Описание лабораторного макета. Лабораторная работа выполняется на компьютере с использованием виртуального макета, структурную схему которого приведено на рис

Лабораторная работа выполняется на компьютере с использованием виртуального макета, структурную схему которого приведено на рис. 2. Макет дает возможность исследовать характеристики процессов с равномерным распределением вероятностей, с гауссовским распределением вероятностей и гармонического колебания.

 

Для каждого из процессов макет реализует две основные функции:

1) Генерирование N отсчетов исследуемого процесса X (t) и вывод их на дисплей “Реализация процесса”.

2) Расчеты на основе генерированных отсчетов значений и вывод на дисплей:

а) функции распределения вероятностей;

б) плотности вероятности;

в) среднего значения;

г) среднего квадратического отклонения (СКО).

Для каждого исследуемого процесса используется свой способ генерирования отсчетов, разные параметры процессов, которыми они задаются.

Генерирование отсчетов процесса с равномерным распределением вероятностей выполняется с помощью встроенной функции randomize. Исследователь может устанавливать значение x _min и x _max.

Генерирование отсчетов процесса с гауссовским распределением вероятностей выполняется с помощью нелинейного преобразования двух массивов отсчетов с равномерным распределением вероятностей, которые вырабатываются с помощью встроенной функции randomize.

Генерирование отсчетов гармонического колебания выполняется встроенным функциональным генератором со сменными амплитудой, частотой и начальной фазой колебания.

Расчет значений функции распределения вероятностей и плотности вероятности выполняется в диапазоне значений аргумента от нижнего значения x _ниж до верхнего значения x _верх. Интервал (x _ниж, x _верх) разбивается на М одинаковых
подинтервалов протяженностью D x = (x _верх – x _ниж)/ M; рассчитывается количество отсчетов k_j, попадающих в j -й подинтервал (j принимает значение от 1 до М). Частота попадания значений отсчетов в j -й подинтервал q_j = k_j / N. При достаточно больших значениях M и N (в макете M = 200, N = 10000) значение частоты q_j дает вероятность попадания значений отсчетов в j -й подинтервал. Согласно свойству плотности вероятности р (х) (строка 1 в табл. 1) вероятность попадания значений отсчетов в i -й подинтервал q_j = р (х_j)D x, где х_j = j D x. Поэтому

. (9)

Массивы значений р (х_j) и х_j выводятся на дисплей “Плотность вероятности”.

На основе свойства функции распределения вероятностей F (x), приведенной в строке 5 табл. 1, рассчитывается массив значений

. (10)

Массивы значений F (х_j) и х_j выводятся на дисплей “Функция распределения вероятностей”.

Расчет среднего значения исследуемого процесса производится по формуле

, (11)

где X (i), – i -й отсчет исследуемого процесса. Число выводится на дисплей “Измеренное среднее значение”.

Расчет среднего квадратического отклонения исследуемого процесса производится по формуле

. (12)

Число s выводится на дисплей “Измеренное СКО”.

Требования к отчету

7.1 Название лабораторной работы.

7.2 Цель работы.

7.3 Результаты выполнения домашнего задания.

7.4 Структурные схемы исследований и результаты выполнения пп. 5.2...5.4 лабораторного задания (графики и числовые значения).

7.5 Выводы по каждому пункту задачи, в которых предоставить анализ полученных результатов (проверка выполнения свойств функции распределения вероятностей и плотности вероятности, совпадение экспериментальных и теоретических данных).

7.6 Дата, подпись студента, виза преподавателя с оценкой в 100-балльной системе оценивания.

 

ЛР 1.3 Корреляционные характеристики
случайных процессов и детерминированных сигналов

Цель работы

Изучение метода экспериментального определения корреляционных характеристик случайных процессов и детерминированных сигналов. Исследование связи между корреляционными функциями и спектрами случайных процессов и детерминированных сигналов.

Ключевые положения

2.1 Корреляционной функцией (КФ) случайного процесса X (t) называется математическое ожидание произведения значений процесса, которые он принимает в моменты времени t ₁ и t ₂:

. (1)

Значение КФ K_Х (t ₁, t ₂) определяют величину статистической зависимости между значениями процесса в моменты времени t ₁ и t ₂. У стационарных процессов значения КФ зависят не от выбора t ₁ и t ₂, а от расстояния между ними t = t ₂ – t ₁, а КФ обозначается K_X (t). Дальше будем рассматривать лишь стационарные процессы и считать, что они являются эргодическими. Для эргодических процессов КФ определяется

, (2)

где x (t) – реализация процесса X (t).

2.2 Независимо от вида КФ разных процессов, для них выполняются следующие свойства:

- K_X (0) = Р_Х, где Р_Х – средняя мощность процесса;

- K_X (0) ³ K_X (t) – когда t = 0, значение функции K_X (t) максимальное;

- K_X (t) = K_X (–t) – функция K_X (t) четная;

- K_X (¥) ® , где – среднее значение процесса.

2.3 Чем меньшее значение K_X (t) по сравнению с K_X (0), тем меньше статистическая зависимость между значениями процесса, которые отдалены во времени на t. Если значение K_X (t) = 0, то значения процесса X (t), которые отдалены во времени на такой интервал t, являются некоррелированными. Значение K_X (t) и K_X (0) легче сравнивать, если перейти к нормированной корреляционной функции

. (3)

Значение R_X (0) = 1 и –1 £ R_X (t) £ 1.

2.4 Часто для описания корреляционных свойств случайных процессов вместо КФ используют число – интервал корреляции t_к. Интервал корреляции вводится для “грубого” описания корреляционных свойств процесса, а именно, значения процесса, отдаленные на время t > t_к, считают некоррелированными, а значение процесса, отдаленные на время t £ t_к, считают коррелированными. Используются разные способы определения интервала корреляции:

1) Интервал корреляции t_к равен основанию прямоугольника высоты K_X (0), площадь которого равна площади под кривой модуля КФ (рис. 1, а):

. (4)

2) Интервалом корреляции является такое значение t_к, что при t > t_к значение КФ не превышают некоторого заданного уровня (рис. 1, б).

3) Если КФ имеет колебательный характер, то в качестве интервала корреляции t_к можно принять значение t, при котором КФ первый раз принимает нулевое значение (рис. 1, в).

 

2.5 Измерить КФ строго в соответствии с (2) невозможно, поскольку для этого необходима реализация процесса бесконечной длительности. Можно измерить КФ лишь реализации случайного процесса конечной длительности. Очевидно, чем больше длительность реализации процесса Т _реал, тем точнее измеренная КФ реализации отображает КФ процесса. Устройство для измерения КФ реализации называется коррелометром (рис. 2). Здесь время задержки t определяет аргумент измеренного значения КФ. Если коррелометр, показанный на рис. 2, выполнить на процессоре или на компьютере, то можно получить массив значений К_Х (kТ _д), где Т _д – интервал дискретизации реализации процесса x (t); значение аргумента лежат в пределах – Т _реал £ kТ _д £ Т _реал. Полученные массивы значений kТ _д и К_Х (kТ _д) выводятся на двумерный дисплей

 

2.6 Основной спектральной характеристикой случайных процессов является спектральная плотность мощности G_X (f), которая определяет распределение мощности процесса по частоте. Количественно функция G_X (f) определяет мощность процесса в полосе частот протяженностью 1 Гц возле частоты f. Теорема Хинчина-Винера утверждает, что функции K_X (t) и G_X (w) связаны преобразованиям Фурье

(5)

Если функция G_X (f) известна, то с помощью ее можно определить среднюю мощность процесса

. (6)

В частности, если процесс – квазибелый шум со спектральной плотностью мощности N ₀ в полосе частот (0, F _max),

P_X = N ₀× F _max. (7)

2.7 Часто достаточно знать ширину спектра процесса F _max. Ширина спектра случайного процесса определяется по функции G_X (f) такими же методами, как и ширина спектра детерминированного сигнала. На рис. 3 показано, как ширина спектра определяется на заданном уровне y, т.е. F _max – протяжность области частот, вне которой спектральная плотность мощности процесса не превышает значение у.

Поскольку функции K_X (t) и G_X (f) связаны преобразованиям Фурье, то имеется связь между шириной спектра F _max и интервалом корреляции t_к процесса:

t_к× F _max = 0,5. (8)

Знак равенства в выражении (8) следует понимать следующим чином – произведение интервала корреляции и ширины спектра процесса является величиной порядка 0,5.

2.8 Корреляционная функция является также характеристикой детерминированного сигнала, хотя и нет такого толкования, как для случайного процесса. КФ непериодического детерминированного сигнала определяется

, (9)

где T_s – продолжительность сигнала s (t).

Измерить КФ детерминированного сигнала можно с помощью коррелометра, схема которого приведена на рис. 2. Отличия: интегрирование ведется на интервале (0, T_s) и отсутствует множитель перед интегралом.

Пусть s (t) – П-импульс амплитуды А и длительности T _им

(10)

После подстановки (10) в (9) получим

(11)

КФ П-импульса показана на рис. 4, а.

