Перейдем теперь к удару упругих тел

Ударный процесс таких тел происходит гораздо сложнее. Под действием ударной силы деформация их сначала увеличивается, увеличивается до тех пор пока скорости тел не уравняются. А затем, за счет упругости материала, начнется восстановление формы. Скорости тел начнут изменяться, изменяться до тех пор пока тела не отделятся друг от друга.

Разделим процесс удара на две стадии: от начала удара до того момента, когда скорости их уравняются и будут равными u; и от этого момента до конца удара, когда тела разойдутся со скоростями и .

Для каждой стадии получим по два уравнения:

где S ₁ и S ₂ – величины импульсов взаимных реакций тел для первой и второй стадий.

Уравнения (6) аналогичны уравнениям (2). Решая их, получим

В уравнениях (7) три неизвестные величины (). Не хватает одного уравнения, которое опять должно характеризовать физические свойства этих тел.

Положим отношение импульсов S₂/S₁=k. Это и будет дополнительное третье уравнение.

Опыт показывает, что величину k можно считать зависящей только от упругих свойств этих тел. (Правда, более точные эксперименты показывают, что есть некоторые зависимости и от их формы). Определяется этот коэффициент экспериментально для каждых конкретных тел. Называется он коэффициентом восстановления скорости. Величина его . У пластичных тел k = 0, у абсолютно упругих тел k = 1.

Решая, теперь, уравнения (7) и (6), получим скорости тел после окончания удара.

(8)

Скорости имеют положительный знак, если они совпадают с положительным направлением оси, выбранной нами, и отрицательный – в противном случае.

Проанализируем полученные выражения для двух шаров различных масс.

1) m₁=m₂ ⇒

Шары равной массы «обмениваются» скоростями.

2) m₁>m₂, v₂=0,

u₁<v₁, следовательно, первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью;

u₂>u₁, следовательно, скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара.

3) m₁<m₂, v₂=0,

u₁<0, следовательно, направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно.

u₂<v₁, следовательно, второй шар в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью.

4) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стенкой)

u₁=-v₁, , следовательно, получившее удар большое тело останется в покое, а ударившее малое тело отскочит с первоначальной скоростью в противоположную сторону.

Можно найти, как и при ударе пластичных тел, потерю кинетической энергии при ударе упругих тел. Она получится такой

Заметим, что при ударе абсолютно упругих тел (k = 1) кинетическая энергия не изменяется, не «теряется» ( T₁=T₂).

Пример 1. Металлический шарик падает с высоты h ₁ на горизонтальную массивную плиту. После удара он подскакивает на высоту h ₂ (рис.3).

Рис.3

 

В начале удара о плиту проекция скорости шарика на ось х а скорость неподвижной плиты . Считая, что масса плиты , много больше массы шарика, можно положить u = 0 и u ₂ = 0. Тогда по (8) . (Теперь, кстати, понятно почему коэффициент k называется коэффициентом восстановления скорости.)

Итак, скорость шарика в конце удара и направлена вверх (u ₁ > 0). Шарик подскакивает на высоту h ₂, связанную со скоростью формулой Значит, =k и По последней формуле, кстати, и определяется коэффициент восстановления k для материалов, из которых сделаны шарик и плита.

 

Пример 2. Шар массой m₁=2 кг движется со скоростью v₁=3 м/с и нагоняет шар массой m₂=8 кг, движущийся со скоростью v₂=1 м/с (рис.4). Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти скорости u₁ и u₂ шаров после удара.

Рис.4

 

Решение. В случае абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и энергии:

Отсюда следует, что

Умножив это выражение на m₂ и вычтя результат из а затем, умножив это выражение на m₁ и сложив результат с получим скорости шаров после абсолютно упругого удара

Спроецировав скорости на ось х и подставив данные задачи, получим

Знак «минус» в первом выражении означает, что в результате абсолютно упругого удара первый шар начал двигаться в обратном направлении. Второй шар продолжил движение в прежнем направлении с большей скоростью.

 

Пример 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем (рис.5). Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l= 1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол α=10°.

Рис.5

 

Решение. Для решения задачи необходимо использовать законы сохранения. Запишем закон сохранения импульса для системы «шар-пуля», полагая, что их взаимодействие подпадает под описание так называемого неупругого удара, т.е. взаимодействия, в результате которого два тела движутся как единое целое:

Учтем, что шар покоился и движение пули, а затем шара с пулей внутри происходило в одну сторону, получим уравнение в проекциях на горизонтальную ось в виде: mv=(m+M)u.

