Идентификация формы распределения

Результатов измерений

 

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона [3, 48] возможно при большом числе измерений (п > 50) и заключается в вычислении величины c² (хи-квадрат):

(8.1)

где n_i, N_i — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; P_i — значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n ® ¥ случайная величина c² имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m - 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО.

Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i –N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия c² также было бы равно нулю. Таким образом, c² естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий c² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения c², входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m – 1 - r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3. Часть квантилей распределения c²_q приведена в табл. 8.1.

 

 

Таблица 8.1

Значения c² при различном уровне значимости

 

 

v	cq2 при уровне значимости q, равном
0,99	0,95	0,9	0,8	0,5	0,2	0,1	0,05	0,02
	0,02	0,1	0,21	0,45	1,39	3,22	4,61	5,99	7,82
	0,3	0,71	1,06	1,65	3,36	5,99	7,78	9,49	11,67
	0,87	1,63	2,20	3,07	5,35	8,56	10,65	12,59	15,03
	1,65	2,73	3,49	4,59	7,34	11,03	13,36	15,51	18,17
	2,56	3,94	4,87	6,18	9,34	13,44	15,99	18,31	21,16
	3,57	5,23	6,30	7,81	11,34	15,81	18,55	21,03	24,05
	4,66	6,57	7,79	9,47	13,34	18,15	21,06	23,69	26,87
	5,81	7,96	9,31	11,2	15,34	20,46	23,54	26,3	29,63
	8,26	10,85	12,44	14,58	19,34	25,04	28,41	31,41	35,02
	11,52	14,61	16,47	18,94	24,34	30,68	34,38	37,65	41,57
	14,95	18,46	20,60	23,36	29,34	36,25	40,26	43,77	47,96

 

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения c² меньше определенного из таблицы значения c_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же c²выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

• определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО S_x по формулам (6.9) и (6.11);

• группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют "так же, как и при построении гистограммы;

• для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

• вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов х_i0 производят переход к нормированным серединам z_i = (х_i0 - x̅)/S_x. Затем для каждого значения z_iспомощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(z_i). Например, для нормального закона

По найденному значению f(z_i) определяют ту часть N_i имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов N_i = nhf(z_i)/S_х, где n — общее число наблюдений;

• если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения;

• по формуле (8.1) определяют показатель разности частот c²;

• выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по табл. 8.1 находят границу критической области c_q², такую, что P{c² > c_q²} = q. Вероятность того, что полученное значение c² превышает c_q², равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что c² > c_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же c² < c_q², то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение c_q² (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие c² < c_q²и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 < q < 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность P{c_qн² < c² < c_qв²}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q₁ + q₂. Как правило, принимают q₁ = q₂. По табл. 8.1 для P{c² > c_q²} = q находят c₁² при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и c₂² уровня значимости 1 — q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если

 

Однократные измерения

 

Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям. Для производственных процессов более характерны однократные измерения. Однократные прямые измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Эти измерения возможны лишь при определенных условиях:

• объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений;

• изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;

• средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.

За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95.

Методика обработки результатов прямых однократных измерений приведена в рекомендациях МИ 1552—86 'ТСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений". Данная методика применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические, заданные своими границами 0,, — равномерно.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

• погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам;

• погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;

• личная погрешность, вносимая конкретным оператором. Если последние две составляющие не превышают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике.

Названные составляющие могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей. При наличии нескольких систематических погрешностей, заданных своими границами ± q_i либо доверительными границами ± q_i(P), доверительная граница результата измерения соответственно может быть рассчитана по формуле

где q_i(P_j) — доверительная граница i-й неисключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности P_j; k_j — коэффициент, зависящий от P_j и определяемый так же, как и коэффициент k; k = k(m,P) — коэффициент, равный 0,95 при Р = 0,9 и 1,1 при Р = 0,95. При других доверительных вероятностях он определяется в соответствии с ГОСТ 8.207—76.

Случайные составляющие погрешности результата измерений выражаются либо своими СКО S_xi, либо доверительными границами ± e_i(Р). В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО S_x:

где z_p — точка нормированной функции Лапласа, отвечающей вероятности Р. При Р = 0,95 z_f = 2. Если СКО S_xi определены экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента z_p следует использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы i-й составляющей, оценка которой произведена при наименьшем числе измерений.

В случае, когда случайные погрешности представлены доверительными границами ± e_i(Р_i), соответствующими разным доверительным вероятностям Р_i, доверительная граница случайной погрешности результатов прямых однократных измерений

Найденные значения q и e(Р) используются для оценки погрешности результата прямых однократных измерений. В зависимости от соотношения q и S_x суммарная погрешность определяется по одной из формул, приведенных в табл. 8.2. Значения коэффициента k_p приведены в табл. 8.3.

Тaблица 8.2

Формулы для расчета погрешности результата прямых

однократных измерений D(Р)

 

Значение q/Sx	Погрешность результата измерения D(Р)
q/Sx < 0,8	e(Р)
0,8 £ q/Sx £ 8	kp[e(P) + q(Р)]
q/Sx > 8	q(Р)

 

Таблица 8.3

Значение k_r в зависимости от отношения 9/S, про доверительной

вероятности 0,95

 

q/Sx	0,8
k0,95	0,78	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81

 

Кроме изложенного метода, суммирование случайных и систематических составляющих может проводиться и другими методами, ряд из которых рассмотрен в разд. 9.4.

Результат прямых однократных измерений дол-жен записываться в соответствии с рекомендациями МИ 1317-86 в виде х ± D(Р) при доверительной вероятности Р = Р_д.

Выше были рассмотрены прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешностей, наиболее детально они проанализированы в [3]. В практике также имеют место прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешности. Для них характерно оценивание погрешности полученного результата на основе метрологических характеристик, приведенных в нормативно-технической документации на используемые средства измерений. Поскольку эти характеристики относятся к любым экземплярам данного типа СИ, то у конкретного используемого средства действительные метрологические характеристики могут отличаться от нормированных.

Прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешностей правомочны, если доказана возможность пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения, т.е. можно обосновано считать, что среднее квадратическое отклонение S_x случайной составляющей меньше 1/8 суммарной границы неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерения.

В простейшем случае, когда влияющие величины соответствуют нормальным условиям, погрешность результата прямого однократного измерения равна пределу основной погрешности средства измерения D_СИ, определяемой по нормативно-технической документации. Результат измерения запишется в виде D = ± D_СИ. Доверительная вероятность не указывается, но, как правило, подразумевается, что она равна 0,96. При проведении измерений в условиях, отличных от нормальных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей. Возможная методика суммирования основных и дополнительных погрешностей однократных измерений приведена в [3].

 

Пример 8.1. Оценить погрешность результата однократного измерения напряжения U = 0,9 В на сопротивлении R = 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом измерения U_п = 1,5 В и внутренним сопротивлением R_v = 1000 Ом. Известно, что дополнительные погрешности показаний вольтметра из-за магнитного поля и температуры не превышают соответственно d_мп = ±0,75% и d_т = ±0,3% допускаемой предельной погрешности.

Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отметке 0,9 В составляет d_х = d_СИU₀/U = 0,83%. При подсоединении вольтметра исходное напряжение U, изменится из-за наличия R_v и составит

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением R_v, в относительной форме

Данная погрешность является систематической и должна быть внесена в результат в виде поправки q = - d_m= 0,4 % или в абсолютной форме на отметке 0,9 В D_а= U_q/100 = 0,004 В. Тогда результат измерения с учетом поправки U = 0,9 + 0,004 = 0,904 В.

Поскольку основная и дополнительная погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические погрешности и соответственно суммироваться. При доверительной вероятности 0,95 доверительная граница неисключенной систематической погрешности = 1,3%. В абсолютной форме D_C=d_CU/100=0,012 В. Поскольку D > q, то окончательный результат измерения записывается в виде U = 0,9 В; D = ±0,01 В; Р = 0,95.

 

 

Косвенные измерения

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости

(8.2)

где Q₁, Q₂,...,Q_m— значения, полученные при прямых измерениях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; йеребора.

Первые три метода рассматриваются ниже, а четвертый — в [57]. Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".

Косвенные измерения при, линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

где b_i — постоянный коэффициент i-ro аргумента Q_i; m — число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.

Если коэффициенты b_i определяют экспериментально, то нахождение результата измерения величины Q производится поэтапно. Сначала оценивают каждое слагаемое b_iQ_i, как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины Q. Результат косвенного измерения определяют по формуле

где Q̃_i — оценка результата измерений аргумента Q_i, получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов Q̃_i полученная оценка результата измерения Q̃ будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения

то, если результаты Q̃_i обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, оценка результата измерения Q̃_i также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(Q̃), обусловленное случайными погрешностями, вычисляется по формуле

(8.3).

где S(Q̃_i)— среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента qj, рассчитываемое по формуле (6.10).

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения

Здесь ρ_k1 — несмещенная оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов Q_k и Q_i:

где Q_ki, Q_1i — i-e результаты прямых измерений k-ro и i-го аргументов; n — число прямых измерений аргументов. Коэффициент корреляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнозначным приведенной (см. разд. 9.3).

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех случаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия связи между двумя аргументами является выполнение неравенства [48]

где t_q— коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы n - 2. Необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормальным распределением. Для распределений, отличных от нормального, распределение среднего арифметического при этом все же можно считать нормальным [3]. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверительный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25—30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения можно определить по формуле

где z_p — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле [3]

где n_i — число измерений при определении аргумента Q_i. В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределению, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

где t_q — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = l—q и числу степеней свободы f.

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измерений аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины [57], имеющей равномерное распределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осторожным заключениям о погрешности результатов косвенных измерений.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата линейного косвенного измерения 9(Р) в случае, если неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами 0,, вычисляют по формуле

(8.4)

 

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих q_i. Его значения приведены в табл. 8.4. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% [57].

Таблица 8.4

Значения коэффициента k при m>4

 

Р	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

 

Если число суммируемых слагаемых m £ 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k определяется по табл. 8.5. Под L здесь понимают отношение наибольшей длины интервала (b_i0_i)_max одного из слагаемых к длине b_iq_i остальных слагаемых.

Таблица 8.5

Значения коэффициента k при m = 2. 3. 4

 

 

L	Р=0,98	Р=0,99
m=2	m = 3	m = 4	m = 2	m = 3	m = 4
	1,22	1,28	1,30	1,28	1,38	1,41
	1,16	1,23	1,26	1,22	1,31	1,36
	1,11	1,1"	1,20	1,16	1,24	1,28
	1,07	1,12	1,15	1,12	1,18	1,22
	1,05	1,09	1,12	1,09	1,14	1,18

 

Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов заданы их доверительными границами q_i(P_i), соответствующими вероятностям P_i, то границу q(Р) определяют по формуле

Коэффициенты k_i определяются так же, как поправочный коэффициент k.

Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ неисключенной систематической составляющей и СКО случайной составляющей погрешности приведены в табл. 8.6.

Таблица 8.6

Погрешность результата косвенных измерений D(Р)

 

Значение q(P)/S(Q̃)	Погрешность результата измерения Д(Р)
q(P)/S(Q̃) <0.8	e(Р)
0,8 < q(P)/S(Q̃) < 8	kP[e(P) + q(P)]
q(P)/S(Q̃) >0,8	e(Р)

Коэффициент k_p определяется по табл. 8.7.

Таблица 8.7.

Зависимость k_p от отношения q(P)/S(Q̃) при различной

доверительной вероятности

 

q(P)/S(Q̃)	0,5	0.75
k0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k0,99	0,87	0.85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

 

 

Результат косвенных измерений должен записываться в виде х ± D(Р) при доверительной вероятности Р.

Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

(8.5)

Здесь — первая частная производная от функции f по аргументу Q_i, вычисленная в точке Q̃₁, Q̃₂,...,Q̃_m; DQ; — отклонение результата измерения аргумента Q_i от его среднего арифметического; R̃ — остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если

где S(Q_i)— СКО случайной погрешности результата измерений аргумента Q_i. При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57]. Оценка результата определяется по формуле

(8.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения D = Q̃ - Q, как это следует из уравнения (8.5), равна

где W_i = ∂f/∂Q_i — коэффициенты влияния i-го аргумента; DQ, — абсолютная погрешность измерения i-го аргумента; W_iDQ_i — частная i-я погрешность определения результата косвенного измерения.

 

Пример 8.2. Разложить в ряд Тейлора уравнение для определения плотности и получить выражение для расчета абсолютной погрешности.

Плотность твердого тела р определяется как отношение результата измерения его массы m к объему V. При этом в соответствии с (8.5) получаем выражение

где в скобках стоит остаточный член. Учитывая, что

окончательно получим

Абсолютная погрешность

 

Коэффициенты влияния чаще всего определяются путем подстановки в выражения для частных производных оценок Q;. Поэтому вместо самих коэффициентов влияния получаются их оценки. В ряде случаев они устанавливаются экспериментально, что приводит к возникновению еще одной погрешности нелинейных косвенных измерений. Этой погрешности можно избежать, если зависимость (8.1) имеет вид

(8.7)

Тогда коэффициенты влияния

Оценка измеряемой величины находится по (8.6), (8.7), а ее относительная погрешность с учетом последних формул определяется как

Из полученной формулы видно, что коэффициенты влияния для относительной погрешности оказываются равными показателям степеней соответствующих аргументов. Последние известны точно, и отмеченная выше погрешность не возникает. Для рассмотренного выше примера измерения плотности тела имеем dρ = dm - dV.

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного измерения

(8.8)

При точно известных коэффициентах влияния оно совпадает с уравнением (8.3), полученным для линейных косвенных измерений. Для зависимости вида (8.7) данная оценка, представленная в относительной форме, запишется в виде

где — оценка СКО i-го аргумента, представленная в относительной форме.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов b_i в формулах подставляются коэффициенты влияния W_i. Аналогичным образом поступают при определении границ неисключенной систематической погрешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

Метод приведения. Он используется для определения результатов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результатов измерений аргументов Q₁₁, Q₁₂, …, Q_lm; Q₂₁,… Q_2m, Q_j2,..., Q_jm; Q_L1, Q_L2, …, Q_Lm, полученных в процессе многократных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.

Метод основан на приведении отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (8.6) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Q: Q₁, Q₂,..., Q_j, Q_L.

Результат косвенного измерения Q̃ и СКО его случайной погрешности вычисляются по формулам

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения рассчитываются по формуле D = TS(Q̃), где Т — коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений определяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вычисляются по методике для прямых многократных измерений, изложенной в ГОСТ 8.207-76.

Границы неисключенной систематической погрешности и до верительные границы погрешности результата косвенного измерения определяются так же, как и в рассмотренных выше случаях.