Варьирование по Лагранжу. Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные удерживающие голономные стационарные связи
, 
, 
. (1)
Будем считать, что на систему действуют только потенциальные силы. В этом случае полная энергия системы остается постоянной, и механическую систему называют консервативной. Используя уравнения связей (1), введем обобщенные координаты 
, 
, и движение механической системы будем определять движением изображающей точки в пространстве обобщенных координат. Полная энергия системы, выраженная в обобщенных координатах,
,
складывается из кинетической энергии 
и потенциальной энергии 
, и равенство
(2)
представляет первый интеграл системы уравнений динамики.
Таким образом, в этом случае действительное движение механической системы следует искать среди кинематически возможных движений системы, соответствующих переходу из состояния 
в состояние 
с одной и той же энергией. При этом время перемещения изображающей точки из состояния в состояние для разных кинематически возможных движений будет различным. Если фиксировать начальный момент времени 
, то время перехода системы в состояние будет переменным. Движения, удовлетворяющие этим условиям, являются кинематически возможными движениями по Лагранжу. Варьирование, соответствующее этим движениям, называется варьированием по Лагранжу, обозначается символом 
и удовлетворяет следующим условиям:
, 
, 
,
.
Принцип Лагранжа. Для выделения действительного движения среди кинематически возможных движений по Лагранжу принимается функционал, содержащий под знаком интеграла удвоенную величину кинетической энергии
. (3)
Функционал 
называется действием по Лагранжу. Принцип стационарного действия Лагранжа формулируется следующим образом.
Из всех движений механической системы, допускаемых идеальными удерживающими голономными стационарными связями между двумя состояниями в потенциальном поле сил с одного и того же момента времени, действительным является то движение, в котором действие по Лагранжу принимает стационарное значение.
Аналитическое выражение принципа Лагранжа означает, что
. (4)
Условие стационарности действия по Лагранжу также можно получить непосредственно из уравнений Лагранжа
, 
. (5)
Для этого умножим обе части равенства (5) на соответствующие виртуальные перемещения по Лагранжу 
и просуммируем:
. (6)
Для анализа левой части равенства (6) необходимо определить значения виртуальных перемещений по Лагранжу и их производных 
. Пусть механическая система является системой с одной степенью свободы, динамика которой описывается одним уравнением 
. Решение этого уравнения 
зависит от начальных условий 
, и ему соответствует двухпараметрическое семейство линий. Зафиксируем начальное значение 
и, полагая 
, рассмотрим однопараметрическое семейство решений 
. Тогда изменение функции 
, связанное с изменением аргументов 
и 
, соответственно на 
и 
, складывается из двух составляющих:
.
Таким образом, полная вариация функции 
соответствует варьированию по Лагранжу и состоит из суммы изохронной вариации 
и вариации времени
. (7)
Операции варьирования и дифференцирования, а также операции варьирования и интегрирования для изохронной вариации коммутативны. Действительно, так как время фиксировано, то 
и
.
Аналогично, интегрируя по времени на отрезке 
, имеем:
.
Проверим, являются ли коммутативными соответствующие операции для виртуальных перемещений по Лагранжу. Дифференцируя равенство (7), получим:
. (8)
Варьирование по Лагранжу обобщенной скорости 
определяется выражением (7):
, (9)
и равенство (8) записывается в виде:
. (10)
Сравнение выражений (9),(10) показывает, что 
.
Вернемся к равенству
. (6)
Учитывая, что
,
,
равенство (6) можно представить в виде:
. (11)
Так как в рассматриваемом случае
, 
, 
,
то равенство (11) приводится к виду:
. (12)
Перепишем последнее выражение, проведя интегрирование на отрезке 
с учетом равенств 
, :
,
что соответствует принципу Лагранжа:
.
Принцип Лагранжа может быть получен из принципа стационарного действия Гамильтона. Введем обозначения: ,
, 
,
, 
.
Так как 
, 
, а в случае стационарных связей , то 
, следовательно, 
. Варьируя по Лагранжу последнее равенство, получим:
. (13)
Перепишем выражение (13), используя равенства 
, и :
. (14)
В случае стационарных связей можно записать цепочку равенств:
. (15)
Используя зависимость
,
выражение (15) можно переписать:
. (16)
Заметим, что 
в равенстве (16), но 
, а 
, так как все кинематически возможные движения по Лагранжу приходят в одну точку . Из равенства 
следует, что 
и
.
В итоге получаем:
. (17)
Используя (14), имеем равенство:
,
которое с учетом (17) приводится к виду
. (18)
Но на действительном движении, которое соответствует решению системы уравнений
, ,
вариация по Лагранжу оказывается равной нулю, то есть 
.
