Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности

x_n = x₁,x₂,...,x_n

n₁ < n₂ < … < n_k <...

x_nk = x_n1,x_n2,...,x_nk

 

x_nk → a (k → ∞)

 

Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.

 

n = αβγ..ω ==> x_n = 0,αβγ..ω

n = 15, 150, 1500

x₁₅ = 0,15

x₁₅₀ = 0,15

x₁₅₀₀ = 0,15

 

x_nk ϵ [0,1; 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.

 

 

Теорема Вейерштрасса:

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

A ≤ x_n ≤ b ∀ n

[a,b] = p₀

p₁ < p₀

p₀ > p₁ > p₂ > …

Пусть x_n1 ϵ p₁

x_n2 ϵ p₂, n₂ > n₁

x_n3 ϵ p₃, n₃ > n₂

…

x_nk ϵ p_k, n_k > n_k–1

 

a ≤ x_nk ≤ b_k

a_k → c

b_k → c

==> x_nk → c

 

Всякая ограниченная последовательность имеет предел.

 

 

Если x_n – неограниченая, то существует подпоследовательность x_nk, имеющая бесконечный предел.

∀ A ∃ K_A: k > K_A ==> y_k > A

(∀ K_A > A x_nk k > K_A x_nk > k > K_A > A)

 

Доказательство:

Пусть x_n не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность x_n1. Среди элементов x_n1+1, x_n1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:

1. x_n1 > 1.

Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности x_n2.

2. x_n2 > 2, n₂ > n₁.

Тогда на k-ом шаге будет

k. x_nk > k, n_k > n_k-1.

Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.

x_n → +∞.

 

 

Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.

Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.

 

В любой последовательности x_n существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти x_n.

 

x_n = (-1)ⁿ

x_nk = x_2k = (-1)^2k = 1

x_nk = x_2k+1= (-1)^2k+1 = -1.

 

Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:

Q = {x_n}, a ϵ R.

a – 1 < x_n1 < a + 1

a – ½ < x_n2 < a + ½

a – 1/3 < x_n3 < a + 1/3

…

a – 1/k < x_nk < a + 1/k

 

 

a = inf_m(sup_m≥n x_n) = lim_m→∞ a_m

 

I. Неравенство x_n ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.

a + ℰ > a, a+ℰ – не нижняя граница для {a_m}.

∃ m₀: a_mo < a + ℰ a_mo = sup_n>=mo x_n ≥ x_{n (n>=mo)} ==> ∀ n ≥ m₀ x_n ≤ a_mo < a + ℰ

 

II. Неравенство x_n > a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.

Пусть n = 1,2,...,N (конечно). Тогда

∀ n > N x_n ≤ a – ℰ

m > N a_m = sup_n≥m x_n ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.

 

 

Предельная точка

 

f D a – предельная точка;

A = lim_x→a f(x)

 

I. Если {x_n} c D, x_n ≠ a, x_n →_n→∞ a, то lim(x_n) = A, 0 < |x-a| < δ.

 

II. ∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.

 

D f(x), g(x);

∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ lim_x→af(x) = A, lim_x→ag(x) = B ==> A ≤ B.

 

{x_n}сD, x_n ≠ a, x_n → a

f(x_n) →_n→∞ A

g(x_n) →_n→∞ B

 

f(x) < g(x)

lim_x→af(x) ≤ lim_x→ag(x)

 

∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.

δ' = min(δ,δ₀)

x ϵ D, |x-a| < δ' ==> |x-a| < δ

|x-a| < δ₀

h(x) = f(x) ==> |h(x) – A| < ℰ

∀ ℰ > 0 ∃ δ' > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ' ==> |h(x) – A| < ℰ.

Доказательство:

| |g(x)| - |B| | ≤ |g(x) – B| < |B|/2

|g(x)| ≥ |B| - |B|/2 = |B|/2 > 0

g(x) ≠ 0

x ϵ D^(a-δ, a+δ)

x ≠ a

f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ)\{a} = D'

{x_n} с D', x_n ≠ a, x_n –_n→∞→ a

lim_x→a f(x_n)/g(x_n) = A/B ­

 

Критерий Коши для функций:

∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x,y ϵ D, 0 < |x-a| < δ, 0 < |y-a| < δ ==> |f(x) – f(y)| < ℰ

 

 

{x_n} c D, x_n ≠ a, x_n → a, {y_n} c D, y_n ≠ a, y_n → a,

∃ lim_n→∞ f(x_n) ∃ lim_n→∞ f(y_n)

lim_n→∞ f(x_n) = lim_n→∞ f(y_n)

Доказательство:

z_n: x₁,y₁,x₂,y₁,x₃,y₃,....

