Задачи приводящие к интегралам

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Для уяснения смысла интегрирования рассмотрим следующий при­мер. Предположим, что тело движется по прямой линии с постоян­ной скоростью v. Пусть х представляет расстояние (в км), пройденное телом, а t - время (в часах). Скорость v выражается производной ,

которая в рассматриваемом случае является постоянной. Время, необходимое для прохождения участка пути, например, от 200 до 500 км, при постоянной скорости 50 км/час, будет равно:

При переменной скорости расчет усложняется. Примем, что v линейно зависит от х; пусть, например:

v = 0,05 x (1)

Время, необходимое для прохождения отрезка пути от 200 до 500 км, может быть вычислено приближенно при использовании средней скорости, например, 17,5 км/час, соответствующей 350-му километру пути. При этом затраченное время составит:

Более точный результат получим, если, используя средние ско­рости, вычислим отдельно время прохождения участков пути от 200 до 300 км, от 300 до 400 км и от 400 до 500 км и сложим полученные числа. На каждом из этих участков тело движется со средней скоростью 12,5 км, 17,5 км и 22,5 км; следовательно, первый участок будет пройден за 8 час., второй за 5,71 часа и третий за 4,45 часа. Весь путь будет пройден за 18,16 часа.

При дроблении 300-километрового пути на еще более мелкие участки суммирование дало бы еще более точный результат. Точный результат, очевидно, получим, если будем предполагать, что число участков неограниченно возрастает, так что длина каждого участка стремится к нулю. Время Dt, необходимое для прохождения пути D x, получается делением D x на v, что дает:

Чтобы получить все время, необходимое для прохождения пути от 200 до 500 км, надо сложить все промежутки времени Dt. Полу­ченное при этом значение для времени будет тем точнее выражать истинное значение времени, чем мельче будут отрезки пути D x, на которые мы разбили весь путь от 200 до 500 км. Если рассмотреть не сумму всех Dt, а предел этой суммы, в предположении, что все Dx: стремятся к нулю, то этот предел даст нам точное значение искомого времени:

(2)

Подобные пределы сумм называются в математике определенными интегралами и обозначаются так:

Численное значение этого интеграла оказывается равным 18,33 часа.

Рассмотрим другой пример, именно - инверсию сахара. Применяя закон действующих масс к этому процессу, заключаем, что коли­чество сахара, инвертируемого в единицу времени, прямо пропор­ционально количеству сахара в растворе.

Пусть а - первоначальное количество сахара в растворе и пусть за время т инвертируется количество сахара х, т. е. к моменту времени t в растворе остается а - х сахара. Допустим, что в тече­ние промежутка времени от t до t + Dt реакция протекает равно­мерно и пусть при этом количество инвертируемого сахара равно dx. Для этого промежутка времени, по приведенному выше закону, скорость реакции пропорциональна наличному количеству сахара а - х, и так как мы эту скорость считаем постоянной, то количество инвер­тируемого сахара в этот промежуток времени будет равно k (а - x) dt, где k - некоторый множитель пропорциональности. Следовательно, мы имеем: dx = k(a - х) d t

или

=k(a-x) (3)

Химический закон получил математическое выражение, и нам остается решить задачу, состоящую в нахождении функциональной связи между х и t, выраженной этим уравнением. Для нахождения этой функциональной зависимости запишем уравнение (3) так:

(4)

k a - x

Легко убедиться, что:

(5)

В самом деле, дифференцируя (5), получаем:

Решение химической задачи мы привели к математической задаче нахождения функции по заданному ее дифференциалу. Эта задача обратна той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где требуется найти производную или дифференциал по данной функции. В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой величины на основании данного закона, связы­вающего эти две величины, т. е. когда известна функциональная зависимость между этими величинами.

В решенной нами задаче были даны бесконечно малые изменения одной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой, и требовалось найти функциональную зависимость между этими двумя величинами.

Область математики, занимающаяся решением таких задач, носит название интегрального исчисления. В задачах, которыми занимается интегральное исчисление, стремятся определить полный, во всем его объеме, ход явления.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обозначим через f(х) производную функции F(x). Будем считать функцию f(х) заданной, а функцию F(х) искомой:

(6)

dF(x)=f(x)dx (7)

Всякая функция F(x), удовлетворяющая (7), называется первооб­разной функцией от f(х). Если F(х) есть первообразная от f (х), то F(x)+C, где С - любая постоянная, тоже будет первообразной от f (х). Действительно, так как производная постоянного равна нулю, то производная от F(x)+C равна производной от F(x), то есть f(х): [ F(x) +C]’=[ F(x) ]’= f(x)

Можно показать, что если F(x) есть какая-либо первообразная от f(х), то функция F(x)+C представляет собой общее выраже­ние всех первообразных от f(х).

Общее выражение всех первообразных от f(х) называют неопре­деленным интегралом от f(х) и обозначают:

f(x)dx = F(x) + C (8)

Функция f(х) называется подинтегральной функцией, a f(х)dx- подынтегральным выражением.

