Внутрішній силовий фактор при крученні. Напруження. Умови міцності

Оскільки кручення виникає при прикладанні пар сил у площинах, перпендикулярних до осі стержня, в довільному перерізі з шести можливих внутрішніх силових факторів виникає тільки один – крутний момент Т, рисунок 49.

Рисунок 49. Внутрішній силовий фактор при крученні.

 

Розглянемо напруження, які виникають при крученні круглого вала радіуса r.

З характеру дії внутрішнього силового фактора зрозуміло, що в перерізі, перпендикулярному до осі вала, ці напруження мають дотичний характер.

Розглядаючи елемент вала довжиною dx, рисунок 50, і його переріз,перпендикулярний до осі, можна записати лише одне рівняння рівноваги, а саме:

 

, (86)

 

де ρ – відстань від центра перерізу до площадки dA, що розглядається, рисунок 51;

– напруження на цій площадці.

Цього рівняння не достатньо, тому що невідомий розподіл величин , а він явно не носить характер константи. Тобто, система має статично невизначений характер.

 

Рисунок 50. Ділянка вала. Рисунок 51. Напруження в перерізі.

 

Розглянемо деформації в системі, рисунок 52.

Рисунок 52. Деформації вала

На поверхні стержня, що буде скручуватися двома суміжними лініями АС і BD та двома контурами суміжних перерізів І–І та ІІ–ІІ, виділимо прямокутник. Після деформації вала цей елемент перекоситься (виділено сірим кольором). «Виріжемо» цей елемент у вигляді, зображеному на рисунку 53.

Розглядаючи його можна зробити висновки, що деформація елемента носить зсувний характер, що викликає появу дотичних напружень на його гранях.

 

Рисунок 53. Деформації на ділянці вала довжиною dx

Абсолютний зсув в елементі , і тоді відносний зсув

 

. (87)

 

Згадуючи закон Гука – , матимемо

 

. (88)

 

Знаходячи напруження в не поверхневих шарах (точка В), а на якійсь відстані ρ від осі, отримуємо:

, (89)

 

з чого випливає, що закон розподілу напружень по перерізу є лінійним.

Підставляючи (89) в (86) та інтегруючи, отримуємо:

 

, або , (90)

 

де – полярний момент інерції.

Зіставляючи цей вираз з (89), після нескладних перетворень, маємо:

 

. (91)

 

Очевидно, що дотичні напруження досягають найбільшого значення при , тобто

, (92)

 

де – полярний момент опору.

Це дає змогу записати умову міцності при крученні в такому вигляді:

 

. (93)

 

Виконуючи цю умову, можна за відомими силовими факторами, що створюють крутний момент Т, знайти полярний момент опору і далі,залежно від тієї чи іншої форми, розміри перерізу, або навпаки – знаючи розміри перерізу, обчислити найбільшу величину крутного моменту, яку можна допустити в перерізі, що, в свою чергу, дозволить знайти допустимі величини зовнішніх навантажень.