Определение предела последовательности

Грани

 

Верхних/нижних граней может быть бесконечно много, и среди них есть только одна точная верхняя/нижняя грань.

 

Теорема о существовании точной грани: всякое непустое, ограниченное сверху/снизу множество вещественных чисел имеет точную верхнюю/нижнюю грань.

 

«Весь анализ стоит на грани».

 

Доказать существование точной верхней (нижней) грани.

 

 

Арифметические действия с вещественными числами

Лемма о единственности:

Пусть даны два вещественных числа a и b. Если для любого рационального числа e>0 числа a и b могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s и s': s ≤ a ≤ s', s ≤ b ≤ s', разность между которыми s' – s можно сделать меньше e, то числа a и b необходимо равны (a = b).

 

Доказательство:

Предположим, a < b. Тогда между этими двумя числами можно вставить два рациональных числа a < r < r₁ < b, то s < r < r₁ < s' => s – s' > r₁ – r > 0, то есть мы не можем сделать разность s' – s сколь угодно малой, что противоречит условию.

 

Определение:

Пусть даны два вещественных числа α,β. Их суммой α + β = γ назовём такое вещественное число, что a + b < γ < a' + b', такие, что a < α < a', b < β < b', причём a' – a = e, b' – b = e.

 

Произведение вещественных чисел

a < α < a', b < β < b', существует такое вещественное число γ=αβ, что ab < γ < a'b'.

1. γ = sup{ab}, ab < a'b'. α < a₀', β < b₀', a'<a₀', b' < b₀',

2. a'b' – ab = a'(b'–b) + b(a'–a) <= (a₀'+b₀')((b'–b) + (a'–a)).

 

 

Определение предела последовательности

Определение предела последовательности на языке неравенств.

Число а называется пределом последовательности x_n, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x_n – a| < ℰ.

Число а называется пределом последовательности x_n, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 все числа (точки) x_n принадлежат интервалу (a–ℰ, a+ℰ) при n > N.

a – ℰ < x_n < a + ℰ

a = lim x_n x_n → a

 

Последовательность имеет предел, если она сходящаяся.

Любой интервал (c,d), содержащий а, называется окрестностью точки а.

 

ААпределЕЕЕние на языке окрестностей

Точка а называется пределом последовательности x_n, ЙЭЭсли вне любой окрестности точки а содержится конечное или пустое множество точек последовательности.

 

Последовательность сохраняет знак с некоторого N.

 

Определение

Говорят, что x_n → ∞, n → ∞, если для любого Е > 0 ∃ N: x_n > E ∀ n > N.

Любой интервал (M, ∞) является окрестностью бесконечности.

 

Пусть последовательность имеет два предела a, b, a < b, т. е. а = lim x_n, b = lim x_n. Возьмём ℰ = (b–a)/4. Тогда в окрестностях (a–ℰ, a+ℰ), (b–ℰ, b+ℰ) конечное количество точек; a+ℰ > b–ℰ если они не пересекаются; a+ℰ < b–ℰ если они пересекаются.

 

∀ ℰ > 0 ∃ N: |x_n – a| < ℰ ∀ n > N

 

|x_n| > |a|/2.

ℰ = |a|/2 ≠ 0 |a| – |x_n| ≤ |x_n – a| < |a|/2

 

Теорема (переход к пределам в неравенствах)

Если x_n→ a, y_n→ b и ∀ n x_n ≤ y_n, то a ≤ b.

 

Арифметические свойства последовательностей:

lim x_n/y_n = lim x_n / lim y_n, lim y_n ≠ 0

lim x_n = a, lim y_n = b: b ≠ 0

x_n/y_n – a/b = (x_n – a)/y_n – a(y_n – b)/y_nb

∃ N₁: |y_n| > |b|/2 (∀ n > N₁)

|x_n/y_n – a/b| < (2|x_n–a|) / |b| + |y_n–b| (2|a|) / b² (∀ n > N₂)

∀ ℰ>0 ∃ N₂: |x_n–a|<ℰ (∀ n > N₂)

N = max(N₁,N₂,N₃)

|x_n/y_n – a/b| < ℰ₁ (∀ n > N) => ℰ₁ = 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b²

|x_n/y_n – a/b| < 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b² (∀ n > N), правая часть может быть сколь угодно малой, но больше нуля.

 

Определение:

Переменная величина x_n называется бесконечно малой, ЙЭЭСЛИ при _n→∞lim x_n = 0, т. е.

