Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

Для непосредственного сложения синусоидальных функций необходимо производить достаточно громоздкие операции. Существенное упрощение достигается, если синусоидальную функцию изобразить в виде вращающегося вектора.

Векторное изображение синусоиды строится следующим образом (см. рис. 3.2).

 

Рис. 3.2.

 

На плоскости из начала координат под углом , равному начальной фазе синусоиды, проводится прямая и на ней откладывается в масштабе отрезок, равный амплитуде колебания. Угол откладывается против часовой стрелки от горизонтальной оси, если ; и по часовой стрелке, если . Если угол откладывать от горизонтальной оси, то проекция вектора на вертикальную ось равна (в выбранном масштабе) мгновенному значению синусоидальной функции.

Построим векторное изображение суммы двух функций (рис. 3.3):

 

(3.5)

 

Очевидно, что вместо сложения синусоид удобно геометрически складывать их векторные изображения. Таким образом, получили простейшую векторную диаграмму.

 

 

Рис. 3.3.

 

Векторная диаграмма представляет собой совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции одинаковой частоты, построенных с соблюдением масштаба и правильной ориентации их друг относительно друга по фазе.

Условились: вместо амплитуд на векторных диаграммах откладывать действующее значение функции.

Мгновенная мощность P_R = u_Ri содержит две составляющие: постоянную и переменную, которая изменяется по закону косинуса с частотой

(3.8)

Среднее за период значение мгновенной мощности (называется активной мощностью) равно:

 

 

Билет №10. Символическое изображение гармонических колебаний комплексным числом. Связь мгновенных значений колебаний с комплексной амплитудой.

Соотношения между амплитудами и начальными фазами гармонических токов и напряжений в пассивных элементах.

 

Любую гармоническую функцию можно изобразить в виде вектора (рис. 4.1, а), а каждому вектору можно поставить в соответствие комплексное число (рис. 4.1, б).

a)

б)

Рис. 4.1.

 

Существуют три формы записи комплексного числа

1. - показательная (А - модуль комплексного числа, j - его аргумент);

2. - тригонометрическая;

3. - алгебраическая (а - вещественная часть, б - мнимая

часть).

Переход от одной формы записи к другой можно осуществить с помощью формул:

 

; ; (4.1)

; .

 

Необходимо запомнить:

 

; ; ; . (4.2)

 

Комплексной амплитудой называется комплексная величина, модуль которой равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент - начальной фазе.

В раз меньшую величину называют комплексным действующим

значением - комплексным током.

 

 

Аналогично

- комплексная амплитуда напряжения;

- комплексное напряжение.

 

Составим новое комплексное число

	(4.4)

(4.3)

которое называется вращающимся вектором тока.

Разложим по формуле Эйлера:

 

(4.5)

 

Следовательно, синусоидальный ток является мнимой частью вращающегося вектора, т.е.

,

где j - знак мнимой части.

Часто величины i, u, называют оригиналами, а – их комплексными изображениями.

 

 

Билет №11. Закон Ома для комплексных амплитуд колебаний. Модуль и аргумент, вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления и комплексной проводимости двухполюсника. Соотношения между комплексными амплитудами тока и напряжения в пассивных элементах.

 

Комплексным сопротивлением называется отношение комплексного напряжения к комплексному току :

 

(4.9)

 

Используя формулу Эйлера, получим

 

(4.10)

 

где - модуль комплексного сопротивления, равный полному сопротивлению цепи;

- аргумент комплексного сопротивления;

R и Х - активное и реактивное сопротивление цепи.

 

Комплексной проводимостью называется величина, обратная комплексному сопротивлению

 

; (4.11)

; ;

 

Y, G, В - полная, активная, реактивная проводимость.

Очевидна следующая связь , используя которую можно установить зависимость между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями ЭЦ. При заданном комплексном сопротивлении некоторого участка цепи можно определить комплексную проводимость того же участка:

 

(4.12)

 

Если задана комплексная проводимость некоторого участка ЭЦ, то комплексное сопротивление того же участка равно

. (4.13)