Грани
Верхних/нижних граней может быть бесконечно много, и среди них есть только одна точная верхняя/нижняя грань.
Теорема о существовании точной грани: всякое непустое, ограниченное сверху/снизу множество вещественных чисел имеет точную верхнюю/нижнюю грань.
«Весь анализ стоит на грани».
Доказать существование точной верхней (нижней) грани.
Арифметические действия с вещественными числами
Лемма о единственности:
Пусть даны два вещественных числа a и b. Если для любого рационального числа e>0 числа a и b могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s и s': s ≤ a ≤ s', s ≤ b ≤ s', разность между которыми s' – s можно сделать меньше e, то числа a и b необходимо равны (a = b).
Доказательство:
Предположим, a < b. Тогда между этими двумя числами можно вставить два рациональных числа a < r < r1 < b, то s < r < r1 < s' => s – s' > r1 – r > 0, то есть мы не можем сделать разность s' – s сколь угодно малой, что противоречит условию.
Определение:
Пусть даны два вещественных числа α,β. Их суммой α + β = γ назовём такое вещественное число, что a + b < γ < a' + b', такие, что a < α < a', b < β < b', причём a' – a = e, b' – b = e.
Произведение вещественных чисел
a < α < a', b < β < b', существует такое вещественное число γ=αβ, что ab < γ < a'b'.
1. γ = sup{ab}, ab < a'b'. α < a0', β < b0', a'<a0', b' < b0',
2. a'b' – ab = a'(b'–b) + b(a'–a) <= (a0'+b0')((b'–b) + (a'–a)).
Определение предела последовательности
Определение предела последовательности на языке неравенств.
Число а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn – a| < ℰ.
Число а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 все числа (точки) xn принадлежат интервалу (a–ℰ, a+ℰ) при n > N.
a – ℰ < xn < a + ℰ
a = lim xn xn → a
Последовательность имеет предел, если она сходящаяся.
Любой интервал (c,d), содержащий а, называется окрестностью точки а.
ААпределЕЕЕние на языке окрестностей
Точка а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли вне любой окрестности точки а содержится конечное или пустое множество точек последовательности.
Последовательность сохраняет знак с некоторого N.
Определение
Говорят, что xn → ∞, n → ∞, если для любого Е > 0 ∃ N: xn > E ∀ n > N.
Любой интервал (M, ∞) является окрестностью бесконечности.
Пусть последовательность имеет два предела a, b, a < b, т. е. а = lim xn, b = lim xn. Возьмём ℰ = (b–a)/4. Тогда в окрестностях (a–ℰ, a+ℰ), (b–ℰ, b+ℰ) конечное количество точек; a+ℰ > b–ℰ если они не пересекаются; a+ℰ < b–ℰ если они пересекаются.
∀ ℰ > 0 ∃ N: |xn – a| < ℰ ∀ n > N
|xn| > |a|/2.
ℰ = |a|/2 ≠ 0 |a| – |xn| ≤ |xn – a| < |a|/2
Теорема (переход к пределам в неравенствах)
Если xn→ a, yn→ b и ∀ n xn ≤ yn, то a ≤ b.
Арифметические свойства последовательностей:
lim xn/yn = lim xn / lim yn, lim yn ≠ 0
lim xn = a, lim yn = b: b ≠ 0
xn/yn – a/b = (xn – a)/yn – a(yn – b)/ynb
∃ N1: |yn| > |b|/2 (∀ n > N1)
|xn/yn – a/b| < (2|xn–a|) / |b| + |yn–b| (2|a|) / b2 (∀ n > N2)
∀ ℰ>0 ∃ N2: |xn–a|<ℰ (∀ n > N2)
N = max(N1,N2,N3)
|xn/yn – a/b| < ℰ1 (∀ n > N) => ℰ1 = 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b2
|xn/yn – a/b| < 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b2 (∀ n > N), правая часть может быть сколь угодно малой, но больше нуля.
Определение:
Переменная величина xn называется бесконечно малой, ЙЭЭСЛИ при n→∞lim xn = 0, т. е.
∀ ℰ>0 ∃ N: |xn|<ℰ ∀ n > N.
Переменная величина yn называется бесконечно большой, если при n→∞lim yn = ∞, т. е.
∀ E>0 ∃ N: |yn|>E ∀ n > N.
(1) |xn| ≤ M ∀ n, yn → ∞ => lim xn/yn = 0
(2) |xn| ≥ m>0 ∀ n, yn → 0, yn ≠ 0 => lim xn/yn = ∞
(3) Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин xn, yn является бесконечно малой величиной xn+ yn.
(4) Произведение ограниченной переменной xn на бесконечно малую величину yn есть бесконечно малая величина xnyn.
Последовательность x1,x2,...,xn называется монотонно убывающей (невозрастающей), если xn+1 ≥ xn.
Последовательность x1,x2,...,xn называется монотонно возрастающей (неубывающей), если xn+1 ≤ xn.
Теорема (о существовани предела у монотонной последовательности):
Пусть дана неубывающая (монотонно возрастающая) последовательность. Если она ограничена сверху, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе xn → +∞.
Пусть дана невозрастающая (монотонно убывающая) последовательность. Если она ограничена снизу, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе xn → –∞.
a = sup{xn}:
1) a ≥ xn ∀ n
2) ∀ ℰ>0 ∃ N: xn>a–ℰ
Любое иррациональное число есть предел последовательности рациональных чисел.
rn → α, α>0
rn = α0,α1α2...αn
Число e
yn+m – yn = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + … + 1/(n+m)! = 1/(n+m)! ⋅ (1 + 1/(n+2) + 1/(n+2)(n+3) + … + 1/(n+2)..(n+m)) < 1/(n+1)! ⋅ (n+2)/(n+1)
(n+2)/(n+1)2 < 1/n
limm yn+m = e => 0 < e – ym < 1/(n!⋅n)
z = (e – yn)(n!⋅n)
0 < z < 1
z < zn
e = ym + z/(n!⋅n)
n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅5) = 1/600
0 < e – y5 < 1/600;
n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅6) = 1/4320
0 < e – y6 < 1/4320.
Критерий Коши:
Для того, чтобы последовательность x1,x2,...,xn имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ℰ > 0 сущeствовал такой номер N, что |xn – xm| < ℰ для всех n,m > N.
∀ ℰ > 0 ∃ N: |xn – xm| < ℰ ∀ n,m > N
1) xn → a
|xn – a| < ℰ/2 n>N
|xn – xm| = |xn – a – (xm– a)| <= |xn– a| + |xm– a| < ℰ/2 + ℰ/2 = ℰ n,m>N
Пусть выполнен критерий Коши. Тогда
A = {α ϵ R | ∃ N: xn > α ∀ n>N}
A' = {α' ϵ R | ∃ N: xn < α' ∀ n>N}
A U A' = O
α э A, beta < α => beta э A
xm – ℰ < xn < xm + ℰ
xm – ℰ ϵ A
xm + ℰ ϵ A'
α < α'
Пусть a = sup {α} = sup A
α ≤ a ≤ α
xm – ℰ ≤ a ≤ xm + ℰ
|xm – a| ≤ ℰ ∀ m>N ==> lim xm = a
Лемма о вложенных отрезках:
an = a1,a2,a3,...,an
bn = b1,b2,b3,...,bn
an < bn ∀ n
an+1 ≥ an ∀ n
bn+1 ≤ bn ∀ n ==> bn – an → 0 (n → ∞)
an ≤ bn ≤ b1 ==> lim an = c
bn ≥ an ≥ a1 ==> lim bn = c'
0 = lim(bn – an) = lim bn – lim an = c' – c ==> c' = c
Пусть имеется бесконечная последователность вложенных друг в друга отрезков так, что каждый последующий отрезок соержится в предыдущем, причём с возрастанием номера длины отрезков стремятся к нулю. Тогда концы отрезков an и bn стремятся к общему пределу, который является точкой, общей для всех пределов.