∀ ℰ>0 ∃ N: |x_n|<ℰ ∀ n > N.

Переменная величина y_n называется бесконечно большой, если при _n→∞lim y_n = ∞, т. е.

∀ E>0 ∃ N: |y_n|>E ∀ n > N.

 

(1) |x_n| ≤ M ∀ n, y_n → ∞ => lim x_n/y_n = 0

(2) |x_n| ≥ m>0 ∀ n, y_n → 0, y_n ≠ 0 => lim x_n/y_n = ∞

(3) Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин x_n, y_n является бесконечно малой величиной x_n+ y_n.

(4) Произведение ограниченной переменной x_n на бесконечно малую величину y_n есть бесконечно малая величина x_ny_n.

 

Последовательность x₁,x₂,...,x_n называется монотонно убывающей (невозрастающей), если x_n+1 ≥ x_n.

Последовательность x₁,x₂,...,x_n называется монотонно возрастающей (неубывающей), если x_n+1 ≤ x_n.

Теорема (о существовани предела у монотонной последовательности):

Пусть дана неубывающая (монотонно возрастающая) последовательность. Если она ограничена сверху, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе x_n → +∞.

Пусть дана невозрастающая (монотонно убывающая) последовательность. Если она ограничена снизу, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе x_n → –∞.

 

a = sup{x_n}:

1) a ≥ x_n ∀ n

2) ∀ ℰ>0 ∃ N: x_n>a–ℰ

 

Любое иррациональное число есть предел последовательности рациональных чисел.

r_n → α, α>0

r_n = α₀,α₁α₂...α_n

 

Число e

y_n+m – y_n = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + … + 1/(n+m)! = 1/(n+m)! ⋅ (1 + 1/(n+2) + 1/(n+2)(n+3) + … + 1/(n+2)..(n+m)) < 1/(n+1)! ⋅ (n+2)/(n+1)

(n+2)/(n+1)² < 1/n

lim_m y_n+m = e => 0 < e – y_m < 1/(n!⋅n)

 

z = (e – y_n)(n!⋅n)

0 < z < 1

z < z_n

 

e = y_m + z/(n!⋅n)

 

n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅5) = 1/600

0 < e – y₅ < 1/600;

n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅6) = 1/4320

0 < e – y₆ < 1/4320.

 

Критерий Коши:

Для того, чтобы последовательность x₁,x₂,...,x_n имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ℰ > 0 сущeствовал такой номер N, что |x_n – x_m| < ℰ для всех n,m > N.

∀ ℰ > 0 ∃ N: |x_n – x_m| < ℰ ∀ n,m > N

1) x_n → a

|x_n – a| < ℰ/2 n>N

|x_n – x_m| = |x_n – a – (x_m– a)| <= |x_n– a| + |x_m– a| < ℰ/2 + ℰ/2 = ℰ n,m>N

 

Пусть выполнен критерий Коши. Тогда

A = {α ϵ R | ∃ N: x_n > α ∀ n>N}

A' = {α' ϵ R | ∃ N: x_n < α' ∀ n>N}

A U A' = O

 

α э A, beta < α => beta э A

x_m – ℰ < x_n < x_m + ℰ

x_m – ℰ ϵ A

x_m + ℰ ϵ A'

α < α'

 

Пусть a = sup {α} = sup A

α ≤ a ≤ α

x_m – ℰ ≤ a ≤ x_m + ℰ

|x_m – a| ≤ ℰ ∀ m>N ==> lim x_m = a

 

 

Лемма о вложенных отрезках:

a_n = a₁,a₂,a₃,...,a_n

b_n = b₁,b₂,b₃,...,b_n

a_n < b_n ∀ n

a_n+1 ≥ a_n ∀ n

b_n+1 ≤ b_n ∀ n ==> b_n – a_n → 0 (n → ∞)

a_n ≤ b_n ≤ b₁ ==> lim a_n = c

b_n ≥ a_n ≥ a₁ ==> lim b_n = c'

 

0 = lim(b_n – a_n) = lim b_n – lim a_n = c' – c ==> c' = c

 

Пусть имеется бесконечная последователность вложенных друг в друга отрезков так, что каждый последующий отрезок соержится в предыдущем, причём с возрастанием номера длины отрезков стремятся к нулю. Тогда концы отрезков a_n и b_n стремятся к общему пределу, который является точкой, общей для всех пределов.