ЗАДАНИЕ Windows Forms Application 2
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
Постановка задачи и варианты задания
Решить численно дифференциальное уравнение первого порядка методом Рунге-Кутта с шагом 
при начальном условии 
. Решение представить в виде таблицы, содержащей номер № точки (51 точка) и значения 
в этих точках. Построить график функции 
и ее производной 
.
Варианты задания
| № | Дифференциальное уравнение | 
| 
|
| -0,5 | 0,2 | |
| -0,2 | 0,1 | |
| -0,5 | 0,7 | |
| -0,3 | ||
| -0,4 | 0,3 | |
| -0,4 | ||
| -0,2 | ||
| -0,4 | ||
| 0,4 | ||
| -0,7 | -4 | |
| -0,3 | -3 | |
| -0,6 | 1,5 | |
| -0,1 | 0,2 | |
| 0,6 | 4,5 | |
| -0,9 | 1,9 |
Описание метода Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является методом повышенной точности для численного решения дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Пусть на отрезке 
требуется найти решение дифференциального уравнения
(1)
с начальным условием 
. Разобьем отрезок на 
равных частей точками 
, где 
- шаг интегрирования. Каждое следующее значение функции 
определяется через предыдущее по алгоритму
. (2)
Приращение 
вычисляется по формуле
, (3)
где
(4)
Алгоритм стартует со значения . Коэффициенты 
обновляются на каждом шаге интегрирования.
Предварительная оценка погрешности делается после двойного просчета по формуле:
;
где 
– точное решение в точке 
; 
– приближенные значения, полученные с шагом 
и 
соответственно. Шаг 
выбирают так, чтобы выполнялось условие 
, где 
– заданная точность.
Метод Рунге-Кутта может быть применен к решению уравнений более высокого порядка путем сведения их к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Также возможно решение системы дифференциальных уравнений.
Геометрическая интерпретация коэффициентов .
Пусть кривая 
(рис.1) есть решение дифференциального уравнения (1) на отрезке 
. Точка 
данной кривой лежит на прямой, параллельной оси 
и делит отрезок 
пополам, 
и 
– точки пересечения касательной, проведенной к кривой в точке 
, с ординатами 
и 
. Тогда число 
с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке :
.
Точка имеет координаты 
. Следовательно, 
с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной, проведенной в точке (
– отрезок касательной): 
.
Через точку проведем прямую, параллельную отрезку , до пересечения в точке 
с вертикалью 
. Тогда точка имеет координаты 
, а 
с точностью до множителя есть угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке : 
(
– отрезок этой касательной).
Через точку проведем прямую, параллельную отрезку , которая пересечет вертикаль в конце шага в точке 
с координатами 
. Тогда 
с точностью до множителя определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке : 
. Таким образом, расчетное значение 
связано с углами 
соотношением
.
