Расчет сжато-изгибаемых деревянных элементов на прочность по деформированной схеме

4.11. При расчете сжато-изгибаемых элементов на прочность по краевым напряжениям учитывается добавочный момент в деформируемом стержне от продольной сжимающей силы N _с в упругой постановке решения данной задачи. Расчетный деформационный изгибающий момент M _д при этих условиях равен сумме моментов от поперечной нагрузки и продольной силы M _д = M + N _с f _д, где f _д - полный прогиб от действия M и N _с.

В случае симметричного изгиба шарнирно закрепленного по концам стержня, нагруженного синусоидальной или распределенной (с допустимой погрешностью) поперечной нагрузкой, справедлива известная зависимость f _д = f /(1 - N _с/ N _э), f = M / N _э, откуда f _д = M /(N _э - N _с), соответственно

M _д = M + N _с M /(N _э - N _с) = M [1 - N _с/(N _э - N _с)] = M /(1 - N _с/ N _э) = M /ξ,

где N _э - критическая сжимающая сила по Эйлеру и

ξ = 1 - N _э/ N _э = 1 - N _с/(φ₀ R _с F _бр).

Соответственно в формуле (30) СНиП II-25-80 для любой гибкости φ определяется по формуле (8) СНиП II-25-80 φ = 3000/λ² и может быть больше единицы. После подстановки выражения для φ в (30) получим ξ = 1 - λ² N /(3000 R _с F _бр).

Для шарнирно закрепленного по концам сжато-изгибаемого стержня постоянного сечения при симметричной нагрузке из общего решения дифференциального уравнения изогнутой оси в тригонометрических рядах имеем

M _д = , (10)

где M_i - коэффициенты в формуле разложения эпюры моментов M от поперечной нагрузки

(11)

Если учесть, что

1 + N _с/(N _э i ² - N _с) = 1/(1 - N _с/ N _э i ²) и N _с/ N _э = 1 - ξ, то

M _д = (12)

Представим

M _д = β_н M /ξ,

где

β_н = (ξ/ M) (13)

Из анализа знаменателей членов данного ряда следует, что для

i = 1 1 - (1 - ξ)/ i ² = ξ, а для i ≥ 3 1 - (1 - ξ)/ i ² ≈ 1,

где из (13) получаем

β_н = (M ₁/ M) + ξ (14)

Обозначим

M ₁/ M = m, а так как ,

то

(1/ M) = 1 - m,

откуда с учетом (14) получаем

β_н = m + ξ(1 - m). (15)

Таблица 16

αн = 1,62	αн = 0,81	αн = 1,22	αн = 2,44/(3 - 4 а 2/ l 2)	αн ≈ 1
m = 2/π	m = 4/π	m = 8/π2	m = 4 l sin (a π/ l)/(π2 а)	m = 32/π3

Для определения величины деформационного момента M _д вместо формулы M _д = β_н M /ξ, в которой коэффициент, учитывающий схему поперечной нагрузки, введен в числитель, в нормах соответствующий коэффициент перенесен в знаменатель и принята формула

M _д = M /(K _нξ), (16)

где коэффициент K _н = α_нξ(1 - α_н) вводится прямым образом к ξ, что логичнее.

Выражение для K _н по структуре аналогично выражению для β_н. Значения самих коэффициентов m и α (табл. 16), β_н и K _н связаны между собой α_н ≈ 1/ m; K _н ≈ 1/β_н. Коэффициенты α_н и K _н находятся из приближенной зависимости с погрешностью, не превышающей 3 % для α_н и 1,5 % - для К_н.

4.12. При разложении несимметричной нагрузки на симметричную C и кососимметричную K составляющие, соответствующие им формы деформирования, выражаются в виде одной и двух полуволн с гибкостями λ_с = l / r, λ_к = l /(2 r) и одинаковой сжимающей силой N _с для определения коэффициентов ξ_с и ξ_к.

Здесь l - длина всего стержня, шарнирно закрепленного по концам;

r - радиус инерции поперечного сечения в плоскости деформирования.

Рис. 5. Пример разложения несимметричной схемы нагружения на симметричную и кососимметричную

Рис. 6. Расчленение разнозначной эпюры моментов

Если коэффициенты α_нс ≠ 1 и α_нк ≠ 1, то формула (32) СНиП II-25-80 принимает следующий вид

M _д = M _с/(K _нсξ_с) + M _к/(K _нкξ_к). (17)

Когда в пределах каждой половины кососимметричного нагружения сохраняется асимметрия, производить дальнейшее разбиение на C и K не следует, так как возникающая при этом погрешность незначительна.

Пример разложения несимметричной схемы нагружения на C и K показан на рис. 5, значения коэффициентов α_нс и α_нк приняты по табл. 16. При разнозначной эпюре моментов она расчленяется на плюсовую и минусовую, а затем, если одна из них или обе несимметричные, производится их разделение на C и K (рис. 6.)

4.13. Для решения задачи в случае постоянной сжимающей силы по длине стержня, шарнирно закрепленного по концам, применим принцип суперпозиции. Значение момента M для расчетного сечения в пролете при этом условии выражается ввиде алгебраической суммы его составляющих

M _д = . (18)

Сжимающая осевая сила N при шарнирном закреплении стержня по концам не влияет на величины опорных моментов и они не будут изменяться.

Для расчетной схемы по рис. 6 момент в пролете

M _д = - M ₁/(K _н1ξ_с) + M ₂(l /2 - x)/(K _н2ξ_к l /2) + M_x /(K _изξ_с),

где

M ₁ = (M_А + M_В)/2, M _А > M_В; M ₂ = (M_А - M_В)/2;

M_x = qx (l - x)/2;

используя формулу (31) СНиП II-25-80 и коэффициенты из табл. 16, находим

K _н1 = 0,81 + 0,19ξ_с; K _н2 = 1,62 - 0,62ξ_к; K _из ≈ 1;

ξ_с = 1 - λ²_с N /(3000 R _с F); ξ_к = 1 - λ²_к N /(3000 R _с F);

λ_с = l / r = 2λ_к.

4.14. При расчете сжато-изгибаемых стержней, заделанных одним или обоими концами, необходимо учитывать упругость их защемления. Это объясняется невозможностью обеспечить для деревянных элементов жесткое защемление из-за возникающих напряжений смятия поперек волокон и соответствующих им больших деформаций, а также других причин, приводящих к повороту торцового сечения. Данное обстоятельство учитывается при расчете на устойчивость центрально сжатых элементов путем увеличения значений коэффициента μ₀ (см. п. 4.21 СНиП II-25-80).

Опорные моменты в стержне i - j с упругим защемлением обоих концов равны

M_i = m_i (β M ⁰ _j + K_jM ⁰ _i)/[2(K_iK_j - β²)]; (19)

M_j = m_j (β M ⁰ _i - K_iM ⁰ _j)/[2(K_iK_j - β²)].

Опорный момент в стержне i – j с упругим защемлением одного i -го конца следует определять по формуле:

(20)

В формулах (19) и (20) приняты следующие обозначения:

M ⁰ - опорный момент при жестком защемлении определяется: при действии поперечной нагрузки и продольной силы по табл. 17.5; при перемещении опор и действии продольной силы - по табл. 17.6.

(«Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973 г.);

m_{i ( j )} = μ _{i ( j )} l /(EJ) - безразмерный параметр упругого защемления (μ - коэффициент жесткости опоры, имеющий размерность момента);

K_{i (j)} = 0,5 m_{i (j)} + α,

где α, β, - функции аргумента , где N - продольная сила («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», М., 1960, табл. 16.30).

