Обратная геодезическая задача

11.

ПРЯМАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Дано. Плоские прямоугольные координаты (в дальнейшем координаты) 1 (х₁, у₁) начальной точки линии 12, дирекционный угол α₁₂, горизонтальное проложениеs₁₂ (рис. 4.1). Требуется вычислить координаты конечной точки 2 (х₂, у₂) этой линии.

Решение. Вначале дадим определение понятию «приращение координат». Направленный прямолинейный отрезок 12 можно считать вектором, длина которого равна s₁₂. Приращение координат - ортогональная проекция вектора на координатные оси прямоугольной системы координат. Из математики известно, что проекция вектора на координатную ось равна координате его конца без координаты начала. Поэтому приращения координат

∆x₁₂=x₂ – x₁, ∆y₁₂ = y₂ – y₁ (4.1)

Напомним, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций на оси координат, т. е.

Поскольку направление вектора может изменяться от 0 до 2 π, то приращения координат могут быть как положительными, так и отрицательными величинами в зависимости от значения дирекционного угла α₁₂. Приращения координат в системе координат хОу будут (рис. 4.1): ∆х₁₂>0,∆y₁₂>0. Из решения прямоугольного треугольника 1А2 (см. рис. 4.1) находят

Искомые координаты точки 2, как следует из формулы (4.1), будут

 

Задача. Дано: х₁ = +250,15 м; y₁ = - 410,34 м; α₁₂ = 134º10, 0’; s= 150,24 м. Вычислить х₂ и у₂.

Решение. По формулам (4.3) получим: ∆x₁₂= - 104,68 м; ∆y₁₂ = +107,77 м. Неизвестные координаты вычисляют по формуле (4.4). Они равны: х₂ = +250,15 + (- 104,68) = 145,47 м;

у₂ = -410 34+ 107,77 = -302,57 м.

Решение прямой геодезической задачи тождественно решению задачи по определению координат точки способом полярных координат, когда сделан перенос начала координат из точки О в точку 1.

 

ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Дано. Координаты точек 1(х₁, у₁) и 2(х₂, у₂) концов линии 12. Требуется вычислить дирекционный угол направления 12 – α₁₂ и горизонтальноепроложение s₁₂.

Решение. Из прямоугольного треугольника (см. рис. 4.1) следует, что искомый дирекционный угол можно найти из следующих соотношений:

Для контроля решения обратной геодезической задачи горизонтального проложения применяют также формулу

Чтобы однозначно определить числовое значение дирекционного угла α₁₂, необходимо принять во внимание знаки приращений координат, которые определяют направление линии.

Алгоритм для нахождения дирекционного угла линии 12 из решения обратной геодезической задачи имеет вид

При этом, если то К₁=0; иначе К₁=1. Если , то К₂=0; иначе К₂=1.

Задача. Даны координаты двух точек, м: 1 (+123,37, - 245,23), 2 (-256,23; +300,18). Найти дирекционный угол α₂₁ и горизонтальноепроложениеs₂₁.

Pешение. Вначале вычисляют приращения координат. Получают:

По формуле (4.7) находят дирекционный угол направления 21:

В примеру: ∆y₁₂<0, поэтому K₁=1,При таком значении неравенства К₂=1. Окончательно запишем: α₂₁= -55º09’45’’ + 180º(1+1) = =304º50’15’’

Горизонтальное положение

Вычисления контролируют по одной из формул (4.6):

Значение дирекционного угла можно также определить по названию румба линии. Для этого находят угловое значение румба линии 21, используя модули приращений координат

B примере знаки приращений координат имеют следующие значения: ∆х₂₁>0,∆y₂₁<0. Поэтому линия 21 имеет северо-западное направление. Тогда r₂₁=C3:55º09'45". Дирекционный угол (см. рис. 3.12):

α₂₁=360º - 55º09'45"=304º50’15’’.

В таблице приведен пример решения обратной геодезической задачи в программной среде Excel. Для определения дирекционного угла α₂₁, выраженного в градусах, применен алгоритм (4.7) В качестве исходных данных использованы координаты х₁, у₁ и х₂, у₂двух конечных точек линии 12. Там же приведено решение прямойгеодезическойзадачи.