z_n c D, z_n ≠ a, z_n → a ==> ∃ lim_n→∞ f(z_n) = A

f(z_2n-1) = f(x_n) ==> lim_n→∞ f(x_n) = lim_n→∞ f(z_2n-1) = A

f(z_2n) = f(y_n) ==> lim_n→∞ f(y_n) = lim_n→∞ f(z_2n) = A

 

Монотонная функция

f(x) c D монотонно возрастает (не убывает), если

∀ x₁,x₂ ϵ D x₁ <(≤) x₂ ==> f(x₁) <(≤) f(x₂)

 

D_a⁺ = {x ϵ D: x > a} D_a^– = {x ϵ D: x < a}

правая предельная точка левая предельная точка

всякая предельная точка является либо правой предельной точкой,

либо левой предельной точкой, либо сразу и той, и другой.

 

f/_Da+ = f_a⁺(x) f/_Da– = f_a^–(x)

lim_x→a+0 f(x) = lim_x→a f_a⁺(x) lim_x→a-0 f(x) = lim_x→a f_a^– (x)

 

 

f(x) D, f(x) D,

∀ x f(x) ≤ M < +∞ ∀ x f(x) ≥ M > –∞

a – левая предельная точка a – правая предельная точка

∃ lim_x→a-0 f(x) = sup_Da– f(x) ∃ lim_x→a+0 f(x) = inf_Da+ f(x)

 

A – ℰ < f(x_ℰ) ≤ f(x) A ==> |f(x) – A| < ℰ

|f_a^–(x) – A| < ℰ

 

{x_n} c D, x_n ≠ a, x_n → a

{x_n} c D, x_n → +∞

lim_n→∞ f(x_n) = A

∀ ℰ > 0 ∃ M_ℰ: x ϵ D, x > M ==> |f(x) – A| < ℰ

 

{x_n} c D, x_n → –∞

lim_n→∞ f(x_n) = A

∀ ℰ > 0 ∃ M_ℰ: x ϵ D, x < M ==> |f(x) – A| < ℰ

 

{x_n} c D, x_n → +∞

lim_n→∞ f(x_n) = +∞

∀ M ∃ δ>0: x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) > M

 

{x_n} c D, x_n → –∞

lim_n→∞ f(x_n) = –∞

∀ M ∃ δ>0: x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) < M

 

∀ M D ∩ (M, ∞) or ∀ M ∃ x ϵ D: x > M

состоит из бесконечного числа элементов

 

f(x), g(x) D, a – предельная точка

∃ lim_x→af(x) = A, lim_x→ag(x) = B

 

f(x) D, a ϵ D

1. a – изолированная точка множества D ==> f непрерывна в точке a
2. a – предельная точка D ==> f непрерывна в точке a <==> ∃ lim_x→af(x) = f(a)

 

Функция Дирихле:

1 – x рациональный,

f(x)

0 – x иррациональный.

 

Определение непрерывности в точке a:

∀ ℰ>0 ∃ δ>0: xϵD, 0<|x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ,

здесь требование x ≠ a излишне:

∀ ℰ>0 ∃ δ>0: x ϵ D, |x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ

 

В терминах последовательности:

∀ {x_n} c D, x_n → a ==> f(x_n) → f(a)

 

Пусть D, f(x), g(x) – непрерывны в точке a ϵ D. Тогда непрерывны в точке a:

1. f(x) ± g(x)
2. f(x) ⋅ g(x)
3. f(x)/g(x) (g(a) ≠ 0)
4. |f(x)|

 

Любой полином будет непрерывной функцией:

f(x) = x:

x² = x⋅x

x³ = x⋅x²

…

xⁿ = x⋅x^n-1

 

_k=0Σⁿ a_k⋅x^k = P(x)

P(x)/Q(x)

 

|sinx| ≤ |x|, |x| ≤ π/2

k ≤ |x|,

|sinx| ≤ k ≤ |x|

lim_x→asinx = sina

0 ≤ |sinx – sina| = |2⋅sin[(x-a)/2]⋅cos[(x+a)/2]| ≤ 2⋅|(x-a)/2|⋅1 = |x-a|

0 ≤ |sinx – sina| ≤ |x-a|

 

 

f(x), D g(y), Δ

f[D] c Δ

h(x) = g(x), D

Если f непрерывна в точке a ϵ D g непрерывна в точке b = f(a) ϵ Δ, тогда h(x) непрерывна в точке a.