Запишем закон сохранения энергии

Поскольку h=l=lcos𝛼=l(1-cos𝛼), то , и, тогда

Учитывая, что M=1000m, получим

 

Пример 4. Шар массой m, двигаясь со скоростью v, упруго ударяется о стенку под углом α. Определить импульс силы F∆t, полученный стенкой.

Рис.6

 

Решение. Изменение импульса шара численно равно импульсу силы, который получит стенка

Из рис.6 F∆t=2mv∙sinα.

Пример 5. Пуля (рис.7) веса Р ₁, летящая горизонтально со скоростью u, попадает в закрепленный на неподвижной тележке ящик с песком веса Р ₂. С какой скоростью будет двигаться тележка после удара, если трением колес о Землю можно пренебречь?

Рис.7

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку с песком как одну систему (рис. 7). На нее действуют внешние силы: вес пули Р ₁, вес тележки Р ₂, а также силы реакции колес. Поскольку трение отсутствует, то эти последние направлены вертикально вверх и их можно заменить равнодействующей N. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в интегральной форме. В проекции на ось Ox (см. рис. 77) тогда имеем

где – количество движения системы до удара, а – после удара. Поскольку все внешние силы вертикальны, то правая часть этого уравнения равна нулю и поэтому .

Так как до удара тележка покоилась, то . После удара система движется как единое целое с искомой скоростью v и, следовательно, Q _{2 x} =(P ₁+ P ₂)v/ g. Приравнивая эти выражения, находим искомую скорость: v= P ₁ u /(P ₁+ P ₂).

 

Пример 6. Тело массой m₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m₂ = 2,5 кг. Кинетическая энергия системы двух тел непосредственно после удара стала W _к = 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию W _к1 первого тела до удара.

Решение.

1) Используем закон сохранения импульса:

где v₁ - скорость первого тела до удара; v₂ - скорость второго тела до удара; v - скорость движения тел после удара.

v₂=0 т.к. по условию второе тело до удара неподвижно

2)

Т.к. удар неупругий, то скорости двух тел после удара равны, таким образом, выразив v через ω_k, получим:

3) Отсюда имеем:

4) Подставив данное значение, найдем кинетическую энергию первого тела до удара:

Ответ: Кинетическая энергия первого тела до удара ω_k1=7,5 Дж.

 

Пример 7. В конец стержня, имеющего горизонтальную ось вращения, попадает пуля массой m и застревает в нем (рис.7.1). Сохраняются ли в системе «стержень - пуля» при ударе: а) импульс; б) момент импульса относительно оси вращения стержня; в) кинетическая энергия?

Рис.7.1

 

Решение. На указанную систему тел действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси. Если бы ось могла перемещаться, то она после удара передвинулась бы вправо. Вследствие жесткого крепления, например, к потолку здания, импульс силы, полученный осью при взаимодействии, воспринимает вся Земля в целом. Поэтому импульс системы тел не сохраняется.

Моменты указанных внешних сил относительно оси вращения равны нулю. Следовательно, закон сохранения момента импульса выполняется.

При ударе пуля застревает вследствие действия внутренней силы трения, поэтому часть механической энергии переходит во внутреннюю (тела нагреваются). А поскольку в данном случае потенциальная энергия системы не изменяется, то уменьшение полной энергии происходит за счет кинетической.

 

Пример 8. На нити подвешен груз. Пуля, летящая горизонтально, попадает в груз (рис.7.2). При этом возможны три случая.

1) Пуля, пробив груз и сохранив часть скорости, летит дальше.

2) Пуля застревает в грузе.

3) Пуля после удара отскакивает от груза.

В каком из этих случаев груз отклонится на наибольший угол α?

Рис.7.2

 

Решение. При ударе материальных точек выполняется закон сохранения импульса. Обозначим скорость пули до удара через v, массы пули и груза через m ₁ и m ₂ соответственно, скорости пули и груза после удара - u ₁ и u ₂. Совместим координатную ось х с вектором скорости пули.

В первом случае закон сохранения импульса в проекции на ось х имеет вид:

причем, u₂>u₁.

Во втором случае закон сохранения импульса имеет тот же вид, но скорости тел после удара совпадают u₂=u₁=u:

В третьем случае закон сохранения импульса принимает следующий вид:

Из выражений (1) - (3) выразим импульс груза после удара:

Видно, что в третьем случае импульс груза наибольший, следовательно и угол отклонения принимает максимальное значение.

