Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a):

P(x) = (x – a)Q(x),

тогда бы он делился на (x – a), но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x), а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,

не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка:

Пусть P(x) = xⁿ, P(a) = aⁿ,

тогда xⁿ – aⁿ – разность одинаковых натуральных степеней.

По следствию 5

P(x) - P(a) = xⁿ – aⁿ = (x – a)Q(x),

а это значит, что

(xⁿ–aⁿ)/(x–a)=Q(x), т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.

Итак

(xⁿ – aⁿ)/(x – a) = x^n-1 + ax^n-2 + a²x^n-3 + … +aⁿ^-2x + aⁿ^-1.

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка.

Пусть P(x) = x^2k, тогда P(a) = a^2k.

Разность одинаковых чётных степеней x²^k - a²^k равна P(x) – P(a).

P(a) = a^2k = (-a)^2k = P(-a), т.е. x^2k - a^2k = P(x) – P(-a).

По следствию 5

P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=(х + a)Q(x)

а это значит, что

x^2k – a^2k = (x + a)Q(x) или

(x^2k – a^2k)/(x + a) = Q(x),

т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.

Итак,

(x^2k – a^2k)/(x + a) = x^2k-1 – ax^2k-2 + … +a²^k^-2x + a²^k^-1.

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится.

Пусть P(x) = x²^k⁺¹ - a²^k⁺¹ – разность одинаковых нечётных степеней.

По теореме Безу при делении x²^k⁺¹ - a²^k⁺¹на x + a = x – (-a) остаток равен

R = P(-a) = (-a)^2k+1 – a^2k+1 = -2a^2k+1

Т. к. остаток при делении не равен 0, то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится, что и требовалось доказать.

4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка.

Пусть P(x) = x^2л+1, P(-a) = (-a)^2л+1 = -а^2л+1,

тогда P(x) – P(-a) = x²^k⁺¹ + a²^k⁺¹ – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней.

По следствию 5

P(x) - P(-a) = x^2k+1 + a^2k+1= (x –(- a))Q(x)= (x + a)Q(x),

а это значит, что

(x²^k⁺¹ + a²^k⁺¹)/(x + a) = Q(x),

т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.

Итак,

(x^2k+1 + a^2k+1)/(x + a) = x^2k - ax^2k-1 + … - a^2k-1x + a^2k.

5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится.

Пусть P(x) = x²^k + a²^k – сумма одинаковых чётных степеней.

По теореме Безу при делении x²^k + a²^k на x + a = x – (-a) остаток равен

R = P(-a) = (-a)²^k + a²^k = 2a²^k.

Т. к. остаток при делении не равен 0, тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму

их оснований не делится, что и требовалось доказать.

Теорема Безу. Примеры.

Пример 1.

Найти остаток от деления многочлена

x³ – 3x² + 6x – 5

на двучлен x – 2.

По теореме Безу

R = P₃(2) = 2³ – 3*2² + 6*2 – 5 = 3.

Ответ: R = 3.

Пример 2.

Найти остаток от деления многочлена

32x⁴ – 64x³ + 8x² + 36x + 4

на двучлен 2x – 1.

Согласно следствию 1 из теоремы Безу

R=P₄(1/2)=32*1/2⁴–64*1/2³ + 8*1/2²+36*1/2+4=

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18.

Ответ: R = 18.

Пример 3.

При каком значении a многочлен

x⁴ + ax³ + 3x² – 4x – 4

делится без остатка на двучлен x – 2?

По теореме Безу

R = P₄(2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.

Но по условию R = 0, значит

8a + 16 = 0,

отсюда

a = -2.

Ответ: a = -2.

Пример 4.

При каких значениях a и b многочлен

ax³ + bx² – 73x + 102

делится на трёхчлен

x² – 5x + 6 без остатка?

Разложим делитель на множители:

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).

Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3, а это значит, что

по теореме Безу

R₁ = P₃(2) = 8a + 4b – 146 + 102 =

= 8a + 4b – 44 = 0

R₂ = P₃(3) = 27a+9b – 219 + 102 =

= 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений:

8a + 4b – 44 = 0

27a + 9b – 117 = 0

2a + b = 11

3a + b = 13

Отсюда получаем:

a = 2, b = 7.

Ответ: a = 2, b = 7.

Пример 5.