Из определения следует, что производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, а дифференциал неопре­деленного интеграла равен подинтегральному выражению.

В самом деле, из определения интеграла следует, что если: , то

Отсюда следует:

Последнее равенство показывает, что интегрирование и дифферен­цирование представляют собою обратные действия. Точно так же:

Всякой формуле дифференциального исчисления

 

F’(x) = f(x); dF(x) = f(x)dx соответствует формула интегрального исчисления:

f(x)dx=F(x) +C

Приведем таблицу основных интегралов. Таблица эта является обращением таблицы основных производных:

, или

Положив т -1 = п, находим (при п ¹ -1):

1.

2. ;

3. ; ;

Если а = е (основанию натуральных логарифмов), то:

За.

4. d sin х = cos x dx, ò cos x dx = sin x+ С

5. d cos x = - sin x dx, ò sin x dx = - cos x + С

6. ,

7. ,

При изучении дифференцирования мы установили ряд простых правил, с помощью которых можно легко найти производные любых элементарных функций. Для интегрирования подобные общие правила не существуют, можно лишь указать отдельные приемы интегри­рования, пользуясь которыми удается проинтегрировать некоторые функции. Существуют элементарные функции, неопределенные инте­гралы от которых нельзя выразить через элементарные функции. Перечислим некоторые правила интегрирования.

1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

ò Cf(x)dx = С ò f (x) dx (9)

2. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов отдельных слагаемых:

ò [u (х) + v(x) - w(x) ] dx = ò и (х) dx + ò v (x) dx - ò w (x) dx (10)

3. Если нам известен интеграл

ò f(x)dx = F(x)+C то, заменяя х линейной функцией ах+b, будем иметь:

ò f(ax + b)dx= F(ax + b) + C (11)

Например:

ò cos ax dx= sin ax + С (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

4. Во всех приведенных формулах x можно заменить какой-либо функцией f(х), так что каждая из этих формул включает множество частных случаев, соответствующих различным видам функции f(x). Таким образом, имеем, например, следующие формулы:

(19)

(20)

(21)

По формуле (20) найдем:

(22)

(23)

5. Интегрирование по частям. Если u и v - функции от x, то

d (uv) = udv+vdu

откуда:

uv = ò udv+ ò udv

или

ò udv=uv- ò vdu (24)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. С ее помощью мы сводим вычисление интеграла, стоящего в левой части, к вычислению другого интеграла, стоящего в правой части. Часто этот интеграл оказывается проще исходного.

Примеры.

а) ò ln x dx.

Полагая

u = ln x, dv = dx

находим:

du = , v = x

Поэтому:

ò ln x dx=x ln x- ò xdx=x ln x- x+C

б) ò xe^x dx.

Полагая

u = x, dv = e ^х dx

имеем:

du = dx, v= ò e^xdx = e^x

Отсюда:

ò xe^x dx = xe^x - ò e^x dx = xe^x - е^x +C

в) ò x sin x dx.

Полагая

u = x, dv = sin xdx

получаем:

du = dx v = ò sin x d x=- cos x

Отсюда:

ò x sin x dx = - x cos x + ò cosx dx = - x cosx+sinx+C

Нельзя дать общего правила, как нужно разлагать подинтегральное выражение на множители uи dv. Во всяком случае разложение это следует делать так, чтобы можно было определить функцию v и чтобы полученный новый интеграл был известен или, по крайней мере, проще первоначального.

6. Интегрирование посредством введения новых переменных за­ключается в том, что при вычислении интеграла

ò f(x)dx

вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х некоторой зависимостью. Эту зависимость стараются выбрать так, чтобы преобразованный интеграл был проще данного интеграла. Общих методов для выбора подстановки указать нельзя, выбор этот определяется математической структурой подинтегральной функции.

Примеры.

a)

Полагаем:

sin x = t; cos x dx= dt

Тот же интеграл можно вычислить иначе:

б)

Полагаем:

;

При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бес­численное множество функций, отличающихся друг от друга постоян­ным слагаемым. Для того, чтобы из совокупности первообразных функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что задается числовое значение искомой первообразной функции при некотором значении независимого переменного. Это дает возможность найти то числовое значение, которое следует придать произвольному постоянному.

Рассмотрим для примера свободное падение тел. Ускорение прямо­линейного движения равно производной от скорости w. Для свобод­ного падения:

Отсюда следует:

Следовательно:

(25)

Пусть в момент времени т = 0 вертикальная составляющая ско­рости движения равна w₀. Из (25) вытекает:

w₀=С

Следовательно, функция

определяет скорость падения тела в любой момент t

Рассмотрим еще пример с инверсией сахара. Мы нашли, что:

Отсюда интегрированием получаем:

Значение постоянной С можно найти следующим образом: если считать время от начала реакции, то при t = 0 количество инверти­рованного сахара х = 0, откуда:

Определяя отсюда С и подставляя его значение в формулу (26), имеем:

и

На практике обыкновенно определяют С иначе. Опытным путем находят количество сахара x₁ инвертированного за время t₁; тогда

откуда легко определить С. Подставляя значение С в формулу (26) имеем

откуда:

 

Задание:

Найдите изменение энергии Гиббса для 1 моль NH₃ в процессе изобарического нагревания от 300К до 400К.

Пусть ; известно, что в процессе нагревания

Тогда

Дж/мольК

Отсюда следует, что

DG= -192,5(400-300)=-19,25 кДж/мольК

Теперь учтем зависимость энтропии от температуры

 

; ;

Пусть не зависит от температуры:

^;

=35,65Дж/мольК

=-35.65*[(400*2.3*lg400-300*2.3*lg300)-(400-300)]-(192.5-35.65*2.3*lg300)*(400-300) =19.6 кДж/мольК

Но теплоемкость зависит от температуры и зависимость обычно описывается с помощью некоторого ряда.

;

По справочнику {М.} находим:

а=29,80; b=25,48*10^-3; с=0

с^’= - 1,67*10⁵Дж/Моль*град.

 

G_T2-G_T1= - 29,80*2,3 lg400+29,80*300*2,3 lg300+29,8*400 – 29,8*300 - +400²+ *300² - + - (192,5 – 29,8*2,3 lg300 –

25,48*10^-3*300+ ) (400-300)= - 71341,2+50928,2+11910 – 8940 – 2040+1147 – 209+279 – (192,5 – 169,5 – 7,44+0,928)*100= - 19916 ДЖ/Моль

 

XI. Найти DG⁰ при Т=400⁰К для реакции NH₃

Если DG⁰₂₉₈= - 16,635 КДЖ/Моль; недостающие данные взять в справочнике [M.].

Решение. Известно, что ; ; ;

DG⁰₄₀₀=D G⁰₂₉₈

В зависимости от необходимой степени точности задачу можно решать следующими способами.

1. Допускаем, что энтропия не зависит от температуры, т.е. DS⁰₂₉₈=DS⁰_400.

По справочнику [M.]. находим:

	N2	H2	NH3
DS0298	191,5	130,6	192,50

 

DS⁰₂₉₈= - 99,15 Дж/Моль·град.

DG⁰₄₀₀₌ - 16635+99,15 (400-298)= - 6522 Дж/Моль;

DG⁰₄₀₀= - 6522 Дж/Моль

1. DS=f (T); изменение энтропии при нагревании вещества

Для процесса энтропия рассчитывается по уравнению

Предположим, что DС⁰_р= const, тогда

;

Из справочника [M.]. находим:

 

	NH3	H2	N2
С0P298 Дж/Моль·град	35,65	28,83	29,10

 

 

С⁰_P= С⁰_{P =} Дж/Моль·град.

=22,145[400*2,3*lg400-300*2,3lg300-100] - (-99,15+22,145* 2,3lg300)(400-300)+ =

22,145*585-(-99,15+126)100-16635= - 6,385 КДЖ/Моль

DG⁰₄₀₀= - 6.385 КДЖ/Моль

1. Вычислить изменение энтропии при нагревании 16 кг О₂ от 273 до 373⁰К: 1) при постоянном объеме; 2) при постоянном давлении

2. Вычислить изменение энтропии при нагревании 58,82кг. В₂О₃ от 298 до 700⁰К, теплоемкость В₂О₃ =36,5525*10³+106,345*T, Дж/кмоль·К ( =8,73+25,4*10^-3
Т, кал/моль·К).

3.12г кислорода охлаждают от 290 до 233⁰К; одновременно повышается давление от 1·10⁵н/м² (1 атм.) до 60,6·10⁵н/м² (60 атм.). Как изменится энтропия, если Дж/Моль·град (6,97 Кал/Моль·град)

4. Найти изменение энтропии при нагревании (охлаждении при постоянном давлении в интервале температур от Т₁ до Т₂ g кг. вещества А, если известны значения его температур плавления и кипения, теплоемкостей в твердом, жидком и газообразном состоянии, теплот плавления и испарения)[1]

 

№ вар-та	А	g	T1	T2
	Br2 H2O Hg CCl4 CH2O2 муравьиная к-та С2HCl3O2 трихлоруксусная к-та СH4O C2H3ClO2 хлоруксусная к-та C2H4O2 уксусная к-та C2H6O этанол C3H6O ацетон С4H10O этиловый эфир

 

[1] Средние теплоемкости веществ во всех агрегатных состояниях, теплоты плавления и испарения найти по справочнику [С. Х., т.I]. Теплоты переходов из одной модификации в другую не учитывать. При отсутствии данных принять, что теплоемкости не зависят от температуры. Значения теплоемкостей, отсутствующие в справочной литературе, вычислить приближенно, используя данные [М.].