Из выражения (9) вытекает, что K_s (0) = E_s – энергии сигнала s (t). Преобразование Фурье от K_s (t) дает квадрат амплитудного спектра (спектральную плотность энергии) сигнала s (t). Преобразование Фурье от выражения (11) дает квадрат известного выражения для амплитудного спектра П-импульса

. (12)

 

2.9 Рассмотрим радиоимпульс длительности T _им с П-образной огибающей

(13)

где А, f ₀ и j₀ – амплитуда, частота и начальная фаза колебания.

После подстановки (13) в (9) получим

(14)

Из (14) вытекает, что КФ радиоимпульса есть косинусоида с нулевой начальной фазой и не зависит от фазы радиоимпульса. Поэтому, если начальная фаза радиоимпульса j₀ является случайной величиной, то КФ радиоимпульса определяется формулой (14). Огибающая КФ радиоимпульса совпадает с КФ сигнала, который является огибающей радиоимпульса. На рис. 4, б приведена КФ радиоимпульса, построенную по формуле (14) при f ₀ = 4/ T _им.

Преобразование Фурье от выражения (14) дает квадрат амплитудного спектра сигнала (13)

. (15)

Ключевые вопросы

3.1 Дать определения КФ случайного процесса.

3.2 Как определяется КФ эргодического процесса?

3.3 Перечислить основные свойства КФ случайного процесса.

3.4 Какие параметры случайного процесса можно определить по его КФ?

3.5 Что утверждает теорема Хинчина-Винера?

3.6 Перечислить способы определения интервала корреляции.

3.7 Как связаны между собой ширина спектра и интервал корреляции случайного процесса?

3.8 Какой вид имеет КФ П-импульса?

3.9 Какой вид имеет КФ радиоимпульса с П-образной огибающей?

3.10 Почему начальная фаза радиоимпульса не влияет на его КФ?

Домашнее задание

4.1 Изучить разделы “Корреляционная функция детерминированного и случайного процессов” по конспекту лекций и литературе [1, с. 15…18, 59…63; 3, с. 133…145; 4, с. 49…60] и описание лабораторного макета в разд. 6.

4.2 Построить структурные схемы коррелометров для исследования корреляционных функций случайных процессов и детерминированных сигналов.

4.3 Рассчитать и построить графики КФ и спектров:

– П-импульса длительностью Т _им = 1,5 мс;

– радиоимпульса с П-образной огибающей длительностью Т _им = 2 мс и частотой колебания радиоимпульса f ₀ = 2000 Гц;

– амплитуды импульсов принять (N + 1) В, где N – номер Вашей бригады.

4.4 Подготовиться к обсуждению по ключевым вопросам.

Лабораторная задача

5.1 Ознакомиться с виртуальным макетом на рабочем месте. Для этого запустить программу 1.3 Корреляционные характеристики случайных процессов и детерминированных сигналов, используя иконку Лабораторные работы на рабочем столе, а затем папки ТЭС и Модуль 1. Изучить схему макета на дисплее компьютера, пользуясь разд. 6. Уточнить с преподавателем план выполнения лабораторного задания.

5.2 Исследовать корреляционные и спектральные характеристики реализаций шума. Установить F _max = 1000 Гц. После выполнения программы проанализировать экспериментальные данные, а именно, проверить выполнение свойств корреляционной функции, определить по спектру его максимальную частоту, определить по корреляционной функцией интервал корреляции, найти их произведение, сравнить его с теоретическим значением (8); дать визуальную оценку среднего значения спектральной плотности мощности N ₀ на интервале (0, F _max), умножить ее на F _max и сравнить произведение со значением измеренной средней мощности реализации – соотношение (7).

Повторить исследование для F _max = 2000 Гц и F _max = 3000 Гц.

5.3 Исследовать корреляционные и спектральные характеристики П-импульса. Установить А = 2 В, Т _им = 0,5 мс. После выполнения программы зарисовать графики K_s (t) и S ²(f). Провести анализ экспериментальных данных, а именно, сравнить экспериментальную зависимость S ²(f) с теоретической (12); экспериментальную зависимость K_s (t) с теоретической (11); измеренное значение энергии импульса со значением K_s (0).

Повторить исследование для А = 5 В, Т _им = 1 мс и Т _им = 1,5 мс.

5.4 Исследовать корреляционные и спектральные характеристики радиоимпульса. Установить А = 2 В, f ₀ = 1000 Гц. После выполнения программы зарисовать графики K_s (t) и S ²(f). Провести анализ экспериментальных данных, а именно, сравнить экспериментальную зависимость S ²(f) с теоретической (15); экспериментальную зависимость K_s (t) с теоретической (14); измеренное значение энергии импульса со значением K_s (0). Записать значение начальной фазы радиоимпульса. Запустить программу на выполнение и убедить, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы радиоимпульса.

Повторить исследование для А = 5 В, f ₀ = 2000 Гц и f ₀ = 3000 Гц.