Опр. Урав-ем линии(кривой) на плоскости Oxy наз-ся урав-е, кот.удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлет.координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Точка пересеч-я двух линий: система двух прямых A1x+B1y+C1=0;A2x+B2y+C2=0 – если прямые не параллельны, т.е. А1/А2 НЕ РАВНО В1/В2, то реш-е системы дает единственную точку пересеч-я прямых.
Осн.виды урав-ий прямой на плос-ти: 1)Урав-е пря-й, проход-щей через данную точку в данном направ-и: y-y1=k(x-x1). 2) Если в урав-и k-производное число,то это урав-е определяет пучок прямых,проходящих через точку M1(x1, y1), кроме прямой, параллельной оси Oy и не имеющей углового коэффициента. При-р:урав-е пучка прямых, проходящ-х через точку A(3;-2), имеет вид y+2=k(x-3). 3)Урав-е прямой, проходящ-й через две данные точки: угловой коэф-т прямой:k=y2-y1/x2-x1. y-y1=y2-y1/x2-x1 * (x-x1). 4) Урав-е прямой в отрезках наз-ся урав-е x/a +y/b=1. 5) Общее урав-е прямой и его исследование: При любых А,В(не равных одновременно нулю) и С урав-е (Ах+By+C=0) есть урав-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy. Ах+By+C=0 наз-ся общим урав-ем прямой.
33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
Опр. Дифференциалом фун-и наз-ся главная, линейная относительно дельта х часть приращения фун-и, равная произведению производной на приращение независимой переменной.
Геометр.смысл диф-ла. Диф-л фун-и есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику фун-и y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение дельта х.
Dy=f’(u) du – это сво-во диф-ла получило название инвариантности формы диф-ла.
34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке х, если на всех точках этого промежутка, выполняется равенство:
F’(x)=f(x)
Совокупность всех первообразных F(x)+C для функции y=f(x) называется неопределенным интегралом от функции y=f(x)
⌠f(x)dx=F(x) +C
Свойства неопределенного интеграла
1.(f(x)dx)’=f(x)
Док-во
(⌠f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x)
2.d(⌠f(x)dx)’=f(x)dx дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выр-ю
3.⌠dF=F+C интеграл от диф-ла функции равен самой функции с точностью до константа
4.⌠са(ч)вч=с⌠а(ч)вч
5.⌠(а(ч)+-п(ч))вч= ⌠а(ч)вч+-⌠п(ч)вч
38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница.
Теорема.Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела.
Φ(x)= x⌠f(x)dx = x⌠f(t)dt
aaΦ’(x) =f(x)
Док-воΦ’(x)=lim ∆φ/∆x= lim φ(x+∆x)- φ(x)/ ∆x= lim x+∆x ∫а f(t)dt-x⌠а f(t)dt/ ∆x = lim x⌠ f(t)dt+
+x+∆x ⌠f(t)dt- x⌠ f(t)dt/∆x = lim (x+∆x-x)*f(ξ)/ ∆x = lim f(ξ)= f(x)
aa
Т.о.Φ(x)- это первообразная для f(x). Две первообразные для одной функции отличаются на константу..
x⌠ f(t)dt = F(x)+C
a
Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл в пределах от a и b от непрерывной функции равен приращению любой ее первообразной на отрезке [a;b].
b⌠f(x)dx = F(b)-F(a)
a
1.при x=a a⌠f(t)dt=F(a)+C
aF(a)+C→C= -F(a)
2.x=b
b⌠f(t)dt=F(b)-F(a)
a39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
Опр. Несобственным интегралом +∞∫а f(x) dx от фун-и f(x) на полуинтервале [a;+∞] наз-ся предел фун-и Ф(t) при t, стремящимся к +∞.
+∞∫-∞ e-x2/2 dx – несобственный интеграл Эйлера-Пуассона.
26. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).
Тео-ма (достаточное условие возр.фун-и). Если производная диф-мой фун-и положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возр.на этом промежутке.Док-во:Рас-трим два знач-я x1 и x2 на данном промежутке Х. Пусть x2>x1, x1,x2 принадл-ит Х.Докажем, что f(x2)>f(x1). f(x2)-f(x1)=f’(a)(x2-x1),где х1< a <x2 => f’(a)>0. Отсюда f(x2)-f(x1)>0 и f(x2)>f(x1).
Тео-ма (достаточное условие убыв.фун-и). Если производная диф-мой фун-и отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.
35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле - ∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t)) φ’ (t) dt;
Метод замены пер-ой в опр.интеграле - b∫a f(x) dx = b∫a f(φ(t)) φ’ dt.
