Определение и основные свойства двойного интеграла

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

“ Кратные интегралы ”

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

Научно-методическим

Советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2012 г.

“ Кратные интегралы ”

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2012

 

Авторы:

Камозина Олеся Владимировна

Козлова Ольга Николаевна

Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.

 

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № от

Введение

 

Обобщением определенного интеграла на случай функции нескольких переменных является кратный интеграл. К кратным интегралам приводит и решение многих практических задач: вычисление объема тела, массы плоской пластики и т.д.

В данных методических указаниях подробно рассматриваются двойной и тройной интегралы, их вычисление и приложения.

Студенту предлагается изучить соответствующий теоретический материал: определение и основные свойства, вычисление, замена переменных в двойном и тройном интегралах. Также необходимо ознакомиться с решением типовых задач по теме (изменение порядка интегрирования, вычисление двойного, тройного интегралов, нахождение площади, массы плоской пластинки, объема тела).

В конце методических указаний приведены 30 вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы, что позволяет проверить уровень усвоения материала по теме.

Двойной интеграл

 

Определение и основные свойства двойного интеграла

 

Рассмотрим в плоскости XOY замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в каждой точке P(x,y) определена непрерывная функция z=f(P).

X

Разобьем область D произвольным образом на n частей ∆S_i. В каждой из площадок выберем точку P_i и вычислим в ней значение функции z_i =f(P_i). Составим сумму произведений вида f(P_i)∆S_i:

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z=f(P) в области D.

Диаметром d_i площадки ∆S_i назовем наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой площадки.

Если при max d_i→0 интегральная сумма V_n имеет определенный конечный предел , не зависящий от способа разбиения области D на частичные области ∆S_i и от выбора точек P_i внутри каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(P) в области D и обозначается таким образом

,

где f(x,y) – подынтегральная функция;

f(x,y)dS – подынтегральное выражение;

D – область интегрирования.

 

Основные свойства двойного интеграла.

1. ;

2. ;

3. где D= D₁ U D₂.