Дисперсия дискретных случайных величин

Определение. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

= D(X) = M(

Величина x – M(X) называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

D(CX) = .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X+Y) = D(X) + D(Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна

сумме дисперсий этих величин

D(X-Y) = D(X) + D(Y).

Пример.

Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3Х, б) 4Х + 3.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

, .

Пример 1.

Случайная величина – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .

Решение.

Имеем

;

Непрерывные случайные величины

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя построить ряд распределения. Поэтому непрерывную случайную величину изучают другим способом.

Пусть Х - непрерывная случайная величина с возможными значениями из (а,в). Тогда для нее существует функция распределения

F(х) = P(х <x).

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(х) ≤ 1;

2. F(х) - неубывающая функция;

3. P(a ≤ x < в) = F(a) – F(в);

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение, рана нулю.

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

P(a ≤ x <b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x ≤ b) =P(a < x ≤ b).

6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,d), то

1. F(х) = 0 при х ≤ a;

2. F(х) =1 при х ≤ d;