Основные определения и свойства колец и полей

Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам элемент , называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам элемент , называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами:

I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a;

II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c;

III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере, одно) решение, т. е. существует элемент такой, что a + c = b;

IV. (Коммутативность умножения) ab = ba;

Термин "кольцо" применяется также к множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются.

V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c;

VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения)

(a + b)c = ac + bc.

При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

3. Множество действительных чисел.

4. Множество рациональных чисел.

5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

6. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.

7. Множество комплексных чисел с целыми и (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

8. Множество действительных чисел , где a и b – целые числа.

Множество натуральных чисел, а также множество всех положительных рациональных чисел кольцами не являются, так как не выполняется аксиома III.

9. Большую роль в алгебре играет кольцо многочленов с одним или несколькими неизвестными и коэффициентами из некоторого кольца R. При этом за операции сложения и умножения принимаются обычные действия над многочленами, известные из школьной алгебры. Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к сложению и умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат к кольцу R, где указанные действия определены

10. Пары (a, b) целых чисел образуют кольцо, если операции определены по формулам:

.

Примеры колец показывают, что в отношении обратной операции для умножения (в отличие от сложения) различные кольца обладают совершенно различными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется лишь в исключительных случаях, причем все элементы кольца делятся на +1 и –1. В кольце же рациональных чисел деление всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучить свойства обратной операции для умножения, приходим к важнейшему частному случаю кольца - полю.

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:

VII. (Обратимость умножения) Для любых , где , уравнение имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что .

VIII. содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Из примеров 1-10 колец только 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные и комплексные числа, являются полями. В примере 5 свойство VII выполнено, так как вообще нет элемента a ≠ 0, но не выполнено свойство VIII. В остальных примерах не выполняется свойство VII.