до F). Шестнадцатеричная система счисления просто соотносится с двоичной системой: одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырем двоичным разрядам.

Несмотря на то, что десятичная система счисления имеет широкое распространение, электронно-вычислительные машины строятся на двоичных элементах, так как реализовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно, шестнадцатеричная система счисления используется при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML, Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представления о двоичной системе счисления.

Для обозначения используемой системы счисления нижним индексом указывают ее основание: 15₁₀, 1011₂, 1EF90₁₆.

В общем случае в позиционной системе счисления с основанием Q любое число может быть представлено в виде полинома:

X=A_nQⁿ + … +A₁Q¹ + A₀Q⁰ + A_-1Q^-1 + A_-2Q^-2 + … + A_-mQ^{-m (*)}

где в качестве коэффициентов A_i могут стоять любые символы, используемые в данной системе счисления. Принято представлять числа в виде последовательности соответствующих символов:

X = A_n A_{n - 1} … A₁ A₀ , A_-1 A_-2 … A_-m

запятая отделяет целую часть числа от дробной.

 

В таблице приведены двоичные эквиваленты (тетрады) шестнадцатеричных символов:

Двоичная система счисления	Десятичная система счисления	Шестнадцатеричная система счисления
		A
		B
		C
		D
		E
		F

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Рассмотрим правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления каждый символ исходного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом (см. таблицу). В полученном двоичном числе удаляются незначащие нули (крайние слева в целой части и крайние справа — в дробной).

Пример 1. Перевести число 7D2,E₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

Решение:

 

7 D 2, E = 011111010010,1110

â â â â

0111 1101 0010, 1110

Ответ: 7D2,E₁₆ = 11111010010,111₂

 

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления поступают следующим образом: двигаясь от десятичной запятой сначала влево, затем вправо, разбивают двоичное число на группы по четыре разряда, дополняя, при необходимости, нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из четырех разрядов заменяют соответствующим шестнадцатеричным символом (см. таблицу).

 

Пример 2. Перевести число 10111110001,001₂ из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение:

0101 1111 0001, 0010 = 5F1,2

â â â â

5 F 1, 2

Ответ: 10111110001,001₂ = 5F1,2₁₆

 

Для перевода двоичного или шестнадцатеричного числа в десятичную систему счисления достаточно представить число в виде полинома (*), подставив в него известные коэффициенты, и вычислить сумму.

Пример 3. Перевести число 11011,11₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

11011,11 = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2° + 1*2^-1 +1*2^-2 = = 16+8+0+2+1+0,5+0,25 = 27,75

Ответ: 11011,112 = 27,7510

Пример 4. Перевести число 4A,1₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

4А,1 = 4*16¹ + 10*16° + 1*16^-1 = 64+10+0062,5 = 74,0625

Ответ: 4А,1₁₆ = 74,0625₁₀

 

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления необходимо делить это число, а затем получаемые частные на 2 до тех пор, пока ча­стное не станет равным 1. Последнее частное и ос­татки записывают в порядке, обратном их получению.

Пример 5. Перевести число 25₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную:

Решение:

Ответ: 25₁₀ = 11001₂

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо делить это число, а затем получаемые частные на 16 до тех пор, пока частное не станет меньше 16. Последнее частное и остатки записывают в порядке, обратном их получению.

Пример 6. Перевести число 177₁₀ из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

Решение:

Ответ: 177₁₀ = В1₁₆

 

Для перевода правильной десятичной дроби (целая часть равна 0) в двоичную систему счисления необходимо умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на 2. Операцию умножения повторяют до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной 0 или не будет достигнута заданная точность (определенное количество символов). Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является записью полученного двоичного числа.

Пример 7. Перевести правильную десятичную дробь 0,1875₁₀ в двоичную систему счисления.

Ответ: 0,1875₁₀ = 0,0011₂

 

Для перевода правильной десятичной дроби в шестнадцатеричную систему счисления необходимо умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на 16. Операцию умножения повторяют до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной 0 или не будет достигнута заданная точность. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является записью полученного шестнадцатеричного числа.

Пример 8. Перевести правильную десятичную дробь 0,47₁₀ из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную с точностью до пяти знаков.

Решение.

Ответ: 0,47₁₀ = 0,7851Е₁₆

 

При переводе неправильной десятичной дроби в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления отдельно переводят целую и дробную части, руководствуясь соответствующими правилами.

Пример 9. Перевести число 9,625 из десятичной системы счисления в двоичную.

Решение:

Переведем целую часть десятичного числа в двоичную систему счисления (см. пример 5):

9₁₀ = 1001₂

Затем переведем правильную дробь (см. пример 7):

0,625₁₀ = 0,101₂

 

Ответ: 9,625₁₀ = 1001,101₂

Пример 10. Перевести число 399,125 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение:

Переведем целую часть десятичного числа в шестнадцатеричную систему счисления (см. пример 6):

399₁₀ = 18F₁₆

Затем переведем правильную дробь (см. пример 8):

0,125₁₀=0,2₁₆

Ответ: 399,125₁₀ = 18F,2₁₆

При переводе чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот иногда применяют так называемый «двойной перевод», когда в качестве промежуточного используют двоичное число. Перевод осуществляют по схеме 10 ® 2®16 или 16®2®10.

Пример 11. Перевести число 741,625₁₀ из десятич­ной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение:

Переведем десятичное число в двоичную систему счисления (см. пример 9):

741,625₁₀ = 1011100101,101₂

Затем переведем полученное двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления (см. пример 2): 1011100101,101₂ = 2Е5,А₁₆

Ответ: 741,625₁₀ = 2E5,A₁₆

Пример 12. Перевести число DC,2₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

Переведем шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления (см. пример 1):

DC,2₁₆ = 11011100,0012

Затем полученное двоичное число переведем в десятичную систему счисления (см. пример 3):

11011100,001₂ = 200,125₁₀

Ответ: DC,2₁₆ = 200,125₁₀