∀ ℰ>0 ∃ σ>0: y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ

Доказательство:

ℰ>0 ∃ σ>0: y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ

σ>0 ∃ δ: xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ

∀ ℰ>0 ∃ δ>0: xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ ==> |g(f(x))–g(b)| < ℰ

|f(x)–b| |h(x)–h(a)| (т.к. g(b)=g(f(a))=h(a))

f(x), D

g(y), Δ h(x)=g(f(x))

f[D] c Δ

f непрерывна в точке a, g непрерывна в точке b=f(a) ==> h(x) непрерывна в точке a

lim_x→ag(f(x)) = g(lim_x→af(x)). Доказано.

 

 

Теорема о пределе суперпозиции

f(x), D

g(y), Δ

f[D] c Δ, a – предельная точка D

∃ lim_x→af(x) = b ϵ Δ, g непрерывна в точке b ==> ∃ lim_x→ag(f(x))=g(b)

limg_x→a(f(x)) = g(b) = g(lim_x→af(x))

f’(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, g непрерывна в точке b

f(x), x ≠ a

f’(x) =

b, x = a

f’(x) на Dv{a}

lim_x→af’(x) = lim_x→af(x) = b = f’(a) ==> f непрерывна в точке a

 

Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на каком-то множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множества.

f(x) [a,b], f непрерывна на [a,b], f(x) ограничена на [a,b]

∀ x ϵ [a,b] |f(x)| ≤ M, 0 < M < ∞

1. x₁ ϵ [a,b] |f(x₁)| > 1
2. x₂ ϵ [a,b] |f(x₂)| > 2
3. x₃ ϵ [a,b] |f(x₃)| > 3

…

1. x_n ϵ [a,b] |f(x_n)| > n

{x_n} c [a,b] {x_nk}: lim_x→∞x_nk = x₀

a ≤ x_n ≤ b a ≤ x_nk ≤ b ==> a ≤ x₀ ≤ b

lim_x→xof(x) = f(x₀)

lim_k→∞f(x_nk) = f(x₀)

|f(x_nk)| > n_k –_k→∞→ ∞

 

-∞ < inf_[a,b]f(x) ≤ sup_[a,b]f(x) < +∞, sup_[a,b]f(x) = A

∃ x₀ ϵ [a,b]: f(x₀) = A

A-1 ∃ x₁ ϵ [a,b]: A-1 < f(x₁) ≤ A

A-½ ∃ x₂ ϵ [a,b]: A-½ < f(x₂) ≤ A

...

A-1/n ∃ x_n ϵ [a,b]: A-1/n < f(x_n) ≤ A

∃ {x_nk}: lim_x→∞x_nk = x₀ ϵ [a,b]

f(x₀) = lim_k→∞f(x_nk) = A = sup_[a,b]f(x)

A – 1/n_k < f(x_nk) ≤ A

 

Теорема Больцано-Коши:

f, [a,b] – непрерывна, f(a) ⋅ f(b) < 0 (разных знаков) ==> ∃ c ϵ (a,b): f(c) = 0

Доказательство:

Пусть f((a+b)/2) ≠ 0.

[a₁,b₁], f(a₁)⋅f(b₁) < 0.

Снова разделим пополам данный промежуток.

[a₂,b₂], f(a₂)⋅f(b₂) < 0.

Снова разделим пополам промежуток. Так, продолжая этот процесс, мы либо найдём точку c, где f(c)=0, либо такую точку не найдём, тогда последовательность

[a_n,b_n], f(a_n)⋅f(b_n) < 0,

[a_n,b_n] c [a_n-1,b_n-1],

b_n-a_n = (b-a)/2ⁿ

стремится к нулю lim_n→∞ (b-a)/2ⁿ = 0.

{c} = ∩^∞_n=1 [a_n,b_n]

x_n – конец промежутка [a_n,b_n], f(x_n) > 0

y_n – другой конец [a_n,b_n], f(x_n) < 0

x_n → c, f(x_n) > 0 lim_n→∞f(x_n) = f(c) ≥ 0

==> ==> f(c) = 0.

y_n → c, f(y_n) < 0 lim_n→∞f(x_n) = f(c) ≤ 0

Вывод из теоремы: если функция принимает на концах интервала [a,b] два значения одного знака, рассмотрим функцию y = ξ: f(a) < ξ < f(b). Тогда ∃ c: f(c) = ξ.

 

Доказательство:

f(a) < f(b), f(a) < ξ < f(b) ==> ∃ c ϵ (a,b): f(c) = ξ

g(x) = f(x) – ξ, g(a) = f(a) – ξ < 0,

g(b) = f(b) – ξ > 0;

∃ c: g(c) = 0 ==> ∃ c: f(c) – ξ = 0.

 

 

<a,b> – некоторый промежуток, т.е.: (a,b), (a,b], [a,b), [a,b].

