Часть 3. Синтез цифрового фильтра с характеристиками Баттерворта

Эскиз требований к частотной характеристике аналогового ФНЧ-прототипа

представлен на рис.14. Переход от аналогового ФНЧ к цифровому невозможен без частоты дискретизации:

f_д ≥ 2,3∙f₂ =2,3∙6,495 ≈ 14,938

Произведём преобразование частоты для цифрового фильтра:

f_1цп = f_д/π ∙tg[(f₁∙π)/ f_д)] = 14,938/3,14∙tg[(3,94∙180)/ 14,938] = 5,185 кГц;

f_2цп = f_д/π ∙tg[(f₂∙π)/ f_д)] = 14,938/3,14∙tg[(6,495∙180)/ 14,938] = 22,882 кГц;

 

 

Рисунок 19 – Эскиз требований к частотной характеристике ЦФНЧ-прототипа

а) затухания;

б) коэффициента передачи.

 

Нормированная частота ЦФНЧ-прототипа:

Ω_2цп = f_2цп /f_1цп ≈ 4,413.

 

 

 

Формула расчёта порядка цифрового фильтра Баттерворта имеет вид:

n_б ≥ [A₂ – 10 lg(10^0,1A1-1)]/(20lg Ω_2цп)

Согласно исходным данным и рассчитанной нормированной частоте:

n_б ≥ 4,28.

Округлив полученный результат до ближайшего целого числа, получим порядок фильтра Баттерворта для данного случая n_б = 5.

Одним из вариантов синтеза цифровых фильтров является их синтез по известной АЧХ аналогового прототипа. Для такого синтеза необходимо знать требования к неравномерности АЧХ в полосе пропускания и ослабление в полосе задержки, а также граничные частоты ПП и ПЗ.

Для синтеза фильтра по его передаточной функции необходимо выбрать желаемую аппроксимацию и, исходя из неё, найти АЧХ фильтра.

Найдём С:

С = ε ² =10^0,1A1 -1= 0,033.

 

Рисунок 20 – АЧХ ФНЧ в зависимости от C_n

 

Вычислим корни полинома Баттерворта для ФНЧ-прототипа 5-го порядка:

Р_б1 = = - 0,309 + j0,951,

Р_б2 = = - 0,809 + j0,588,

Р_б3 = = - 1,

Р_б4 = = - 0,809 - j0,588,

Р_б5 = =- 0,309 - j0,951

Составим комплексно-сопряженные пары:

(Р – Р_б1)(Р – Р_б5) = Р² + 0,618Р +1,

(Р – Р_б3) = Р⁺1,

(Р – Р_б2)(Р – Р_б4) = Р² + 1,618 Р +1,

 

 

Передаточная функция при С = 1 будет иметь вид:

 

Н_б (р) =

Передаточная функция при С ≠ 1 будет иметь вид:

 

Н_б (р) = .

 

где δ для данного варианта равна:

δ = ²ⁿ √(1/С) = ¹² √(1/0,033) = 1,408.

Следовательно:

Н_б (р) = .

Далее к каждому сомножителю применим билинейное z-преобразование, предварительно выполнив нормирование относительно граничной частоты ПП:

где ω = 2πf_1цп=2∙3,14∙5,185 = 32,577

, а .

Для удобства вычислений введём замену:

x = (1 – z ^-1); x² = (1 - 2 z ^-1 + z ^-2);

y = (1 + z ^-1); y² =(1 + 2 z ^-1 + z ^-2);

xy = (1 – z ^-2).Посчитаем передаточную функцию используя замену:

Н_б (р) = .=

 

= .=

= = =

 

= =

 

= =

 

= ∙ ∙ =

 

= =

 

= =.

 

Окончательный вариант передаточной функции имеет вид:

Н_б (z) = .

Разложим данную функцию на три подфункции и запишем соответствующие разностные уравнения:

Н_б1(z) = ;

Y(z) = 0,134X(z) +0,134 z ^-1 X(z) - 0,211z ^-1 ;

y(n) = 0,134x(n) +0,134 x(n-1) - 0,211y(n-1);

 

Н_б2(z) = ;

Y(z) = X(z) +2 z ^-1 X(z) + z ^-2 X(z) - 0,63 z ^-1 Y(z) -0,559 z ^-2 Y(z);

y(n) = x(n) +2 x(n-1) + x(n-2) - 0,63 y(n-1) -0,559 y(n-2);

Н_б3(z) = ;

Y(z) = X(z) +2 z ^-1 X(z) + z ^-2 X(z) - 0,464 z ^-1 Y(z) +0,149 z ^-2 Y(z);

y(n) = x(n) +2 x(n-1) + x(n-2) - 0,464 y(n-1) +0,149 y(n-2);

Рисунок 22 – Схема ЦФНЧ Баттерворта 6-го порядка во временной области

Рисунок 23 – Схема ЦФНЧ Баттерворта 6-го в каноническом виде

Приведём передаточную функцию Баттерворта к классическому виду. В результате получим:

 

Н_б (z) = =

 

=

 

Произведём замену z = e^jΩn :

 

 

Н_б (e^jΩ) = =

 

 

 

=

 

.

 

Введём замену:

A = 0,134[1+5cos(Ω) + 10cos(2Ω) + 10cos(3Ω) +5cos(4Ω) + 1cos(5Ω)];

B = 0,134 [-5sin(Ω) - 10sin(2Ω) -10sin(3Ω) - 5sin(4Ω) - 1sin(5Ω)];

D = 1 + 1,305 cos(Ω)+1,231 cos(2Ω) + 0,797 cos(3Ω) + 0,183 cos(4Ω) + 0,052 cos(5Ω);

F = -1,305sin(Ω) – 1,231sin(2Ω) – 0,797sin(3Ω) – 0,183sin(4Ω) – 0,052sin(5Ω).

 

Произведя расчёты частоты и коэффициентов A, B, D, F в MathCad, получим:

 

Ω = 2πf₁/f_д = (2∙180∙ 3,94)/14,938 = 94,952

 

A=-0,157; B=0,528; D=0,429; F= - 0,487;

 

Н(Ω) = = 0,849.

 

θ(Ω)=arctg(A/B) – arctg(D/F) = -0,433 рад. – при условии что угол находится в диапазоне

от –π/2 до π/2.

 

При использовании диапазона измерения углов от –π до π:

 

X=π/2+arctg(B/A)=0,289;

 

Y=arctg(F/D)=-0,849

 

θ(Ω)=x-y=1,138

 

Вывод: В данной части курсовой работы мы изучили принцип перехода от аналогового фильтра к цифровому на основе z-преобразования.

Н(Ω)≈ H(f)

Это значит, что синтез фильтра произведён верно.