Описание метода Рунге-Кутта

ЗАДАНИЕ Windows Forms Application 2

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

Постановка задачи и варианты задания

Решить численно дифференциальное уравнение первого порядка методом Рунге-Кутта с шагом при начальном условии . Решение представить в виде таблицы, содержащей номер № точки (51 точка) и значения в этих точках. Построить график функции и ее производной .

 

Варианты задания

№	Дифференциальное уравнение
		-0,5	0,2
		-0,2	0,1
		-0,5	0,7
		-0,3
		-0,4	0,3
		-0,4
		-0,2
		-0,4
		0,4
		-0,7	-4
		-0,3	-3
		-0,6	1,5
		-0,1	0,2
		0,6	4,5
		-0,9	1,9

Описание метода Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта является методом повышенной точности для численного решения дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения

(1)

с начальным условием . Разобьем отрезок на равных частей точками , где - шаг интегрирования. Каждое следующее значение функции определяется через предыдущее по алгоритму

. (2)

Приращение вычисляется по формуле

, (3)

где

(4)

Алгоритм стартует со значения . Коэффициенты обновляются на каждом шаге интегрирования.

Предварительная оценка погрешности делается после двойного просчета по формуле:

;

где – точное решение в точке ; – приближенные значения, полученные с шагом и соответственно. Шаг выбирают так, чтобы выполнялось условие , где – заданная точность.

Метод Рунге-Кутта может быть применен к решению уравнений более высокого порядка путем сведения их к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Также возможно решение системы дифференциальных уравнений.

 

Геометрическая интерпретация коэффициентов .

Пусть кривая (рис.1) есть решение дифференциального уравнения (1) на отрезке . Точка данной кривой лежит на прямой, параллельной оси и делит отрезок пополам, и – точки пересечения касательной, проведенной к кривой в точке , с ординатами и . Тогда число с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке :

.

Точка имеет координаты . Следовательно, с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной, проведенной в точке ( – отрезок касательной): .

Через точку проведем прямую, параллельную отрезку , до пересечения в точке с вертикалью . Тогда точка имеет координаты , а с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке : ( – отрезок этой касательной).

Через точку проведем прямую, параллельную отрезку , которая пересечет вертикаль в конце шага в точке с координатами . Тогда с точностью до множителя определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке : . Таким образом, расчетное значение связано с углами соотношением

.