Пусть f(x) определена и непрерывна на <a,b>. Тогда образ этого промежутка f[<a,b>] – тоже промежуток (это не означает, что функция непрерывна на этом промежутке, если только она не монотонна).

 

Доказательство:

Пусть A = inf_<a,b> f(x), B = sup_<a,b> f(x). Доказать, что (A,B) c f[<a,b>].

Возьмём ξ ϵ (A,B), ∃ c ϵ <a,b>: f(c) = ξ, т.к.:

A < ξ < B ==> ∃ x₁ ϵ <a,b>: f(x₁) < ξ;

∃ x₂ ϵ <a,b>: f(x₂) > ξ;

Пусть x₁ < x₂. Тогда [x₁,x₂] c <a,b>, f(x) непрерывна на [x₁,x₂], f(x₁) < ξ, f(x₂) > ξ, ==>

==> по т. Больцано-Коши ∃ c ϵ (x₁,x₂): f(c) = ξ.

 

Теорема: f определена на <a,b> и монотонна, если область значений f является промежутком, то f – непрерывна.

Доказательство:

Предположим, это не так. Тогда функция имеет разрыв.

Пусть функция возрастет: x₁ < x₂ ==> f(x₁) ≤ f(x₂), c ϵ (a,b) – точка разрыва. Тогда ∃ f(c-0), f(c+0):

f(c–0) = sup_a<x<cf(x) ≤ f(c) x < c ==> f(x) ≤ f(c)

==> ==> f(c-0) ≤ f(c) ≤ f(c+0), т.е. функция в точке c

f(c+0) = inf_c<x<bf(x) ≥ f(c) x > c ==> f(x) ≥ f(c) непрерывна, разрыва нет, противоречие.

 

f(x) = x^h

f^-1(y) = y^1/n =

Предположим, имеется число a > 0, a^r, r ϵ ℚ. Пусть r = ,

1. a^r = (a^1/n)^m = (a^m)^1/n = a^m/n

2. a^r1⋅a^r2 = a^r1+r2

3. a^-r = 1/a^r

4. r₁ < r₂ ==> a^r1 < a^r2, a > 1

5. r₁ < r₂ ==> a^r1 > a^r2, 0 < a < 1

 

a > 1, a^r /`

^r = ∞ n = [r], a = 1 + λ, λ > 0

n → ∞, a^r = (1 + λ)² > (1 + λ)ⁿ = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ → ∞

^r = ^-r = ^p = 0, p = -r.

 

0 < a < 1:

1. a^r = 1/(1/a^r) = 1/(1/a)^r → 0

2. 1/a > 1, (1/a)^r → ∞

3. (a^r1)^r2 = a^r1⋅r2

 

a > 1:

a^1/n – 1 = – 1

 

= 1 + λ, λ > 0:

a = ( ⁿ = (1 + λ)ⁿ = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ ==> a-1 > n⋅λ ==> λ < (a-1)/n ==> – 1 < (a-1)/n

a^1/n – 1 < (a-1)/n

0 < r < 1:

1/(n+1) < r ≤ 1/n

a^r – 1 ≤ a^1/n – 1 < (a-1)/n = (n+1)/n ⋅ (a-1) ⋅ 1/(n+1), (n+1)/n = 1ⁿ+1/n ≤ 2

(a-1)/n < 2⋅(a-1)⋅r

 

-1 < r < 0:

0 < -r < 1

0 < 1 – a^r = 1 – a^r = 1 – 1/a^-r = (a^-r – 1)/a^-r < a^-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)

0 < 1 – a^r < a^-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)

|r| < 1 ==> |a^r – 1| ≤ 2⋅(a-1)⋅|r|

Неравенство Бернулли

 

a > 1, a^r/`

c ϵ ℚ

r,p ϵ ℚ, r,p < c

|r - p| < 1,

|a^r - a^p| = a^p⋅|a^r-p - 1| < a^c⋅|a^r-p - 1| ≤ a^c⋅2⋅(a-1)⋅|r-p| = M_c⋅|r-p|, M_c = a^c⋅2⋅(a-1)

 

ax, x notϵ ℚ, c > x, c ϵ ℚ. r_n ϵ ℚ, r_n → x, r_n < c

∃ lim_n→∞a^rn = a^x

Доказательство:

r_n, r_m

∃ N: |r_n - r_m| < 1 для n,m > N

|a^rn - a^rm| < M_c⋅|r_n - r_m| < M_c⋅(ℰ/M_c) = ℰ ==> критерий Коши доказан, предел существует

r_n → x, p_n → x

0 ≤ |a^rn - a^pn| < M_c⋅|r_n - p_n| → 0

|a^rn -a^x| < M_c⋅|r_n - x| ==> справедливо как для ℚ, так и для иррац.

