Mathematica может вычислять неопределенные интегралы от простых функций в аналитической (символьной) форме. Для этого используется шаблон или команда Integrate[f,x], где первый параметр означает подынтегральную функцию (она может быть определена заранее с помощью команды f[x_]:=…), а второй - переменную интегрирования; например
Если подынтегральную функцию определить заранее
:= 
то интеграл вычисляется командой
Результат, как видно, содержит специальные функции (интегральный синус и косинус), дифференцированием его можно проверить
Получившееся в результате дифференцирования сложное выражение можно упростить, восстановив исходный вид подынтегральной функции:
Как известно, не все неопределенные интегралы от элементарных функций можно вычислить в терминах элементарных и специальных функций. Если Mathematica не справляется с вычислением данного интеграла, она оставляет его записанным в "общем виде":
С этим результатом, тем не менее, можно дальше работать, например, дифференцировать:
Для вычисления определенных интегралов в команде Integrate надо указать вместе с переменной интегрирования верхний и нижний пределы в виде {x, xmin, xmax}
Например
Результат, выданный системой, означает, что при положительности действительной части коэффициента k интеграл существует и равен приведенному выражению, а в противном случае - не существует (расходится).
С помощью опции Assumptions→{} можно указать дополнительные условия, в частности, делающие возможным вычисление интеграла в аналитической форме. Сравните, например
и 
Пределы
Пределы функций можно вычислять с помощью команды Limit[f[x],x→x0], при этом Mathematica умеет раскрывать неопределенности типа 0/0
и бесконечность/бесконечность
В полученном результате последней операции E=e означает основание натуральных логарифмов.
Однако неопределенности типа бесконечность-бесконечность она не раскрывает и оставляет в "общем виде"
С помощью опции Direction можно вычислять односторонние пределы: снизу
и сверху
Разложения в ряды
Команда Series[f,{x,x0,n}] осуществляет разложение функции f в ряд Тейлора по переменной x в окрестности x0 до членов степени n по x включительно:
В Out-ячейке O[x]3 обозначает остаточный член ряда. Если его желательно опустить, используйте команду
или
Индивидуальные задания:
1. Вычислить производную:
| № | Задание | № | Задание |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
2. Вычислить неопределенный интеграл 
:
| № | f(x) | № | f(x) | № | f(x) |
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
|
3. Вычислить определенный интеграл 
:
| № | f(x) | [a, b] | f(x) | [a, b] | |
| [0, 16] | 
| [0, 2] | ||
| [0, 1] | 
| [0, 4] | ||
| [0, 5] | 
| [0, 5] | ||
| [3, 5] | 
| [0,4  ]
| ||
| [0,  ]
| 
| [0,2  ]
| ||
| [0,  ]
| 
| [0, ]
| ||
| [0, 4] | 
| [6, 9] |
4. Вычислить предел:
| № | Задание | № | Задание |
|  
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
5. Разложить функцию f в ряд степени n:
| № | функция | n | № | функция | n |
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Лабораторная работа №4. «Построение графиков в СКМ Mathematica»
