Формирование требований к полосовому фильтру. Эффективная часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 81,982 кГц до 118,018 кГц

Эффективная часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 81,982 кГц до 118,018 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 125 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 127,027 кГц. Следовательно, f_з2 = f₃ = 127,027 кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

кГц

Тогда граничная частота f_з.1 полосы непропускания будет

кГц

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₃ и f₅ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол – полного ослабления:

дБ,

где

дБ

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

кГц

дБ

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

кГц

По формулам получаем значения нормированных частот (w_н)

Ω_з

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.

Рисунок 3. Требования к НЧ-прототипу

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из формулы:

А(Ω)=10lg[1+ε²ψ²(Ω)]

при A = ∆A и Ω = 1, когда ψ(1) = Тm(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится также из формулы А(Ω)=10lg[1+ε²ψ²(Ω)], но при A = A_min и Ω = Ω_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПП полином Чебышева Т_m(Ω) = ch(m archΩ), поэтому

Для вычисления функции arch х рекомендуется соотношение

По формуле вычисляем значение m. Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

Пользуясь таблицей 2, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

∆A, дБ	Порядок m=3
0,2 0,5 1,0 3,0	-0,814634; -0,407317±j1,11701 -0,626457; -0,313228±j1,021928 -0,494171; -0,247085±j0,965999 -0,29862; -0,14931±j0,903813

Таблица 2.Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра составляется выражение для входного сопротивления . Подставляя в формулу значение v(р) и значение h(p), получим

Данная формула описывает входное сопротивление двухполюсника. А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, получим:

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:

По данной формуле составляем схему (рисунок 4), на которой С_1н = 3,349; L_2н = 0,712; С_3н = 3,349; R_г.н= R_н.н = R_нор.

Рисунок 4. Схема ФНЧ-прототипа

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

где – нормирующая частота;

R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения и значения ω_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

нФ

мГн

нФ