Пусть функции 
, 
взаимно однозначно отображают область V в криволинейных координатах u,w,t.
Пусть при этом элемент объема ∆Vi области V переходит в элемент ∆Vi′ области V′ и выполняется условие 
.
Определить I, называемый якобианом, численно равен определителю третьего порядка, который вычисляется по формуле:
При выполнении этих условий
.
В случае цилиндрических координат имеем 
, 
, z = z.
.
Для сферических координат 
, 
, 
.
.
Пример выполнения расчетно-графической работы
Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
Решение. Изобразим область интегрирования на чертеже:
Область интегрирования D состоит из двух областей D1 и D2, D1 – ограничена линиями: прямыми 
, y=0 и дугой окружности y= 
; D2 ограничена прямыми , y=0 и дугой окружности y=2- 
. Найдем точку пересечения окружностей М:
Приравнивая правые части уравнений системы, получим:
; откуда ; тогда 
. Точка М имеет координаты , y=1.
Изменяя порядок интегрирования, видим: y изменяется от 0 до 1. При этом x меняется от окружности x2+y2=4 до окружности y=2- . Окончательно получим:
.
Задача 2. Вычислить двойной интеграл 
, где D: область, ограниченная линиями: x=0, y= 
, y=2x.
Решение. Изобразим область D:
Анализируя область интегрирования, замечаем: x меняется от 0 до прямой 
; при этом y меняется от 0 до .
Ответ: 
= 4.
Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x2+y2=12, x 
.
Решение. Изобразим данную фигуру:
Найдем точки пресечения линий, ограничивающих данную фигуру:
.
;
;
;
y2=6;
.
Площадь фигуры вычислим по формуле:
;
Учитывая симметрию фигуры относительно оси OX, получим:
Ответ: S= 
(ед2.)
Задача 4. Вычислить 
, V: y=3x, y=0, x=2, z=xy, z=0.
Решение.
Ответ: = 144.
Задача 5. Пластинка D задана ограничивающими её кривыми, μ – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
D: 
Решение. Масса пластинки m равна:
Подставляя данные задачи, получим:
Изобразим область D:
Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получим:
Ответ: m=2.
Задача 6. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
Решение. Объем тела V равен:
Переходя к повторному интегралу, получим:
Ответ: V=1.
Варианты расчетно-графической работы
Задание 1. Изменить порядок интегрирования.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
Задание 2. Вычислить двойной интеграл.
1. 
; 
.
2. 
; 
.
3. 
; 
.
4. 
; 
.
5. 
; .
6. 
; 
.
7. 
; 
.
8. 
; 
.
9. 
; 
.
10. 
; 
.
11. 
; 
.
12. 
; 
.
13. 
; 
.
14. ; 
.
15. 
; 
.
16. 
; 
.
17. ; 
.
18. 
; 
.
19. 
; 
.
20. 
; 
.
21. ; 
.
22. 
; 
.
23. 
; 
.
24. ; 
.
25. 
; 
.
26. ; .
27. ; .
28. ; 
.
29. 
; 
.
30. 
; .
Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
Задание 4. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
1. 
; 
.
2. 
; 
.
3. ; 
.
4. 
; 
.
5. 
; 
.
6. 
; .
7. 
; 
.
8. 
; 
.
9. D: х=1, y=0, y2=4х (y 
0); 
.
10. D: x2+y2=1, x2+y2=9, x=0, y=0 (x 0, y 
0); 
= (x-y)/(x2+y2).
11. D: x=1, y=0, y2=x (y 0); =3x+6y2.
12. D: x2+y2=9, x2+y2=25, x=0, y=0 (x 
; =(2y-x)/(x2+y2).
13. D: x=2, y=0, y2=x/2 (y 0); =2x+3y2.
14. D: x2+y2=4, x2+y2=16, x=0, y=0 (x ; =(2y-3x)/(x2+y2).
15. D: x= 
, y=0, y2=8x (y 0); = 7x+3y2.
16. D: x2+y2=9, x2+y2=16, x=0, y=0 (x 
; =(2y-5x)/(x2+y2).
17. D: x=1, y=0, y2=4x (y 0); = 7x2+2y.
18. D: x2+y2=1, x2+y2=16, x=0, y=0 (x 
; =(x+3y)/(x2+y2).
19. D: x=2, y2=2x, y=0 (y 0); =7x2/4+y/2.
20. D: x2+y2=1, x2+y2=4, x=0, y=0 (x 
; =(x+2y)/(x2+y2).
21. D: x=2, y=0, y2=2x (y 0); = 7x2/4+y.
22. D: x2+y2=1, x2+y2=9, x=0, y=0 
=(2x-y)/(x2+y2).
23. D: x=2, y=0, y2=x/2 (y 0); = 7x2/2+8y.
24. D: x2+y2=1, x2+y2=25, x=0, y=0 
=(x-4y)/(x2+y2).
25. D: x=1, y= 0, y2=4x (y 
; = 6x+3y2.
26. D: x2+y2=4, x2+y2=16, x=0, y=0 =(3x-y)/(x2+y2).
27. D: x=2, y= 0, y2=x/2 (y ; = 4x+6y2.
28. D: x2+y2=4, x2+y2=9, x=0, y=0 (x ; =(y-4x)/(x2+y2).
29. D: x=1/2, y= 0, y2=2x (y ; = 4x+9y2.
30. D: x2+y2=4, x2+y2=9, x=0, y=0 (x ; =(y-2x)/(x2+y2).
Задание 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. y=16 
, y= , z=0, x+z=2.
2. y=5 
, y=5x/3, z=0, z=5+5 
.
3. x2+y2=2, y= , y=0, z=0, z=15x.
4. x+y=2, y= , z=12y, z=0.
5. x=20 
, x=5 
, z=0, z+y=1/2.
6. x=5 
, x=5y/6, z=0, z= 
.
7. x2+y2=2, x= 
, x=0, z=0, z=30y.
8. x+y=2, x= 
, z=12x/5, z=0.
9. y=17 
, y=2 , z=0, x+z=1/2.
10. y=5 
, y=5x/9, z=0, z=5(3+ 
)/9.
11. x2+y2=8, y= , y=0, z=0, z=15x/11.
12. x+y=4, y= , z=3y, z=0.
13. x= 
, x= 
, z=0, z= 
.
14. x=19 
, x=4 
, z=0, z+y=2.
15. x2+y2=8, x= , x=0, z=30y/11, z=0.
16. x+y=4, x= , z=3x/5, z=0.
17. y=6 
, y= , z=0, x+z=3.
18. y= 
, y= 
, z=0, z= 
.
19. x2+y2=18, y= , y=0, z=0, z=5x/11.
20. x+y=6, y= , z=4y, z=0.
21. x=7 
, x=2 , z=0, z+y=3
22. x=5 
, x=5y/9, z=0, z=5(3+ )/9.
23. x2+y2=18, x= , x=0, z=0, z=10y/11.
24. x+y=6, x= , z=4x/5, z=0.
25. y= 
, 
, z=0, z= 
(1+ ).
26. x2+y2=50, y= 
, y=0, z=0, z=3x/11.
27. x+y=8, y= 
, z=3y, z=0.
28. x=16 
, x= , z+y=2, z=0.
29. x=15 , x=15y, z=0, z=15(1+ ).
30. x2+y2=50, x= 
, x=0, z=0, z=6y/11.
Задание 6. Вычислить тройной интеграл.
1. 
x dx dy dz;
V: y=10x, y=0, x=1, z=xy, z=0.
2. 
;
V: 
, x=0, y=0, z=0.
3. 15(y2+z2) dx dy dz;
V: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
4. (3x+4y) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z=5(x2+y2), z=0.
5. (1+2x3) dx dy dz;
V: y=9x, y=0, x=1, z= 
, z=0.
6. (27+54y3) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.
7. y dx dy dz;
V: y=15x, y=0, x=1, z=xy, z=0.
8. 
;
V: 
, x=0, y=0, z=0.
9. (3x2+y2) dx dy dz;
V: z=10y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
10. (15x+30z) dx dy dz;
V: z=x2+3y2, z=0, y=x, y=0, x=1.
11. (4+8z3) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.
12. (1+2x3) dx dy dz;
V: y=36x, y=0, x=1, z= , z=0.
13. 21xz dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=2, z=xy, z=0.
14. 
;
V: x/10+y/8+z/3=1, x=0, y=0, z=0.
15. (x2+3y2) dx dy dz;
V: z=10x, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
16. (60y+90z) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z=x2+y2, z=0.
17. 
dx dy dz;
V: y=9x, y=0, x=1, z= , z=0.
18. (9+18z) dx dy dz;
V: y=4x, y=0, x=1, z= , z=0.
19. 3y2 dx dy dz;
V: y=2x, y=0, x=2, z=xy, z=0.
20. 
;
V: x/2+y/4+z/6=1, x=0, y=0, z=0.
21. x2 dx dy dz;
V: z=10(x+3y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.
22. (8y+12z) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z=3x2+2y2, z=0.
23. 63(1+2 
) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z= , z=0.
24. (x+y) dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z=30x2+60y2, z=0.
25. 
;
V: x/6+y/4+z/16=1, x=0, y=0, z=0.
26. xyz dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=2, z=xy, z=0.
27. y2 dx dy dz;
V: z=10(3x+y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.
28. 
dx dy dz;
V: y=x, y=0, x=1, z=x2+15y2, z=0.
29. (x2+4y2) dx dy dz;
V: z=20(2x+y), x+y=1, x=0, y=0, z=0.
30. 
;
V: x/8+y/3+z/5=1, x=0, y=0, z=0
Литература
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т.1/ Н.С. Пискунов. – Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 415 с.
2.Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: учеб. пособие для вузов. Ч. 2 / П.Е. Данко [и др.]. - 6-е изд. - М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006. - 304 с.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: [учеб. пособие для втузов] / Г.С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. – М.; Владимир: Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2008. - 495 с.
Содержание
Введение. 4
1. Двойной интеграл. 5
1.1 Определение и основные свойства двойного интеграла. 5
1.2. Вычисление двойного интеграла. 6
1.3. Замена переменных в двойном интеграле. 6
2. Тройной интеграл. 7
2.1. Определение и свойства тройного интеграла. 7
2.2 Замена переменных в тройном интеграле. 8
Пример выполнения расчетно-графической работы.. 9
Варианты расчетно-графической работы.. 13
Литература. 22
Содержание. 23
Составители: Камозина О.В.
Козлова О.Н.
Кратные интегралы
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Формат Объем Тираж Заказ
Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел
Отпечатано: Печатный цех БГИТА
