Импульс. Закон сохранения импульса

 

4.1. Импульс (количество движения).

 

Импульс частицы – векторная величина, вводимая как

– (4.1)

одна из основных мер механического движения частицы – количество движения.

Импульс системы материальных точек:

(4.2)

Импульс играет в механике (и, как мы увидим далее, не только в классической) исключительно важную роль, поскольку для него может выполняться закон сохранения.

 

4.2. Закон сохранения импульса.

Введем понятие «з амкнутая система» - совокупность материальных точек (или тел), взаимодействующих друг с другом, но не взаимодействующих с другими (внешними) телами. Понятие замкнутой (иначе изолированной) системы справедливо только в ИСО, поскольку в неинерциальных системах, как мы увидим позже, возникают дополнительные силы.

Закон сохранения полного импульса замкнутой системы во времени – экспериментальный факт:

(4.3)

Импульсы отдельных частиц, образующих замкнутую систему могут изменяться со временем, но полный импульс такой системы сохраняется во времени.

Или иначе в проекциях:

(4.4)

Этот закон - следствие однородности пространства, т.е. если замкнутую систему перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе последующих явлений.

Рассмотрим важные следствия, вытекающие из закона сохранения импульса.

 

4.3. Столкновение двух частиц.

 

Пусть замкнутая система состоит из двух материальных точек, которые сталкиваются друг с другом. В любой момент времени импульс системы сохраняется:

(4.5)

Это уравнение верно для упругих и неупругих ударов. Введем изменение скоростей материальных точек за промежуток времени :

,

тогда

.

Поделив на время, за которое произошло изменение скорости, получим

,

или по модулю

, (4.6)

т.е. изменение скоростей обратно пропорционально массам взаимодействующих тел.

Т.о., под действием одинаковых по величине сил то тело получит меньшее ускорение, чья масса больше. Сообщить одно и то же ускорение большому телу значительно труднее, чем маленькому, т.е. труднее изменить состояние тела. Отсюда вытекает известное определение массы как меры инертности тела.

 

4.4 Сохранение массы в процессах столкновения.

 

В классической (нерелятивистской) механике из принципа относительности Галилея и закона сохранения импульса вытекает сохранение полной массы системы взаимодействующих частиц.

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц в ИСО (интересно именно неупругое, поскольку, скорее всего, именно оно должно приводить к изменениям массы).

В системе интересующий нас процесс описывается уравнением:

(5.8)

В системе , которая движется со скоростью относительно системы :

(5.9)

Запишем преобразования скорости при переходе от системы к системе :

(5.10)

Подставив (5.10) в (5.9) и учитывая (5.8), получаем

, (5.11)

что дает аддитивность массы и ее сохранение.

В то же время, из релятивистской механики известно соотношение , которое устанавливает связь между массой и энергией, выделяющейся в процессе взаимодействия тел (частиц). Поэтому аддитивность и закон сохранения массы верны лишь приближенно, в меру справедливости преобразования Галилея.

Рассмотрим примеры процессов, протекающих с выделением энергии, и определим, с какой точностью выполняется закон сохранения массы.

Химические реакции. Ломоносов, в подтверждение закона сохранения массы, провозгласил - сумма масс до реакции равна сумме масс после реакции. Но мы знаем, что в химических реакциях выделяется энергия, следовательно, это сохранение массы приближенное.

Пример реакции:

При таких количествах вещества изменение массы в результате реакции составляет

Итак, относительное изменение массы равно

.

т.е. с очень большой точностью масса сохраняется. Поэтому к таким взаимодействиям применим нерелятивистский закон сохранения массы.

Ядерные реакции. В ядерной физике реакции протекают с очень большим энерговыделением, поэтому (дефект массы) становится заметной величиной, т.е. сравнимой с массами участвующих в реакции частиц. Очевидно, что в таких взаимодействиях классический закон сохранения массы уже не работает.