|a^x - a^y| c > x,y, c ϵ ℚ, r_n ϵ ℚ r_n → x, r_n < c

p_n ϵ ℚ p_n → y, p_n < c

|a^rn - a^pn| < M_c⋅|r_n - p_n|

lim_x→y a^x = a^y

x < y ==> a^x < a^y

a^x = lim_n→∞ a^rn, r_n → x, r_n ϵ ℚ

a^y = lim_n→∞ a^pn, p_n → x, p_n ϵ ℚ

∃ N: n > N ==> r_n < p_n ==> a^rn < a^pn

↓ ↓

a^x ≤ a^y

x < λ < μ < y, λ,μ ϵ ℚ

r_n > λ, p_n > μ,

a^rn < a^λ < a^μ < a^pn

ax ≤ aλ < aμ

ay ≤ aλ < aμ

ax < ay

 

a^x⋅a^y = a^x+y:

r_n → x, p_n → y

a^rn⋅a^pn = a^rn+pn → a^x⋅a^y = a^x+y

 

x_n → ∞ a^xn → +∞ lim a^x = +∞

[x_n] → ∞ a^xn ≥ [a^xn] → ∞

 

lim_x→–∞ a^x= 0

(a^x)^y = a^xy:

x < 0:

0 < b < 1, b = 1/a, a > 1

b^y = (1/a)^y = 1/a^y

x,y, ϵ ℕ:

y = m

(a^x)^m = a^x⋅a^x⋅…⋅a^x = a^x⋅m

y < 0:

–m > 0

(a^x)^m = 1/a^x(–m) = 1/a^-xm = a^xm

y = 1/n:

(a^x)^1/n = ⁿ√a^x

(a^x/n)ⁿ = a^(x/n)⋅n = a^x ==> a^x/n = ⁿ√a^x = (a^x)^1/n

(ax)1/n = ax/n

y = m/n:

(a^x)^m/n = ((a^x)^1/n)^m = (a^x/n)^m = a^(x/n)⋅m = a^x⋅(m/n)

p_n → y, p_n ϵ ℚ:

(a^x)^pn = a^x⋅pn

x⋅pn → x⋅y

(a^x)^pn → (a^x)^y = a^x⋅pn → a^x⋅y

log_ax, x^α

a > 1: 0 < a < 1: a = 1:

a^x

 

a^x 1 log_ax 1 a^x

 

1 1

 

 

log_a (xy) = log_a x = log_a y:

aα = aβ ==> α = β

a^{loga (xy)} = x⋅y:

a^{loga x + loga y} = a^{loga x} ⋅ a^{loga y} = x⋅y

log_a x = log_b x/log_b a;

log₁x

 

a = e = lim (1+1/n)ⁿ

e ^x = exp(x)

log _e x = ln x

 

x^α:

α = m/n:

x^m/n = (x^1/n)^m.

 

x^α = e ^{α⋅ln x}, x > 0

x^α – непрерывная функция, т.к. e ^y – непрерывная.

 

(x⋅y)^α = x^α ⋅ y^α:

(x⋅y)^α = e ^{α⋅ln (xy)} = e ^{α⋅ln x} ⋅ e ^{α⋅ln y} = x^α ⋅ y^α

 

x^α = e ^{α⋅ln x} = a^{α⋅log a x}

 

Замечательные пределы

 

 

 

 

 

[x_n] ≤ x_n ≤ [x_n]+1

(1 + 1/([x_n]+1))^[xn] < (1 + 1/x_n)^xn ≤ (1 + 1/[x_n])^[xn]+1

(1 + 1/([x_n]+1))^[xn]+1 ⋅ (1/ ( 1+1/([x_n+1]) )) < (1 + 1/x_n)^xn < (1 + 1/[x_n])^[xn] ⋅ (1+1/[x_n])

 

e e

e

 

y = -x

(1 – 1/y)^-y = ((y-1)/y)^-y = (y/(y-1))^y = ((y-1+1)/(y-1))^y = (1 + 1/(y-1))^y =

= (1 + 1/(y-1))^y-1⋅(1+1/(y-1)) → e⋅1 = e

z = 1/x

lim_z→0 (1+z)^1/z = e

lim_x→0 (1+x)^1/x = e

 

lim_x→0 (ln(1+x))/x = lim_x→0 (1/x)⋅ln(1+x) = lim_x→0 ln(1+x)^1/x = ln (lim_x→0(1+x)^1/x)= ln e = 1

lim_x→0 (log_a(1+x))/x = lim_x→0 (ln (1+x))/(x⋅ln a) = 1/ln a

 

lim_x→0 (a^x - 1)/x = lim_y→0 y/(loga (1+y)) = ln a

lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1

 

lim_x→0 (e^{α⋅ln (1+x)} - 1)/x = lim_x→0 (e^{α⋅ln (1+x)} - 1)/α⋅ln (1+x) ⋅ (α⋅ln (1+x))/x = α