36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
Неопределенный интеграл
Рассмотрим дифференцируемые функции переменной
U=U(x) и V=V(x)
Т.к. d(uv) = (uv)’dx=u’vdx+uv’dx= du*v+u*dv, то проинтегрируем по переменной х это равенство и учтем, что интеграл суммы функции – это сумма интегралов
⌠d(uv)= ⌠vdu+⌠udv
uv=⌠vdu+⌠udv
Метод интегрирования по частям применяется, когда нельзя вычесть интеграл методом замены переменной.
Пример.
⌠lnx*x8dx = {u=lnx;dv= x8dx; du = 1/8dx; v= ⌠ x8dx= x9/9}=lnx* x9/9-⌠ x9/9-1/xdv=lnx* x9/9-1/9⌠ x8dx=lnx* x9/9-1/9* x9/9+C
Определенный интеграл.
b⌠udv=(uv-⌠vdu)b│
a a
u=u(x), v=v(x)
b⌠udv=uvb│-⌠ b vdu
aaa37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
Опр. Пусть предел интегральной суммы при стремлении max дельта хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функцииy=f(x) на [a,b], обозначается b∫a f(x) dx, а сама фун-я y=f(x) наз-ся интегрируемойна отрезке [a,b].
Сво-ва опр.интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух фун-ий равен такой же сумме интегралов от этих фун-ий.
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей.
4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать.
5. Теорема о среднем. Если фун-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], (где a<b), то найдется такое значение ξ принадлежащей отрезку [a,b], что b∫a f(x) dx = f(ξ)(b-a).
50.Разложение в ряд Маклорена функцииy= (1+x)mВывод. Интервал сходимости полученного ряда.
y= (1+x)m, где m – любое действительное число
f(x) = (1+x)m
f’(x) = m+(1+x)m-1
f”(x) = m(m-1)(1+x)m-2
f”’(x) = m(m-1)(m-2)(1+x)m-2
f(n)(x) = m(m-1)….(m-n+1)(1+x)m-n
при x=0
f(0) = 1
f’(0) = m
f”(0)= m(m-1)
f”’(0)= m(m-1)(m-2)
f(n) (0) = m(m-1)….(m-n+1)
(1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2!x2 + m(m-1)(m-2)/3!x3 +…..+ m(m-1)(m-n+1)/n!xn
Интервал сх-ти ряда (-1;1)
43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.
Дифференциальное урав-е первого порядка наз-ся однородным, если оно может быть представлено в виде y’=g(y/x). Понятие однород-го диф-го урав-я связано с однород-ми фун-ми. Фун-я y=f(x,y) наз-ся однородной степени k (по переменным x и y), если для произвольного числа α выполняется равенство f(αx, αy)=αk f(x,y) При-р: f(x,y)=x2 – xy. f(αx, αy)=(αx)2 – (αx)(αy)=α2(x2 – xy)= α2 f(x,y), данная фун-я однород-я степени 2.
Диф-ное урав-е первого порядка наз-ся линейным, если оно имеет вид y’+f(x)y=g(x). В случае, когда фун-я g(x) тождественно равна нулю, урав-е наз-ся однород-м, в противном случае – неоднород-м.
44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
Числовым рядомназывается бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения.
u1+u2+….un= ∑ un=Sсумма сходящегося ряда
Предел частной суммы Sn ряда (конечный или бесконечный) называется суммой ряда S=lim Sn
Пример
1.1-+1-1+1-1+1….
S1=1; S2=0; S3=1
Пределы частной суммы не сущ – ряд рас-ся
Сходимость числового ряда
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности, его частичных сумм, если конечного предела не сущ при n→∞, то ряд называется рас-ся
Необходимый признак сходимости.
Тео-а.Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена Un при n→∞,равен 0
lim Un=0
n→∞,
lim Un=lim (Sn-Sn-1)= limSn-lim Sn-1= S-S=0
n→∞,
След-е. Если lim Un≠0 то ряд рас-ся
При-ы. Исследуем сходимость ряда.
∑4n+5/3n+7
n=1
lim 4n+5/3n+7= lim 4n/3n≠0 рас-ся
n→∞,47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.
Признак Лейбница
Ряд a1-a2+a3-a4+an an>0
Ряд сх-ся, если выполнены 2 усл
1. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине., т.е
an≥an+1
2. lim an=0
n→∞
Пример. исследовать сх-ть ряда
1-½2+⅓2 +(-1)n-1/n2
Т.к. члены убывают по абс величине 1>½2>⅓2 и предел общего члена lim 1/n2=0 по признаку ряд сх-ся.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сх-ся как сам данный ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд называется условно сходящимся, если сам данный ряд сх-ся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов рас-ся.
