Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием при­ложенных к ней сил из положения M ₀, где она имеет скорость , в положение М ₁, где ее скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точ­ки М, направленную в сторону движения, получим:

Стоящую слева величину касательного ускорения можно пред­ставить в виде

В результате будем иметь:

Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - эле­ментарная работа силы F_k получим выражение теоремы об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме:

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M ₀ и M ₁, найдем окончательно:

Уравнение выражает теорему об изменении кине­тической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

 

Пример 7. По графику зависимости скорости от времени v (t) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.13). Учесть, что АО = ОВ.

Рис.13

 

Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.

Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением Поскольку скорости частицы в моменты времени t=0 и t=τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю.

 

Пример 8. Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.14). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б”?

Рис.14

 

Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу.

Работа переменной силы определяется соотношением Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального.

 

Пример 9. Два диска с равными массами, на разных размеров (R _A = 2 R _B) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ.

Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A=∆W_k. Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой

Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен получим искомое отношение произведенных работ: