Замена переменных в тройном интеграле

Пусть функции , взаимно однозначно отображают область V в криволинейных координатах u,w,t.

Пусть при этом элемент объема ∆V_i области V переходит в элемент ∆V_i′ области V′ и выполняется условие .

Определить I, называемый якобианом, численно равен определителю третьего порядка, который вычисляется по формуле:

При выполнении этих условий

.

В случае цилиндрических координат имеем , , z = z.

.

Для сферических координат , , .

.

 

Пример выполнения расчетно-графической работы

 

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

Решение. Изобразим область интегрирования на чертеже:

Область интегрирования D состоит из двух областей D₁ и D₂, D₁ – ограничена линиями: прямыми , y=0 и дугой окружности y= ; D₂ ограничена прямыми , y=0 и дугой окружности y=2- . Найдем точку пересечения окружностей М:

Приравнивая правые части уравнений системы, получим:

; откуда ; тогда . Точка М имеет координаты , y=1.

Изменяя порядок интегрирования, видим: y изменяется от 0 до 1. При этом x меняется от окружности x²+y²=4 до окружности y=2- . Окончательно получим:

.

Задача 2. Вычислить двойной интеграл , где D: область, ограниченная линиями: x=0, y= , y=2x.

Решение. Изобразим область D:

Анализируя область интегрирования, замечаем: x меняется от 0 до прямой ; при этом y меняется от 0 до .

Ответ: = 4.

 

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x²+y²=12, x .

Решение. Изобразим данную фигуру:

Найдем точки пресечения линий, ограничивающих данную фигуру:

.

;

;

;

y²=6;

.

Площадь фигуры вычислим по формуле:

;

Учитывая симметрию фигуры относительно оси OX, получим:

Ответ: S= (ед².)

 

Задача 4. Вычислить , V: y=3x, y=0, x=2, z=xy, z=0.

Решение.

Ответ: = 144.

 

Задача 5. Пластинка D задана ограничивающими её кривыми, μ – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

D:

Решение. Масса пластинки m равна:

Подставляя данные задачи, получим:

Изобразим область D:

Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получим:

Ответ: m=2.

 

Задача 6. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

Решение. Объем тела V равен:

Переходя к повторному интегралу, получим:

Ответ: V=1.

Варианты расчетно-графической работы

 

Задание 1. Изменить порядок интегрирования.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

Задание 2. Вычислить двойной интеграл.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

21. ; .

22. ; .

23. ; .

24. ; .

25. ; .

26. ; .

27. ; .

28. ; .

29. ; .

30. ; .

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

 

Задание 4. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. D: х=1, y=0, y²=4х (y 0); .

10. D: x²+y²=1, x²+y²=9, x=0, y=0 (x 0, y 0); = (x-y)/(x²+y²).

11. D: x=1, y=0, y²=x (y 0); =3x+6y².

12. D: x²+y²=9, x²+y²=25, x=0, y=0 (x ; =(2y-x)/(x²+y²).

13. D: x=2, y=0, y²=x/2 (y 0); =2x+3y².

14. D: x²+y²=4, x²+y²=16, x=0, y=0 (x ; =(2y-3x)/(x²+y²).

15. D: x= , y=0, y²=8x (y 0); = 7x+3y².

16. D: x²+y²=9, x²+y²=16, x=0, y=0 (x ; =(2y-5x)/(x²+y²).

17. D: x=1, y=0, y²=4x (y 0); = 7x²+2y.

18. D: x²+y²=1, x²+y²=16, x=0, y=0 (x ; =(x+3y)/(x²+y²).

19. D: x=2, y²=2x, y=0 (y 0); =7x²/4+y/2.

20. D: x²+y²=1, x²+y²=4, x=0, y=0 (x ; =(x+2y)/(x²+y²).

21. D: x=2, y=0, y²=2x (y 0); = 7x²/4+y.

22. D: x²+y²=1, x²+y²=9, x=0, y=0 =(2x-y)/(x²+y²).

23. D: x=2, y=0, y²=x/2 (y 0); = 7x²/2+8y.

24. D: x²+y²=1, x²+y²=25, x=0, y=0 =(x-4y)/(x²+y²).

25. D: x=1, y= 0, y²=4x (y ; = 6x+3y².

26. D: x²+y²=4, x²+y²=16, x=0, y=0 =(3x-y)/(x²+y²).

27. D: x=2, y= 0, y²=x/2 (y ; = 4x+6y².

28. D: x²+y²=4, x²+y²=9, x=0, y=0 (x ; =(y-4x)/(x²+y²).

29. D: x=1/2, y= 0, y²=2x (y ; = 4x+9y².

30. D: x²+y²=4, x²+y²=9, x=0, y=0 (x ; =(y-2x)/(x²+y²).

Задание 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

1. y=16 , y= , z=0, x+z=2.

2. y=5 , y=5x/3, z=0, z=5+5 .

3. x²+y²=2, y= , y=0, z=0, z=15x.

4. x+y=2, y= , z=12y, z=0.

5. x=20 , x=5 , z=0, z+y=1/2.

6. x=5 , x=5y/6, z=0, z= .

7. x²+y²=2, x= , x=0, z=0, z=30y.

8. x+y=2, x= , z=12x/5, z=0.

9. y=17 , y=2 , z=0, x+z=1/2.

10. y=5 , y=5x/9, z=0, z=5(3+ )/9.

11. x²+y²=8, y= , y=0, z=0, z=15x/11.

12. x+y=4, y= , z=3y, z=0.

13. x= , x= , z=0, z= .

14. x=19 , x=4 , z=0, z+y=2.

15. x²+y²=8, x= , x=0, z=30y/11, z=0.

16. x+y=4, x= , z=3x/5, z=0.

17. y=6 , y= , z=0, x+z=3.

18. y= , y= , z=0, z= .

19. x²+y²=18, y= , y=0, z=0, z=5x/11.

20. x+y=6, y= , z=4y, z=0.

21. x=7 , x=2 , z=0, z+y=3

22. x=5 , x=5y/9, z=0, z=5(3+ )/9.

23. x²+y²=18, x= , x=0, z=0, z=10y/11.

24. x+y=6, x= , z=4x/5, z=0.

25. y= , , z=0, z= (1+ ).

26. x²+y²=50, y= , y=0, z=0, z=3x/11.

27. x+y=8, y= , z=3y, z=0.

28. x=16 , x= , z+y=2, z=0.

29. x=15 , x=15y, z=0, z=15(1+ ).

30. x²+y²=50, x= , x=0, z=0, z=6y/11.

Задание 6. Вычислить тройной интеграл.

1. x dx dy dz;

V: y=10x, y=0, x=1, z=xy, z=0.

2. ;

V: , x=0, y=0, z=0.

3. 15(y²+z²) dx dy dz;

V: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.

4. (3x+4y) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z=5(x²+y²), z=0.

5. (1+2x³) dx dy dz;

V: y=9x, y=0, x=1, z= , z=0.

6. (27+54y³) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.

7. y dx dy dz;

V: y=15x, y=0, x=1, z=xy, z=0.

8. ;

V: , x=0, y=0, z=0.

9. (3x²+y²) dx dy dz;

V: z=10y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.

10. (15x+30z) dx dy dz;

V: z=x²+3y², z=0, y=x, y=0, x=1.

11. (4+8z³) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.

12. (1+2x³) dx dy dz;

V: y=36x, y=0, x=1, z= , z=0.

13. 21xz dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=2, z=xy, z=0.

14. ;

V: x/10+y/8+z/3=1, x=0, y=0, z=0.

15. (x²+3y²) dx dy dz;

V: z=10x, x+y=1, x=0, y=0, z=0.

16. (60y+90z) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z=x²+y², z=0.

17. dx dy dz;

V: y=9x, y=0, x=1, z= , z=0.

18. (9+18z) dx dy dz;

V: y=4x, y=0, x=1, z= , z=0.

19. 3y² dx dy dz;

V: y=2x, y=0, x=2, z=xy, z=0.

20. ;

V: x/2+y/4+z/6=1, x=0, y=0, z=0.

21. x² dx dy dz;

V: z=10(x+3y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.

22. (8y+12z) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z=3x²+2y², z=0.

23. 63(1+2 ) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.

24. (x+y) dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z=30x²+60y², z=0.

25. ;

V: x/6+y/4+z/16=1, x=0, y=0, z=0.

26. xyz dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=2, z=xy, z=0.

27. y² dx dy dz;

V: z=10(3x+y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.

28. dx dy dz;

V: y=x, y=0, x=1, z=x²+15y², z=0.

29. (x²+4y²) dx dy dz;

V: z=20(2x+y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.

30. ;

V: x/8+y/3+z/5=1, x=0, y=0, z=0

Литература

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т.1/ Н.С. Пискунов. – Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 415 с.

2.Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: учеб. пособие для вузов. Ч. 2 / П.Е. Данко [и др.]. - 6-е изд. - М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006. - 304 с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: [учеб. пособие для втузов] / Г.С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. – М.; Владимир: Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2008. - 495 с.

Содержание

Введение. 4

1. Двойной интеграл. 5

1.1 Определение и основные свойства двойного интеграла. 5

1.2. Вычисление двойного интеграла. 6

1.3. Замена переменных в двойном интеграле. 6

2. Тройной интеграл. 7

2.1. Определение и свойства тройного интеграла. 7

2.2 Замена переменных в тройном интеграле. 8

Пример выполнения расчетно-графической работы.. 9

Варианты расчетно-графической работы.. 13

Литература. 22

Содержание. 23

 

Составители: Камозина О.В.

Козлова О.Н.

 

Кратные интегралы

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

 

Формат Объем Тираж Заказ

 

 

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТА