Плоскі прямокутні координати Гаусса

Загальні відомості

Положення геодезичних пунктів може бути визначено в будь-якій системі координат. Але як основні прийняті геодезична і плоска прямокутна системи. Саме в одній із двох систем, як правило, визначаються координати геодезичних пунктів.

Основною вимогою при виборі системи координат є простота і зручність її використання при розв’язанні практичних задач геодезії. Крім того, система координат повин-на бути загальною для достатньо великих ділянок земної поверхні.

Умову загальності найкраще задовольняє система геодезичних координат, тобто система, в який положення точки визначається її широтою В і довготою L; вона може бути розповсюджена як єдина координатна система на всю поверхню земного еліпсоїда. При вивченні фігури Землі й визначенні її розмірів, а також при розв’язанні геодезичних задач, пов’язаних із великими відстанями, система геодезичних координат найбільш доцільна. В цій системі звичайно отримують координати пунктів астрономо-геодезичної мережі; крім того, вона служить основою для переходу до будь-якої системи координат на поверхні еліпсоїда.

Але система геодезичних координат незручна для широкого використання в практичних цілях. Дійсно, взаємне положення пунктів у цій системі визначається в кутових одиницях (градусах, мінутах і секундах широт і довгот), тоді як на земній поверхні відстані між пунктами вимірюються (або задаються) завжди тільки в лінійному вимірі. До того ж кутові одиниці вимірювання широт і довгот мають різне лінійне значення в залежності від широти пункту; напрямки меридіанів, від яких відраховуються азимути, не паралельні між собою. Обчислення з використанням геодезичних координат, навіть при малих відстанях між пунктами, доволі трудомісткі, оскільки існує складна залежність між координатами точок, відстанями й азимутами.

Для практичного використання найбільш зручна система плоских прямокутних координат. В цій системі залежність між координатами точок, відстанями і напрямками між ними виражена простими формулами аналітичної геометрії і прямолінійної тригонометрії, що суттєво спрощує обчислення.

Але використання прямокутних координат замість геодезичних потребує переходу від поверхні земного еліпсоїда на площину. Поверхню еліпсоїда розгорнути на площину без розривів неможливо, у її можна зобразити на площині лише в тій чи іншій проекції.

При виконанні геодезичних робіт надають перевагу конформній (рівнокутній) проекції, яка володіє властивістю зберігати подібність нескінченно малих фігур.

Відомо, що в подібних фігурах відповідні кути збігаються, а збіжні сторони пропорційні. Тому в конформних проекціях масштаб постійний у нескінченно малій частині навколо точки і величини кутів фігур будь-яких розмірів не спотворюються.

Теорія конформного зображення з використанням плоских прямокутних координат була розроблена в 1822 році відомим математиком К.Ф. Гауссом.

В СРСР система плоских прямокутних координат Гаусса для прямокутних координат Гаусса для топографо-геодезичних робіт була прийнята у 1928 р.

Територія України переноситься на площину в проекції Гаусса частинами. Такими окремими частинами є меридіанні зони. Кожна зона являє собою сфероїдний двокутник, створений двома меридіанами з різницею довгот 6^°. Середній меридіан зони називається осьовим меридіаном. Граничні меридіани кожної шестиградусної зони збігаються з меридіанами, які обмежують західну і східну сторони рамки карти масштабу 1: 1 000 000. Отже, осьові меридіани кожної зони збігаються з середніми меридіанами аркушів карти цього масштабу.

Довготи осьових меридіанів шестиградусних зон можна вирахувати за формулою

L _о = 6 n – 3°, (7.4)

де n – номер зони, тобто довготи осьових меридіанів 1, 2, 3,... зон відповідно дорівнюватимуть 3°, 9°,15°, …

Кожна зона зображується на площині самостійно, але за одним і тим же законом.

Проекція Гаусса для окремої зони характеризується такими основними властивостями:

1. Осьовий меридіан зони зображується на площини прямою лінією, що приймається за вісь абсцис. Початком координат є точка перетину осьового меридіана з екватором, зображення якого на площині у вигляді прямої лінії береться за вісь ординат.

2. Масштаб зображення вздовж осьового меридіана постійний і дорівнює одиниці. Отже, абсциси точок осьового меридіана дорівнюють довжинам його дуг від екватора до цих точок на еліпсоїді.

3. Кутові спотворення в проекції відсутні, тобто вона рівнокутна. При цьому нескінченно мала фігура на еліпсоїді зображується подібною до неї фігурою на площині.

 

59. Історія виникнення GPS

Використання тріангуляції (пізніше об’єднаної з методами трилатерації та траверсу) було обмежене відстанню прямої видимості. Для збільшення цієї відстані, зрозуміло, у відносно невеликих межах, геодезисти піднімались на вершини гір або будували спеціальні геодезичні знаки. У більшості випадків ряд трикутників був орієнтований або зафіксований астрономічними пунктами, на яких астрономи-геодезисти виконували спостереження за яскравими зірками для визначення координат цих пунктів на поверхні Землі. Оскільки ці астрономічні координати могли мати похибку у кілька сотень метрів, то з геодезичної точки зору континенти були фактично ізольовані один від одного, а їх відносне розташування було відоме дуже неточно.

Одна з перших спроб точно визначити відносне розташування континентів була здійснена з використанням явища покриття зірок Місяцем. Цей метод у кращому випадку був громіздким та не відрізнявся особливою успішністю. Однак запуск першого радянського супутника у жовтні 1957 р. суттєво поліпшив точність визначення зв’язку між різними геодезичними системами відліку у світі. На початку ери штучних супутників Землі (ШСЗ) був успішно застосований оптичний метод, який по суті базувався на методі зоряної тріангуляції, розвинутому у Фінляндії ще в 1946 р. Всесвітня програма супутникової тріангуляції, яку часто називають ВС-4 за назвою застосованої фотокамери, дала можливість уперше визначити взаємне положення основних систем відліку. Метод полягав у фотографуванні супутників на фоні зірок за допомогою фотокамери, оснащеної спеціально припасованим шторковим затвором. На фотографії виникало зображення низки точок, які відображала траєкторію кожної окремої зірки або супутника. Координати вибраних точок якнайточніше вимірювалися із застосуванням фотограмметричного компаратора, після чого з аналітичної фотограмметричної моделі визначалися просторові напрямки (одиничні вектори) від станції спостережень до ШСЗ. Виконуючи із сусідньої станції одночасне фотографування цього супутника та подібні обчислення, отримували нову послідовність напрямків. Кожна пара відповідних напрямків формує площину, до якої належать станції спостережень та супутник. Тому перетин кожної пари площин дає просторовий напрямок між станціями. Потім ці напрямки використовувалися для побудови глобальної геодезичної мережі, причому її масштаб визначався з кількох наземних базисів. Європейська база між Тромсьо у Норвегії та Катанією на о. Сицилія є прикладом реалізації цієї ідеї. Пізніше почала використовуватися інша методика спостережень. На спеціальних ШСЗ встановлювалися лампи, які давали спалахи кожну шосту секунду – на першій, шостій, одинадцятій, шістнадцятій і двадцять першій секундах кожної хвилини. Ці спалахи фіксувалися фотокамерою на фоні зірок. Щоб відрізнити спалахи від зірок, для останніх робилась повторна експозиція, тобто зірки на знімку мали подвійне зображення. З сусідньої станції виконувались подібні спостереження. Подальша їх обробка здійснювалась аналогічно вищезазначеній. Головною проблемою використання оптичного методу була необхідність ясного неба одночасно на двох спостережних пунктах, віддалених один від одного на відстань приблизно 4000 км. Окрім того, саме устаткування залишалося громіздким та дорогим. Тому оптичне вимірювання напрямків між пунктами незабаром було витіснуте радіотехнічним методом визначення відстаней завдяки можливості проведення спостережень за будь-яких погодних умов та меншій ціні на необхідне устаткування. Слід зазначити, що деякий час ці два методи існували паралельно, але з часом почав використовуватися тільки радіотехнічний метод.