Значения параметра упругого защемления m принимаются по экспериментальным данным. При отсутствии таких данных допускается принимать m_{i ( j )} = 5,4 для стержня на двух опорах и m_{i ( j )} = 9,9 для стержня с одним свободным концом, что соответствует указанному выше увеличению коэффициента μ₀.

4.15. Расчет сквозных конструкций с неразрезными сжато-изгибаемыми поясами следует производить по деформированной схеме, как правило, на ЭВМ по стандартным программам.

Допускается приближенно определять деформационные узловые изгибающие моменты в поясах, используя значения осевых усилий и перемещений узлов из расчета конструкции по недеформированной схеме как шарнирно-стержневой статически определимой системы. Пояс рассматривается далее как неразрезная балка, испытывающая воздействие осевых сил, поперечной нагрузки и осадки опор (перемещений соответствующих узлов конструкций). Расчет пояса следует вести в соответствии с п. 17.3.4 («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973). При расчете методом перемещений (уравнение трех углов поворота) для определения части грузовой реакции (опорного момента защемления) r_{k о}, вызванной осадкой опор, следует пользоваться данными табл. 17.7 того же справочника.

Помимо указанных в пункте 17.3.4 методов расчета при числе неизвестных более двух возможно также применение метода последовательных приближений [способ распределения моментов, см. п. 5.8.1 («Справочник проектировщика Расчетно-теоретический», М., 1960 г.)]. При расчете по деформированном схеме, в отличие от обычного расчета, коэффициенты распределения неуравновешенного момента в i -м узле равны

K_{i , i -1} = - r_{i,i -1}/(r_{i,i -1} + r_{i , i +1});

K_{i,i +1} = - r_{i,i +1}/(r_{i,i -1} + r_{i , i +1}),

а коэффициент передачи (переноса) равен

μ = β/α,

где r - единичные реакции (моменты защемления от единичного поворота узла), значения которых:

В приведенных формулах α, β, - функции Н.В. Корноухова (см. «Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический». М., 1980, табл. 16.30).

Наибольшее значение деформационного изгибающего момента в стержне i - j длиной l определяется исходя из известных величии концевых (опорных) деформационных моментов M ^д _i и M ^д _j, поперечной нагрузки и постоянного осевого усилия N по методике, приведенной ниже.

Положительным считается момент, растягивающий нижнее волокно. Деформационный изгибающий момент в точке с координатой (расстоянием от i -го конца стержня) x определяется по формуле

M ^д _x = A sin (vx / l) + B cos (vx / l) + C, (21)

где

A = A _о + Σ A _п;

B = B _о + Σ B _п;

C = Σ C _п;

(индекс «о» относится к членам, определяемым величиной опорных деформационных моментов; индекс «п» - видом и величиной поперечной нагрузки).

Значения коэффициентов A _п, B _п и C _п вычисляются, используя табл. 17. Коэффициенты A _о и B _о равны

A _о = (M ^д _i - M ^д _j cos v)/sin v;

B _о = M ^д _i,

где

.

Величины A, B, C необходимо вычислить отдельно для каждого участка по длине стержня с границами в точках приложения сосредоточенных сил. При этом независимо от рассматриваемого участка всегда учитывается вся поперечная нагрузка, действующая на стержень.

Таблица 17

Коэффициент уравнения моментов	Схема нагрузки
при x ≤ Kl	при x > Kl
A п	ql 2cos2 θ(1 - cos v)/(v 2 sin v)	Pl cos θ sin [(1 - K) v ]/(v sin v)	- Pl cos θ sin (Kv)/(v tg v)
B п	ql 2cos2 θ/ v 2		Pl cos θsin (Kv)/ v
C п	- ql 2cos2 θ/ v 2

4.16. Координаты сечений с экстремальными значениями изгибающих моментов определяются по формулам

x ^э₁ = 0

x ^э_к = l ψ_к/ v, (K = 2, 3, …), (22)

где

ψ_к = arcsin (A / M) + (K - 2)π;

M = S (B) ;

Рис. 7. Схема загружения стержня

Отбор пригодных значений x ^э производится из условия 0 ≤ x ^э_к ≤ l. При x ^э_к < 0 принимается x ^э_к = 0, при x ^э_к > l принимается x ^э_к = l. После каждого вычисления x ^э необходимо дополнительно проверять принадлежность точки тому участку, для которого определены параметры A, B и C. Если это не выполняется, то следует вновь вычислить указанные параметры, исходя из принадлежности точки следующему участку, и заново определить x ^э.

