Метод минимального числа ошибочных решений

 

Критическое значение предела текучести определяем из уравнения (35), В котором при расчете коэффициента с необходимо положить П₁₀=П₀₁.

В результате находим х =185,3 МПа. Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода вычисляются по формулам (37) Р _F=0,008 и Р _м=0,0152. Средний риск составляет R =3,12 усл. ед.

Метод максимального правдоподобия

 

Критическое значение предела текучести определяем из уравнения (35), вкотором при расчете коэффициента с необходимо положить П₁₀ Р (D ₁)=П₀₁ Р (D ₀).

Определив положительный корень этого уравнения, находим х*=207,7 МПа. Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода рассчитываются по формулам (37) P _F=0,0664 и Р_м=0,0025. Средний риск составляет R =1,16 усл. ед.

 

Метод минимакса

 

Критическое значение предела текучести определяется из уравнения

Решая это уравнение, находим х*=222,2 МПа. Наименее благоприятное сочетание вероятностей допустимого P (D ₁) недопустимого Р *(D ₀)=1- P *(D ₁) состояния металла трубопровода, по-прежнему, вычисляются по формуле:

В результате вычислений находим Р *(D ₀)=0,3; P *(D ₁)=0,7. Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода рассчитываются по формулам (37), в которых полагаем P (D ₀)= P *(D ₀) и P (D _l)= P *(D ₁): P _F=0,1268 и Р _м=0,0027. Минимаксный риск равен R =3,45 усл. ед.

 

Метод Неймана-Пирсона

 

Вычислим критическое значение предела текучести металла трубопроводов х * для нескольких значений коэффициента избыточности k =1; 3; 5. Для этих значений коэффициента избыточности вероятности ложной тревоги в нашем случае соответственно равны =0,05; 0,15; 0,25. Критическое значение предела текучести определяем из условия непревышения ошибки 1-го рода P _F заданной величины Б, тогда из второго соотношения (37) получаем уравнение для вычисления х :

Для указанных соответствующие значения х равны: х =204,5 МПа; x =219,9 МПа и х =229,2 МПа. По формуле (37) рассчитываем соответствующие вероятности ошибок 2-го рода: Р_M1=0,0035; Р_M2=0,0006; Р_M3=0,0001.

 

Таблица 5

Данные расчетов с помощью методов статистических решений

 

Метод	Критическая Концентраця х ,МПа	Вероятность ложной тревоги, Р ,10-2	Вероятность пропуска дефекта, РМ,10-2	Средний риск, R, усл. Ед.
Минимального риска	208,1	6,63	0,25	1,15
Минимального числа ошибочных решений	185,3	0,80	1,52	3,12
Максимального правдоподобия	207,7	6,64	0,25	1,16
Минимакса	222,2	12,68	0,27	3,45
Нейма-на-Пирсо-на	= 0.05	204,5	5,0	0,35	1,20
=0.15	219,9	15,0	0.06	1,62
=0.25	229,2	25,0	0.01	2,53

Средний риск при указанных значениях вероятностей ошибок диагностирования согласно (38) составит: R ₁=1,2; R ₂=1,62; R ₃=2,53 усл. ед. Данные вычислений объединены табл. 3.

Их анализ показывает, что здесь имеют место те же закономерности, которые были отмечены при обсуждении результатов расчетов, полученных при решении задачи 2.

Принятие решения при наличии зоны неопределенности

Если необходима высокая достоверность постановки диагноза, вводят зону неопределенности или зону отказа от распознавания. Отказ от распознавания – вынужденная мера, к которой прибегают из-за недостатка информации для принятия решения с требуемой надежностью. В этом случае нужны дополнительные данные об обследуемом объекте, а их получение связано с добавочными затратами.

Пространство информативных параметров разбивается на три части – области диагнозов D ₀, D ₁ и зону отказа от распознавания. В ходе обследования устанавливают в какую из областей попадает вектор диагностических параметров, и в зависимости от этого либо ставится диагноз, либо отказываются от определения состояния объекта. Рис. 5 иллюстрирует правило принятия решения при наличии зоны неопределенности при однопараметровой диагностике. Ставится диагноз D ₀, если , диагноз D ₁, если :

и отказываются от постановки диагноза, если

Рис. 5. Размещение зон постановки диагнозов и отказа от принятия решения при однопараметрической диагностике: S ₀ — зона постановки диагноза D ₀; S ₁ –зона постановки диагноза D ₁; S ₂ — зона отказа от распознавания

 

Правило принятия решения можно записать с помощью отношения правдоподобия , а именно: принимается диагноз D ₀, если , диагноз D ₁, если и отказываются от распознавание, если . Пороговые значения отношения правдоподобия и границы областей устанавливаются на основе априорной информации о состоянии объекта и стоимости потерь и выигрышей от принятых решений.

Рассмотрим определение пороговых значений отношения правдоподобия и с помощью методов минимального риска и Неймана-Пирсона. Вероятности ошибок диагностирования определяются формулами

Функцию риска можно записать в виде

Здесь введена новая положительная величина П_о стоимость отказа от распознавания. Стоимость ошибок диагностирования, разумеется, должна быть больше стоимости отказа от распознавания:

П₁₀>П₀;П₀₁>П₀.

В противном случае отказываться от постановки диагноза и вводить зону неопределенности не имеет смысла. Приравнивая производные функции риска по ' и " нулю, получим уравнения для вычисления пороговых значений отношения правдоподобия, соответствующих минимальному риску:

Уравнения

определяют поверхности, разделяющие пространство диагностических параметров на области . Ошибки диагностирования и функцию риска рассчитывают при найденных значениях ' и " по формулам (39) и (40).

В случае однопараметрической диагностики (рис. 3) границы зоны неопределенности вычисляются как корни уравнений:

а вероятности ошибок диагностирования определяются по формулам:

Из приведенных соотношений видно, что между методом принятия решения при наличии зоны неопределенности и методом Вальда просматривается прямая аналогия. В том и другом методе отказываются от принятия решения, если недостаточно информации для постановки диагноза с необходимой достоверностью.

По методу Неймана-Пирсона границы зоны неопределенности ' и " находятся из условия равенства вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода заданным значениями и :

P _F= ; Р _м= ,

где P _F и Р м определяются соотношениями (39).

Приведенные формулы по крайней мере в принципе позволяют решить задачу выбора решения при наличии зоны неопределенности при многопараметрической диагностике. Основная трудность заключается в определении плотностей вероятности распределений отношения правдоподобия или его логарифма для различных состояний диагностируемого объекта. Определенную помощь при этом могут оказать методики расчета, изложенные в монографии [3].