Першу спробу встановити зв'язок континентів радіотехнічним методом було здійснено шляхом використання електронної системи НІRАN, яка за часів другої світової війни служила для навігації літаків. Починаючи з кінця 40-х років ХХ століття за допомогою цієї системи були виміряні дуги трилатерації між Північною Америкою та Європою для визначення різниці між відповідними геодезичними системами відліку. Суттєвий технологічний прорив намітився, коли вчені та дослідники в усьому світі переконались, що допплерівський зсув частоти сигналу, який розповсюджується від передавача супутника, можна використовувати як спостережувану величину для визначення точного моменту найбільшого зближення станції із ШСЗ. Ці дані разом із спроможністю обчислити за законами Кеплера ефемериди (траєкторії) супутників привели до сучасної технології миттєвого визначення місцеположення у будь-якому куточку світу.

Попередником сучасної системи визначення місцеположення була Морська навігаційна супутникова система (NNSS), що також відома як система ТRАNSІТ. Вона складалася із семи супутників, які оберталися навколо Землі на висоті приблизно 1100 км по полярних орбітах, близьких до кругових. Система ТRАNSІТ була розроблена військовим відомством США головним чином для визначення координат повітряних та морських суден. Зрештою було дозволене цивільне використання цієї супутникової системи, і вона почала широко застосовуватись у світі як для навігації, так і для зйомки.

Початкові експерименти із системою ТRАNSІТ, виконані у США спеціалістами Військового картографічного агентства (DМА) та Служби берегової і геодезичної зйомки, показали, що можна отримати точність визначення місцеположення близько 1 м, якщо у вибраній точці провести спостереження протягом кількох діб та виконати обробку даних із використанням уточнених ефемерид. Група послідовно переміщених допплерівських приймачів спроможна забезпечити субметрову точність визначення відносних координат із використанням ефемерид, які передаються безпосередньо із сигналами супутників.

Глобальна система визначення місцеположення (GPS) була створена, щоб замінити систему ТRАNSІТ, тому що остання мала два суттєвих недоліки. Головною проблемою у використанні цієї системи були великі проміжки часу між окремими сеансами спостережень. Для визначення місцеположення у довільний момент часу користувачі змушені були виконувати інтерполяцію між послідовними проходженнями супутників над станцією спостережень, що повторювалися приблизно кожні 90 хв. Другою проблемою системи ТRАNSІТ була відносно невелика точність визначення місцеположення.

На відміну від системи ТRАNSІТ, GPS швидко, точно та недорого в усіх куточках земної кулі та у будь-який момент часу дає можливість відповісти на питання: «Який час, які координати та швидкість в даній точці спостережень?»

Для виконання неперервного визначення місцеположення у глобальному масштабі була розроблена схема розташування орбіт достатньої кількості супутників, при якій у полі зору електронного приймача завжди знаходилось би не менше чотирьох супутників GPS. Із порівняння кількох варіантів конфігурації орбіт виявилось, що найбільш економна схема, в якій рівновіддалені супутники у кількості 21 обертаються з періодом 12 годин по кругових орбітах, нахилених до площини екватора під кутом 55^◦. Ця конфігурація забезпечує видимість протягом 24 годин будь-де на Землі щонайменше чотирьох ШСЗ. У залежності від мінімальної висоти над горизонтом, при якій виконуються спостереження, кількість супутників, що можуть бути використані, є навіть більшою, ніж вказана мінімальна, що важливо у геодезичній зйомці за кінематичним методом або у деяких інших випадках. Наприклад, для мінімального кута спостережень 10^◦ існують нетривалі періоди часу, коли у зоні видимості знаходиться до 10 супутників.