Разложить на множители многочлен P(x) = x⁴ + 4x² – 5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена P(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу P(x) делится на (x – 1) без остатка:

_x⁴ + 4x² – 5 x – 1

x⁴ – x³ x³ + x² + 5x + 5

_ x³ + 4x² – 5

x³ – x²

_ 5x² – 5

5x² – 5x

_ 5x – 5

5x – 5

P(x)/(x – 1) = x³ + x² + 5x + 5, значит

P(x) = (x – 1)*(x³ + x² + 5x + 5).

Среди делителей свободного члена многочлена x³ + x² + 5x + 5 x = -1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x³ + x² + 5x + 5 делится на (x + 1) без остатка:

_x³ + x² +5x + 5 x + 1

x³ + x² x² +5

_5x + 5

5x + 5

(x³ + x² +5x + 5)/(x + 1) = x² +5,

значит

x³ + x² +5x + 5 = (x +1)(x² +5).

Отсюда

P(x) = (x – 1)(x +1)(x² +5).

По следствию 7 (x² + 5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому P(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x⁴ + 4x² – 5 = (x – 1)(x +1)(x² +5).

Пример 7.

Разложить на множители многочлен P(x) = x⁴ + 324.

P(x) корней не имеет, т.к. x⁴ не может быть равен -324, значит, по следствию 7 P(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Пример 8.

Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

P(x) = x⁵- 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8.

Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)^k, но не делится на (x – a)^k⁺¹, то говорят, что число a является корнем кратности k для P(x).

_x⁵- 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8 x – 2

x⁵- 2x⁴ x⁴ – 3x³ + x² + 4

_-3x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8

-3x⁴ + 6x³

_x³ – 2x² + 4x – 8

x³ – 2x²

_4x – 8

4x – 8

_x⁴ – 3x³ + x² + 4 x – 2

x⁴ – 2x³ x³ – x² – x – 2

_-x³ + x² + 4

-x³ +2x²

_-x² + 4

-x² + 2x

_-2x + 4

-2x + 4

_ x³ – x² – x – 2 x – 2

x³ – 2x² x² + x + 1

_x² – x – 2

x² – 2x

_x – 2

x – 2

x² + x + 1 на x – 2 не делится, т.к. R=2² + 2 + 1=7.

Значит, P(x)/(x – 2)³ = x² + x + 1, т.е. корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x).

Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x).

Пример 9.

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2, то он делится без остатка на (x – 4)²(x + 2), значит

P(x)/(x – 4)²(x + 2) = Q(x),

т.е. P(x) = (x – 4)²(x + 2)Q(x) =

= (x² – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

= (x³ – 8x² + 16x +2x² – 16x + 32)Q(x) =

= (x³ – 6x² + 32)Q(x).

(x³ – 6x² + 32) - кубический многочлен, но по условию P(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число.

Пусть Q(x) = 1, тогда P(x) = x³ – 6x² + 32.

Ответ: x³ – 6x² + 32.

Пример 9.

Определите a и b так, чтобы -2 было корнем многочлена P(x) = x⁵+ ax² + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два.

Если -2 – корень многочлена P(x) кратности два, то по следствию 3 P(x) делится на (x + 2)² без остатка (R = 0)

(x + 2)² = x² + 4x + 4

_x⁵+ ax² + bx + 1 x² + 4x + 4

x⁵+ 4x⁴ + 4x³ x³ – 4x² + 12x – (a + 32)

_ -4x⁴–4x³–ax²+bx+1

-4x⁴ – 16x³ – 16x²

_ 12x³ + (16 – a)x² + bx + 1

12x³ +48x² + 48x

_ -(a + 32)x² + (b – 48)x + 1

-(a + 32)x² – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

= (4a +b + 80)x + 4a + 129

Но R = 0, значит

(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 при любых x.

Это возможно при условии, что

4a +b + 80 = 0,

4a + 129 = 0

Решим систему двух уравнений:

4a +b + 80 = 0 a = -32,25

4a + 129 = 0 b = 49

Ответ: a = -32,25, b = 49.

Из рассмотренных примеров видно, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д.), с разложением многочленов на множители, с определением кратности корней и многих других.

Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений.

Литература.

Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический словарь деятелей в области математики.

2. Математическая энциклопедия.

3. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.

Алгебра и элементарные функции.

4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Алгебра и математический анализ.

5. Курош А.Г.

Курс высшей алгебры.