Разложение сложных периодических сигналов на гармонические

Составляющие

 

При разложении периодического колебания в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной сис­темы берут

(1.2)

или

(1.3)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с перио­дом функции .

Система функций (1.2) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (1.3) − к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной тригонометрической формой ряда Фурье:

(1.4)

где:

− постоянная составляющая;

− амплитуда косинусоидальных составляющих;

− амплитуда синусоидальных составляющих.

Спектральную составляющую с частотой называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами () −высшими гармониками периодического сигнала.

С математической точки зрения часто удобно выражение (1.4) описывающее данный сигнал, представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

, (1.5)

где , − амплитуда, а − начальная фаза гармоники сигнала. Если перед стоит знак «+», тогда начальная фаза имеет знак «−».

В радиоэлектронике широко используется комплексный ряд Фурье

, (1.6)

где . (1.7)

Спектр периодического сигнала принято называть линейчатым или дискретным, так как он состоит из отдельных линий, высота которых равна амплитуде соответствующих гармоник. На рисунке 1.2 приведены спектры периодического сигнала: а) − амплитудный; б) − фазовый; в) – комплексный.

 

а) б) в)

Рисунок 1.2 – Спектры периодических сигналов:

а) − амплитудный; б) − фазовый; в) – комплексный

Спектральный состав последовательности прямоугольных

Импульсов при различных периодах и скважности

В радиоэлектронике часто применяются прямоугольные периодические импульсы напряжения. На рисунке 1.3 показан отрезок последовательности прямоугольных импульсов длительностью с периодом следования . длительность импульсов может измеряться микросекундами или долями микросекунд. Что касается периода следования импульсов , то он может в сотни и тысячи раз превышать длительность импульсов. Отношение называется скважностью.

Для периодической последовательности прямоугольных импульсов напряжения комплексные амплитуды гармоник

, (1.8)

 

где .

Следовательно,

. (1.9)

Амплитудный спектр такой последовательности показан на рисунке 1.4. В частном случае при , поэтому

. (1.10)

Это колебание состоит из постоянной составляющей и прямоугольной волны с амплитудой .

Рисунок 1.3 − Периодические прямоугольные импульсы

 

Рисунок 1.4 − Спектр периодических прямоугольных импульсов