Алгебраический критерий устойчивости РАУСА

Раусс выразил его в форме таблицы. Элементами первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (полинома), начиная с . Элементы второй - нечетные коэффициенты, начиная с . Элементы последующих строк вычисляются по приведенным формулам.

Итак, характеристический полином , где .

				=…
			=…	=…
		=…	=…	=…
	и так далее	…	…	…

В данной таблице должна быть n+1 строка.

; ; ;

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны (одного знака), то система устойчива. Если хотя бы один элемент отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака равно числу правых корней характеристического уравнения.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, то система находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней.

В случае, когда последний элемент равен нулю, то корень уравнения – нулевой вещественный. При нескольких нулевых последних элементах первого столбца таблицы имеется соответствующее количество нулевых корней характеристического уравнения.

Алгебраический критерий устойчивости ГУРВИЦА

На основании характеристического уравнения системы

.

строится определитель Гурвица (при ).

Свободные места заполняются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Диагональные миноры:

; ; ;...

Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, .

; (или ); ; .

Здесь не абсолютная величина, а определитель!!!

Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ; ;

должно быть. Откуда .

Вывод. Для устойчивости системы 1-го и 2-го порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 3. Система третьего порядка; n = 3.

Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: .

 

Критерий устойчивости Михайлова

(1) (2) (3) и комплексно сопряженные (4) САУ устойчива, если при изменении частоты w от 0 до +∞, вектор поворачивается на угол , где n – степень характеристического уравнения. Более удобная формулировка: САУ устойчива, если годограф начинается на действительной оси и с ростом w 0 до +∞ обходит последовательно в «+» направлении, т.е. против часовой стрелки n квадрантов. Неустойчивая система:

Пример:     Система устойчива.   => =>