Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.

 

2.2.1⁰ Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина

Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина .

2.2.1

Решение. Введем подстановку x+2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо x+2 и их значения через t в данный интеграл, получим:

Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).

 

2.2.2

Правило 1

Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность

2.2.3

 

2.2.2⁰ Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается на постоянную величину

Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину

 

2.2.4

Решение. Введем подстановку 3x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо и их значения через t в данный интеграл, получим:

| заменим t его выражением через x|=

Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:

.

Правило 2

Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число .

2.2.6

2.2.7

Замечание. Правила 1 и 2 к подынтегральной функции могут применяться одновременно.

 

2.2.8 2.2.9

2.2.10

2.2.11

2.2.12

При интегрирование тригонометрических функций и применяются формулы понижения степени:

 

и

Выполните самостоятельно

2.2.3⁰ Интегралы вида: ,

Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного

квадратного трехчлена по формуле:

(**) и применения правил 1,2.

Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.

Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или

11.

 

2.2.14 | выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| =

2.2.16 =

(сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим ) =

Выполните самостоятельно

2.2.4⁰ Интегрирование дробных функций (рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю).

Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной

2.2.17

Замечаем, что производная знаменателя ПФ , отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем

2.2.18

Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.

 

2.2.19

2.2.20

Правило 3

Если под знаком интеграла стоит дробная функция(рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю(или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t. где или где , то

Выполните самостоятельно

2.2.5⁰ Интегралы вида:

Р ассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t.

Например

Функция сложная, ее промежуточный аргумент равен , производная которого содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличному подстановкой . Действительно

=

 

Рассмотрите интегралы данного вида

2.2.23 =

2.2.25

2.2.26

2.2.27

2.2.28

2.2.29

Выполните самостоятельно

			ò

Правило 4

Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента, то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t. ,

Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).

2.2.30

2.2.31

2.2.32

2.2.33

Выполните самостоятельно

Указания:

66 Представьте , обозначьте

68 Представьте , обозначьте

70 Обозначьте и распишите

2.2.6⁰ Интегрирование простейших иррациональных функций

В данном пункте рассмотрим интегралы вида: , которые находятся

подстановкой , , (Правило 5)

При интегрировании иррациональных функций с помощью подстановки необходимо

избавиться от иррациональности (корня).

 

2.2.34

2.2.35

Замечание. Этот способ интегрирования применяется и в том случае, когда под корнем стоит трансцендентная функция.

2.2.37

Выполните самостоятельно

2.2.7⁰ Интегрирование с помощью преобразования подынтегральной функции

Иногда, прежде чем найти интеграл необходимо выполнить преобразования ПФ (применить формулы элементарной математики, почленное деление числителя ПФ на знаменатель).

2.2.38 ;

Обозначим данный интеграл I, тогда

2.2.39 ;

Выполните самостоятельно

Указания:

86 Обозначьте , тогда

88Обозначьте , тогда

89 Обозначьте и распишите

90 Обозначьте , тогда

91 Помножьте числитель и знаменатель ПФ на 2 и воспользуйтесь формулой

ВНИМАНИЕ Если вы хорошо овладели интегрированием методом подстановки, то

должны уметь применять этот метод и в нестандартных интегралах.

2.2.40

Способ 1

Способ 2

Способ 3 , далее как способом 2.