Св-ва абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются, так абс. Сходящиеся ряды напоминают конечные суммы, их можно складывать, умножать и т.д., а вот условно сходящиеся ряды этими св-вами не обладают.
1-1/2+1/3-1/4…. Условно сх-ся.
28. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х0 производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х0 есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Доказательство.Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х0) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х0, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х0) и убывает на интервале (х0, b). По определению возрастающей функции f(x0) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х0), а по определению убывающей функции f(x) < f(x0) при всех х принадлежащем (х0, b), т.е. f(x0)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х0 – точка максимума функции y=f(x).
Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f”(x0) положительна, то х0 есть точка минимума функции f’(x); если f”(x0) отрицательна, то в x0 – точка максимума.
Доказательство. Пусть f’(x0) =0, а f” (x0) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x0))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х0, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х0. Но f’(x0) =0, следовательно, на интервале (а, х0) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. х0 – точка минимума.
40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
1.Пусть фун-я y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда по геометрич.смыслу определ.интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [a,b] численно равна опред.интегралу, т.е. S = b∫a f(x)dx. 2.Пусть фун-я y=f(x) неположительна и непрерывна на [a,b]. Тогда S = b∫a (-f(x)) dx, т.е. S = - b∫a f(x)dx. 3.Пусть на отрезке задана непрерывная фун-я общего вида. Тогда, S=S1+S2+S3, т.е. равна алгебраич.сумме соответствующих опред.интегралов: S = c∫a f(x)dx - d∫c f(x)dx + b∫d f(x)dx. 4.Тео-ма. Пусть на отрезке заданы непрерывные фун-и y=f1(x) и y=f2(x) такие, что f2(x) > f1(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f2(x) и y=f1(x), на отрезке вычисляется по формуле: S = b∫a (f2(x) – f1(x)) dx. При-р:Найти пло-дь фиг-ры, огранич.линиями y=x2-2, y=x.(рис.11.18).Реш-е: система: y=x2-2 и y=x => (-1;-1) и (2;2). На отр-ке [-1,2] x > x2-2. f2(x)=x, f1(x)=x2-2. S=2∫-1 (x-(x2-2)) dx = x2/2 2|-1 – x3/3 2|-1 +2x 2|-1 =1/2(4-(-1)2) – 1/3(23-(-1)3) +2(2-(-1)) = 4,5 (ед.2).
48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=еx (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
Св-во степ.рядов: Пусть ф-ция f(x) явл-ся суммой степ.ряда,т.е. f(x)=∞∑n=0cnxn. На любом отрезке [а;b], целиком принадлежащем интервалу сх-ти (-R;R), ф-ция f(x) явл-ся непрерывной, а след-но, степ.ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:
а∫bf(x)dx = а∫bc0dx + а∫bc1xdx + … + а∫bcnxndx +…
Кроме того, в интервале сх-ти степ.ряд можно дифференцировать:
f’(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 +... + ncnxn-1 +...
После интегрирования или дифференцирования ряды имеют тот же радиус сх-ти R.
Ряд Маклорена а(х) = а(0) + f’(0)х + ((f’’(0))/2!)х2 + ((f’’’(0))/3!)x3 +.. + ((f(n)(0))/n!) xn +..
Так же для числовых рядов, сумму f(x) ряда Маклорна можно представить в виде
f (x)=S n (x) + r n (х),где Sn(x)- n-я частичная сумма ряда; rn(x) - n-й остаток ряда.
Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=ех.
1. у=ех
Имеем а(х) = f’(х) = f’’(х) =.. = f(n)(x) = ex
f(0) = f’(0) =f’’(0) =.. = а(n)(0) = e0=1.
По ф-ле ех= 1 + х + х2/2! + х3/3! + … + хn/n! + …
Область сх-ти ряда (-∞;∞).
42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
Рассмотрим вопросы теории диф-ных урав-й на примере урав-й первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, кот.допускают представление в виде y’=f(x,y). Тео-ма. Пусть в диф-ном урав-и фун-я f(x,y) и ее частная производная дf/дy непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Oxy. Тогда: 1)Для всякой точки (x0,y0) множества Г найдется реш-е y=y(x) урав-я, удовл-щее условию y0=y(x0); 2)Если два решения y=y1(x) и y=y2(x) урав-я совпадают хотя бы для одного значения x=x0, т.е. если y1(x0)=y2(x0), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Прим-рЖнэ=ню Реш-еЖ а(чбн) = нб да.дн =1ю н=Сучю Пусть н=н(ч)ж н0=н(ч0)ж С=н0у-ч0ж н=н(ч) и н=Суч=н0у-ч0уч=н0уч-ч0 – уравнения совпадают при ч=ч0ю