 

|sin x| ≤ x

x > 0, _B ^C

0 ≤ sinx ≤ x ^{tg x}

0 ≤ (sin x)/x ≤ 1 ^{O A}

S_OAB = S_∆OAC

x/2 ≤ ½ ⋅ 1 ⋅ tg x

x ≤ tg x

x ≤ sinx/cosx,

cosx ≤ sinx/x ≤ 1

 

1 1 1

 

 

Производные

s(t) s(t+h)

s(t), s(t+h), h – приращение.

s’(t) = v(t).

 

_α

 

 

 

 

_{a F Q b}

 

(a,b) f(x)

x₀ ϵ (a,b)

 

f(x) = x^α, x > 0

x₀ > 0

lim_h→0((x₀ + h)^α – x₀^α)/h = lim_h→0(x₀^α⋅(1 + h/x₀)^α – x₀^α)/h = α ⋅ x₀^{α -1}

 

∃ f’(x₀), g’(x₀), g(x₀) ≠ 0 ==>

∃ (f/g)’(x₀) = (f’(x₀)⋅g(x₀) – f(x₀)⋅g’(x₀))/(g’(x0))²

lim_h→0 [f(x0+h)/g(x0+h) – f(x0)/g(x0)]⋅1/h =

= lim_h→0(1/h)⋅[(f(x0+h)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0+h))/g(x0+h)⋅g(x0)] =

= lim_h→0 (1/h)⋅[(f(x0+h)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0) + f(x0)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0+h))/g(x0+h)⋅g(x0)] =

= lim_h→0 [(f(x0+h) – f(x0))/h ⋅ g(x0) – (g(x0+h) – g(x0))/h ⋅ f(x0)] ⋅ 1/(g(x0+h)⋅g(x0))

 

[Σ_k=0ⁿ a_k⋅x^k]’ = Σ_k=1ⁿ a_k⋅kx^k-1

 

(tg x)’= (sin x/cos x)’ = =

 

 

Дифференцирование

f(a) = b

 

 

_b

 

 

 

_{a h}

 

f(a+h) – (α⋅h + β) = ϕ(h) ϕ(h)/h –_h→0→0 = f(a) – β, β = f(a) ==>

f(a+h) – f(a) – α⋅h = ϕ(h) (f(a+h) – f(a) – α⋅h)/h = (f(a+h) – f(a))/h – α –_h→0→ 0 ==>

α = f’(a), т.е. существует «хорошее» линейное приближение <==> существует f’(a) и это линейное приближение имеет вид f’(a)⋅h + f(a) ≈ f(a+h).

Верно и обратное: пусть существует производная, тогда существует такое приближение.

f’(a)⋅h= α⋅h

 

ϕ(h) = f(a+h) – f’(a)⋅h – f(a) = [f(a+h) – f(a)] – f’(a)⋅h

ϕ(h)/h = (f(a+h) – f(a))/h – f’(a) –_h→0→0

 

f(x), aϵD,

∃ δ > 0: |x-a| < δ,

x ϵ D ==> f(x) < f(a)

 

Теорема Ферма

(a,b) f(x)

c ϵ (a,b) – лок. экстремум.

Если в точке с существует производная, то эта производная должна равняться нулю:

∃ f’(c) ==> f’(c) = 0.

Доказательство:

f’(c) = lim_x→c (f(x)-f(c))/(x-c)

Пусть с – локальный максимум, тогда

справа: f(x) ≤ f(c), x>c,

lim_x→c+0 (f(x)-f(c))/(x-c) ≤ 0

слева: f(x) ≤ f(c), x<c, ==> f’(c) = 0.

lim_x→c–0 (f(x)-f(c))/(x-c) ≥ 0

∃ f’(c)

 

Пусть f(x) определена на [a,b] и

1. f(x) – непрерывна;

2. ∃ f’(x) на (a,b); ==> ∃ ξ ϵ (a,b): f’(ξ) = 0

3. f(a) = f(b);

 

f(x) непрерывна на (a,b), с ϵ (a,b),

∀ x ≠ c ∃ f’(x)

(a,c) f’(x) ≥ 0 c – точка max

(c,b) f’(x) ≤ 0

∀ x ≠ c ∃ f’(x)

(a,c) f’(x) ≤ 0 c – точка min

(c,b) f’(x) ≥ 0

 

f’’(x) = (f’)’(x)

f^(n+m)(x) = [f⁽ⁿ⁾]^(m)(x)

[α⋅f(x) + β⋅g(x)]⁽ⁿ⁾ = α⋅f⁽ⁿ⁾(x) + β⋅g⁽ⁿ⁾(x)

 

Теорема:

Предположим, что f(x), g(x) определена на (a,b), ∃ f⁽ⁿ⁾(x), g⁽ⁿ⁾(x). Тогда

(f⋅g)⁽ⁿ⁾(x) = Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k)(x).