 

Пример 9. Материальная точка массы m упруго ударяется о стенку (рис.7.3). Изменяется ли при ударе момент импульса точки:

1) относительно точки А;

2) относительно точки В?

Рис.7.3

 

Решение. Эту задачу можно решить двумя способами:

1) используя определение момента импульса материальной точки,

2) на основе закона изменения момента импульса.

Первый способ.

По определению момента импульса имеем:

где r - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки, p=mv - ее импульс.

Модуль момента импульса рассчитывается по формуле:

где α - угол между векторами r и р.

При абсолютно упругом ударе о неподвижную стенку модуль скорости материальной точки и, следовательно, модуль импульса не изменяются p_I=p_II=p, кроме того, угол отражения равен углу падения.

Модуль момента импульса относительно точки А (рис.7.4) равен до удара

после удара

Направления векторов L_I и L_II можно определить по правилу векторного произведения; оба вектора направлены перпендикулярно плоскости рисунка “к нам”.

Следовательно, при ударе момент импульса относительно точки А не изменяется ни по величине, ни по направлению.

Рис.7.4

 

Модуль момента импульса относительно точки В (рис.7.5) равен как до, так и после удара

Рис.7.5

 

Ориентации векторов L_I и L_II в данном случае будут различны: вектор L_I по-прежнему направлен “к нам”, а вектор

L_II - “от нас”. Следовательно, момент импульса относительно точки В претерпевает изменение.

Второй способ.

Согласно закону изменения момента импульса имеем:

где M=[r,F] - момент силы взаимодействия материальной точки со стенкой, его модуль равен M=Frsinα. Во время удара на материальную точку действует упругая сила, возникающая при деформации стенки и направленная по нормали к ее поверхности (сила нормального давления N). Силой тяжести в данном случае можно пренебречь, за время удара она практически не оказывает влияния на характеристики движения.

Рассмотрим точку А. Из рис.7.6 видно, что угол между вектором силы N и радиус-вектором, проведенным от точки А к взаимодействующей частице, α=π, sinα=0. Следовательно, М = 0 и L_I=L_II. Для точки В α=π/2, sinα=1. Следовательно, и момент импульса относительно точки В изменяется.

 

Рис.7.6

 

Пример 10. Молекула массой m, летящая со скоростью v, ударяется о стенку сосуда под углом α к нормали и упруго отскакивает от нее (рис.7.7). Найти импульс, полученный стенкой за время удара.

Рис.7.7

 

Решение. При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения энергии. Поскольку стенка неподвижна, кинетическая энергия молекулы, а следовательно и модуль скорости не изменяется. Кроме того, угол отражения молекулы равен углу, под которым она движется к стенке.

Изменение импульса молекулы равно импульсу силы, полученному молекулой от стенки:

p_II-p_I=F∆t,

где F - средняя сила, с которой стенка действует на молекулу, p_I=mv, p_II=mv - импульсы молекулы до и после удара.

Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

Σx=0: mv∙cosα-(-mv∙cosα)=F_x∆t,

Σy=0: mv∙sinα-mv∙sinα=F_y∆t, F_y=0.

откуда величина импульса силы, полученного молекулой, равна

F∆t=F_x∆t=2mv∙cosα.

По третьему закону Ньютона величина силы, с которой стенка действует на молекулу равна силе, действующей со стороны молекулы на стенку. Поэтому стенка получает точно такой же импульс F∆t=2mv∙cosα, но направленный в противоположную сторону.

 

Пример 11. Боек свайного молота массой m₁ падает с некоторой высоты на сваю массой m₂. Найти КПД удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при ее углублении пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему тел, состоящую из бойка молота и сваи. До удара (состояние I) боек движется со скоростью v ₁, свая неподвижна. Суммарный импульс системы p_I=m₁v₁, ее кинетическая энергия (затраченная энергия)

После удара оба тела системы движутся с одинаковой скоростью u. Их суммарный импульс p_II=(m₁+m₂)u, а кинетическая энергия (полезная энергия)

По закону сохранения импульса p_I=p_II имеем

откуда выражаем конечную скорость

Коэффициент полезного действия равен отношению полезной энергии к затраченной, т.е.

Следовательно,

С помощью выражения (1) окончательно получаем: