Понятие неопределенного интеграла

Пояснительная записка

Настоящее учебно-методическое пособие состоит из двух частей:

1 Неопределенный интеграл

2 Основные способы интегрирования

2.1 Непосредственный способ интегрирования

2.2 Метод интегрирования подстановкой

2.3 Интегрирование по частям.

Каждый способ структурирован по общим признакам интегрирования, содержит набор интегралов с решениями и для самостоятельного решения студента. Интегралы для самостоятельного решения частично сопровождаются указаниями к выполнению, пронумерованы от 1 до 100.

Такая структура учебно-методического пособия делает его удобным для самостоятельного овладения основными способами интегрирования при минимальной помощи со стороны преподавателя.

В пособии представлены образцы интегрирования функций. По тексту для всех рассматриваемых интегралов предусмотрена нумерация согласно способа интегрирования.

 

Непосредственный способ интегрирования

2.1.1	2.1.2	2.1.3
2.1.4	2.1.5	2.1.6
2.1.7	2.1.8	2.1.9
2.1.10	2.1.11	2.1.12
2.1.13

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

2.2.1	2.2.2	2.2.3
2.2.4	2.2.5	2.2.6
2.2.7	2.2.8	2.2.9
2.2.10	2.2.11	2.2.12
2.2.13	2.2.14	2.2.15
2.2.16	2.2.17	2.2.18
2.2.19	2.2.20	2.2.21
2.2.22	2.2.23	2.2.24
2.2.25	2.2.26	2.2.27
2.2.28	2.2.29	2.2.30
2.2.31	2.2.32	2.2.33
2.2.34	2.2.35	2.2.36
2.2.37	2.2.38	2.2.39
2.2.40	2.2.41

Метод интегрирования по частям

2.3.1	2.3.2	2.3.3
2.3.4	2.3.5	2.3.6
2.3.7	2.3.8	2.3.9

Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, выполнения практического занятия 16 Основные способы интегрирования и самостоятельной работы студента 16 Интегрирование функций: непосредственным способом, заменой переменной, по частям.

Данное учебно-методическое пособие является базовым для подготовке студентов к экзамену по модулю ЕН.01.М.07 Интегральное исчисление.

Работая с пособием, студенты имеют возможность одновременно обращаться к учебной и справочной литературе:

- Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учеб. Пособие/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., стер. – М.: Наука, 1973. – 720с.: ил.

· Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;

- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.

Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.

 

Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.

Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную .

Обратную задачу решает интегральное исчисление.

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Определение Функция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .

Из определения вытекают три вопроса.

1 Любая ли функция имеет первообразную?

2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?

3 Как найти эти первообразные?

Ответы на эти вопросы дают теоремы.

 

Теорема 1 (без доказательства)

Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.

 

Теорема 2

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных

Пусть - первообразная функции , тогда и функция так же является её первообразной. Действительно:

Например, первообразной функции является функция , т.к.

Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С – постоянная, поскольку

Теорема 3 (без доказательства)

Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

 

Определение Неопределенным интегралом для заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается .

 

Таким образом, по определению

(*)

В равенстве (*):

- подынтегральная функция (ПФ);

- подынтегральное выражение (ПВ);

- первообразная функции;

- совокупность первообразных;

- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.

 

1.2 Свойства неопределённого интеграла

 

1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

 

1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

 

1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

 

1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:

 

 

1. 3 Таблица основных интегралов

1	8
2	8.1
2.1	8.2
2.2	9
3	9.1
3.1	9.2
3.2	10
3.3
4
4.1	10.1
4.2	10.2
5	11
5.1	11.1
5.2	11.2
6	12
6.1	12.1
6.2	12.2
7	13
7.1	13.1
7.2	13.2
14	15