Доказательство:

Докажем по индукции:

(f⋅g)’(x) = f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

(f⋅g)⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = d/dx (f⋅g)⁽ⁿ⁾(x) = [(f⋅g)⁽ⁿ⁾]’(x) = [Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k)(x)]’ =

= Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ [f^(k+1)(x) ⋅ g^(n-k)(x) + f^(k)(x)⋅g^(n-k+1)(x)] =

= Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k+1)(x) ⋅ g^(n-k)(x) + Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k+1)(x)

m = k+1:

Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k+1)(x) ⋅ g^(n-k)(x) = Σ_m=1ⁿ⁺¹ c_n^m-1 ⋅ f^(m)(x) ⋅ g^(n+1–m)(x)

k = m:

Σ_m=1ⁿ⁺¹ c_n^m-1 ⋅ f^(m)(x) ⋅ g^(n+1–m)(x) + Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k+1)(x) =

= Σ_k=1ⁿ⁺¹ c_n^k-1 ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n+1–k)(x) + Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k+1)(x) =

= f(x)⋅g(n+1)(x) + f(n+1)(x)⋅g(0)(x) + Σ_k=ⁿ [c_n^k + c_n^k-1]⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k+1)(x) =

= Σ_k=0ⁿ c_n^k ⋅ f^(k)(x) ⋅ g^(n-k)(x).

 

f(x), g(x) g(x) ≠ 0 (x ≠ a)

f(x)/g(x) –_x→a→0 ~ f(x) = o(g(x)) – функция f(x) при x→a стремится к нулю быстрее, чем g(x)

Свойства:

f1(x) = o(g(x))

f2(x) = o(g(x))

1. [f1(x) + f2(x)]/g(x) = f1(x)/g(x) + f2(x)/g(x) → 0

2. f1(x) + f2(x) = o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x))

3. f(x)⋅h(x) = o(g(x)), |h(x)| ≤ M

 

|f(x)|/|g(x)| ≤ const ~ f(x) = O(g(x)) – порядок малости одинаков у функций f(x) и g(x)

 

f(x) (a-δ; a+δ), δ>0

∃ f⁽ⁿ⁾(a).

Формула Тейлора

f(x) = Σ_k=0ⁿ (f^(k)(a))/k! (x-a)^k = r_n(x)

r_n(x) = o((x-a)ⁿ), lim_x→a r_n(x)/(x-a)ⁿ = 0

Доказательство:

P_n(x) = Σ_k=0ⁿ (f^(k)(a))/k! ⋅ (x-a)^k

P_n(a) = k!⋅(f^(k)(a))/k! = f^(k)(a)

r_n^(k)(a) = 0, k ≤ n ==> r_n(x) = o((x-a)ⁿ):

n=1. r₁(x) = f(x) – f(a) – f’(a)⋅(x-a) ==> r₁’(a) = 0 => r₁(x) = o(x-a)

r₁(x)/(x-a) = (f(x)–f(a))/(x-a) – f’(a) –_x→a→ 0

n=n-1. r_n’(x) = ϕ(x), ϕ^(k)(x) = r_n^(k+1)(x), x=a => r_n^(k+1)(x) = 0, k+1 ≤ n, k ≤ n-1

ϕ(x)/(x-a)^n-1 –_x→a→ 0

r_n(x)/(x-a)n = (r_n(x) – r_n(a))/(x-a)ⁿ = r_n’(ξ)⋅(x-a)/(x-a)ⁿ = rn’(ξ)/(x-a)^n-1 =

= ϕ(ξ)/(ξ-a)^n-1 ⋅ (ξ-a)^n-1/(x-a)^n-1, ξ ϵ (a,x), ϕ(ξ)/(ξ-a)^n-1 →0, |(ξ-a)^n-1/(x-a)^n-1| < 1 ==>

==> ϕ(ξ)/(ξ-a)^n-1 ⋅ (ξ-a)^n-1/(x-a)^n-1 –_x→a→ 0 ⋅ 1/ℰ = 0.

 

Разложение по форме Тейлора с остатком в виде Пеано

f’(a) = f’’(a) = … = f^(k-1)(a) = 0

f^(k)(a) ≠ 0, k ≤ n

f(x) = f(a) + 0⋅(x-a) + 0⋅(x-a)² + … + 0⋅(x-a)^k-1 = f^(k)(a)/k! ⋅ (x-a)^k + o((x-a)^k).

f(x) – f(a) = (x-a)^k ⋅[f^(k)(a)/k! + o((x-a)^k)/(x-a)^k]

k – нечётное ==> нет экстремума

sgn = sgn f^(k)(a) k – чётное ==> есть экстремум

f^(k)(a) > 0 ==> f(x) – f(a) ≥ 0 – min

f^(k)(a) < 0 ==> f(x) – f(a) ≤ 0 – max

 

f(x)/g(x) = [f⁽ⁿ⁾(a)/n! ⋅ (x-a)ⁿ + o((x-a)ⁿ)] / [g^(m)(a)/m! ⋅ (x-a)^m + o((x-a)^m)] =

= [f⁽ⁿ⁾(a)/n! ⋅ (x-a)^n–m + o((x-a)ⁿ)/(x-a)^m] / [g^(m)(a)/m! + o((x-a)^m)/(x-a)^m]

n=m. f(x)/g(x) = [f⁽ⁿ⁾(a)/n! + o((x-a)ⁿ)/(x-a)ⁿ] / [g^(m)(a)/m! + o((x-a)^m)/(x-a)^m]

 

Вычисление с погрешностью

r_n(x) = (x-a)^p⋅H(x,a,p)

f(x) = Σ_k=0ⁿ (f^(k)(a))/k! (x-a)^k + (x-a)^p⋅H(x,a,p)

ϕ(t) = Σ_k=0ⁿ (f^(k)(t))/k! (x-t)^k + (x-t)^p⋅H(x,a,p), t ϵ (a–δ, a+δ),

∃ ϕ’(t)

ϕ(a) = f(x) t

ϕ(x) = f(x) |––––––––––––|

∃ ξ ϵ (a,x): ϕ’(ξ) = 0 a x

ϕ’(t) = Σ_k=0ⁿ (f^(k+1)(t))/k! (x-t)^k + (-1)⋅k⋅(x-t)^k-1⋅ f^(k)(t))/k! + (-1)⋅p⋅(x-t)^p-1⋅H(x,a,p) =

= f’(t) + f’’(t)⋅(x-t) – f’(t) + f’’’(t)/2! (x-t)² – f’’(t)/2! ⋅2⋅(x-t) + …

… + f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/n! (x-t)ⁿ – f⁽ⁿ⁾(t)/n! ⋅n⋅(x-t)^n-1 – p⋅(x-t)^p-1 ⋅H(x,a,p) =

= f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/n! (x-t)ⁿ – p⋅(x-t)^p-1⋅H(x,a,p)

ξ = a + θ⋅(x–a), 0 < θ < 1

f⁽ⁿ⁺¹⁾(a + θ⋅(x–a))/n! (x–a–θ⋅(x–a))ⁿ = p⋅(x–a–θ⋅(x–a))^p-1⋅H(x,a,p)

f⁽ⁿ⁺¹⁾((x–a)(1–θ))/n! ((x–a)(1–θ))ⁿ = p⋅((x–a)(1–θ))^p-1⋅H(x,a,p)

H = [f⁽ⁿ⁺¹⁾((x–a)(1–θ)) / (n!⋅p)] ⋅ ((x–a)(1–θ))^n+1–p

(x-a)^p⋅H = [f⁽ⁿ⁺¹⁾((x–a)(1–θ)) / (n!⋅p)] ⋅(1–θ)^n+1–p (x-a)ⁿ⁺¹ < погрешности, зависящей от n.

остаток формулы Тейлора в форме Лагранжа: f⁽ⁿ⁺¹⁾(a + θ⋅(x–a))/(n+1)! ⋅(x-a)ⁿ⁺¹

остаток формулы Тейлора в форме Коши: f⁽ⁿ⁺¹⁾(a + θ⋅(x–a))/n! ⋅(1–θ)ⁿ⋅(x-a)ⁿ

 

= (1+29)^1/3= = 3 = 3⋅(1+1/9)^1/3 = 3⋅[1 + 1/3⋅x – 1/3⋅2/3⋅1/2⋅1⋅x² + 1/3⋅2/3⋅5/3⋅1/(1+θx)^8/3⋅1/3!⋅x³] = 3⋅[ 1 + 1/27 – 1/729 + 5/9⁵⋅1/(1+θx)^8/3] =