Именно – на плоскости. Потому что есть прямая и обратная геодезические задачи на земном эллипсоиде. Вам придется их решать в курсе «Высшей геодезии». Тогда Вы и познаете большую разницу. Кривизна Земли, её форма дадут это почувствовать.
Название «прямая» и «обратная» геодезические задачи несколько условные, но уже теперь традиционно принятые в геодезии и маркшейдерии раз и навсегда. Просто одну из задач назвали прямой, при решении которой находят координаты точек местности, а другую – обратной, при решении которой …
Давайте не будем забегать вперед.
Прямая геодезическая задача.
Пусть нам известны координаты точки 1 (Х1, Y1), горизонтальное проложение линии 1-2 d12 и её дирекционный угол α12 (рис. 7.3). Требуется найти координаты точки 2. Таковы условия прямой геодезической задачи.
Рис. 7.3. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости.
Прямая геодезическая задача используется для определения координат точек местности, в частности, при определении координат точек теодолитных ходов. Поскольку указанная задача решается на плоскости (в проекции Гаусса-Крюгера), то треугольник 123 является прямоугольным. Линия 1-2 ориентирована (на рисунке) в круговой (α) и четвертной (r) системах. Параметры Δ Х и Δ Y называют приращениями координат. Исходя из геометрии и принятой системы координат можно записать, что
. (7.1)
Очевидно, что приращения координат должны иметь знак «плюс» или «минус», поскольку координаты точки 2 могут быть больше или меньше координат точки 1. Не обращая внимания на знаки приращений координат, запишем из прямоугольного треугольника
. (7.2)
Принимая во внимание схему рис. 6.3, запишем, что
, (7.3)
т.е. знаки приращений координат определяются знаками функций sin и cos соответствующих дирекционных углов. Тогда для общего случая формулы (7.1) примут вид
. (7.4)
Пример 7.1. Прямая геодезическая задача.
Исходные данные: Х1 = 4256,324 м; Y1 = 7830,042 м; α12 = 248о39'42"; d12 = 211,656 м.
Найти координаты точки 2.
Решение.
м;
м;
м;
м.
Обратная геодезическая задача.
Формулировка обратной геодезической задачи: по известным координатам двух точек найти горизонтальное проложение линии, соединяющей эти точки и её дирекционный угол.
Применительно к рис. 7.3: по известным координатам точек 1 и 2 найти горизонтальное проложение d12 и дирекционный угол α12.
Обратная геодезическая задача используется в большом числе случаев при определении дирекционных углов исходных направлений, а также при решении различных геометрических задач на местности, связанных с построением на местности проектных точек инженерных сооружений (Геодезические разбивочные работы).
Установим взаимосвязь между знаками приращений координат и значениями дирекционных углов (табл. 7.2).
Для решения обратной геодезической задачи вычисляют приращения координат
, (7.5)
если задана задача определения дирекционного угла направления 1-2. Если же необходимо определить дирекционный угол направления 2-1, то приращения координат определяют по формулам
. (7.6)
Далее вычисляют значение румба определяемого направления без учёта знаков приращений координат
(7.7)
и по знакам приращений координат, пользуясь табл. 7.2, выбирают соответствующую формулу для вычисления дирекционного угла.
Таблица 7.2
Знаки приращений координат в зависимости от величины дирекционного угла
| Δ Х | + | - | - | + |
| Δ Y | + | + | - | - |
| Четверть | I(СВ) | II(ЮВ) | III(ЮЗ) | IV(СЗ) |
| Изменения дирекционного угла | 0о – 90о | 90о – 180о | 180о – 270о | 270о – 360о(0о) |
| Зависимость α = f (r) | α = r | α = 180o - r | α = 180o + r | α = 360o - r |
Дирекционный угол линии можно определить, таким образом, для любого её направления, а дирекционный угол обратного направления, при необходимости, определяют по формуле обратного ориентирующего угла: 
.
Горизонтальное проложение из прямоугольного треугольника 123 находят по формулам:
. (7.8)
Значения горизонтальных проложений, вычисленных по приведённым формулам, должны практически совпадать в пределах погрешностей округлений.
Пример 7.2. Обратная геодезическая задача.
Исходные данные: Х1 =7273,856 м; Y1 = 5241,656 м; Х2 = 9833,813 м; Y2 = 2165,041 м
Найти дирекционный угол направления 1-2 и горизонтальное проложение линии 1-2.
Решение.
Δ Х2 = 9833,813 – 7273,856 = + 2559,957 м.
Δ Y2 = 2165,041 – 5241,656 = - 3076,615 м.
(Четвертая четверть – СЗ) – см. табл. 7.2.
.
.
м;
м; 
м.
Незначительные расхождения в значениях горизонтального проложения обусловлены погрешностями вычислений при округлении приращений координат и дирекционного угла.
Обратный дирекционный угол 
.
Этот угол может быть получен и прямым расчётом через соответствующие приращения координат:
Δ Х1 = 7273,856– 9833,813 = - 2559,957 м.
Δ Y1 = 5241,656–2165,041= + 3076,615 м.
(Вторая четверть – ЮВ) – см. табл. 7.2.
.
.