Если при этом окажется, что x ^э принадлежит не данному, а предыдущему участку, то принимается

x ^э_к = x _гр,

где x _гр - координата границы между рассмотренными участками.

Экстремальные значения деформационных моментов M ^э_к определяются из (21) при x = x ^э по (22).

Наибольший по абсолютной величине деформационный изгибающий момент в пределах пролета i - j определяется сравнением его экстремальных значений.

Пример. Определить наибольший деформационный изгибающий момент в стержне 1 - 2 по рис. 7. Стержень имеет постоянное сечение с изгибной жесткостью EJ = 1600 кН×м².

Стержень разбит по длине на три участка с границами в точках приложения сосредоточенных сил. Коэффициенты A, B, и C уравнения моментов будем определять отдельно для каждого участка.

Вычислим параметр сжимающей нагрузки v и другие величины, необходимые для расчета

= = 1,5; v ² = 2,25; sin v = 1; cos v = 0,0707; tg v = 14,1.

Относительная координата точки приложения первой сосредоточенной силы K ₁ = x _гр1/ l = 1/3, второй силы K ₂ = x _гр2/ l = 2/3. Соответственно

sin [(1 - K ₁) v ] = 0,841; sin (K ₁ v) = 0,479;

sin [(1 - K ₂) v ] = 0,479; sin (K ₂ v) = 0,841,

cos θ = 1.

Вычислим коэффициенты уравнения моментов

A _о = (M ^д₁ + M ^д₂cos v)/sin v = (-9 + 7×0,0707)/1 = -8,5 кН×м;

B _о = M ^д₁ = -9 кН×м.

Вторые слагаемые коэффициентов A, B, C, зависящие от вида и величины поперечной нагрузки, будем вычислять отдельно для каждого участка.

Участок 1.

Σ A _п = ql ²cos² θ(1 - cos v)/(v ²sin v) + P ₁ l cos θsin [(1 - K ₁) v ]/(v sin v) + P ₂cos θsin [(1 - K ₂) v ]/(v sin v) = 13×3²×1²(1 - 0,0707)/(2,25×1) + 5×3×1×0,841/(1,5×1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 61,52 кН×м;

Σ B _п = ql ²cos² θ/ v ² = 13×3²×1²/2,25 = 52 кН×м;

Σ C = - ql ²cos² θ/ v ² = -13×3²×1²/2,25 = -52 кН×м.

Участок 2.

Σ A _п = ql ²(1 - cos v)cos² θ/(v ²sin v) - P ₁ l cos θsin (K ₁ v ]/(v tg v) + P ₂ l cos θsin [(1 - K ₂) v ]/(v sin v) = 13×3²(1 - 0,0707)1²/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 52,77 кН×м;

Σ B _п = ql ²cos² θ/ v ² + P ₁ l cos θsin (K ₁ v)/ v = 13×3²×1²/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 = 56,79 кН×м;

Σ C _п = - ql ²cos² θ/ v ² = -13×3²×1²/2,25 = -52 кН×м.

Участок 3.

Σ A _п = ql ²(1 - cos v)cos² θ/(v ²sin v) - P ₁ l cos θsin (K ₁ v)/(v tg v) - P ₂ l cos θsin (K ₂ v)/(v tg v) = 13×3²(1 - 0,0707)1²/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) - 5×3×1×0,841/(1,5×14,1) = 47,39 кН×м;

Σ B _п = ql ²cos² θ/ v ² + P ₁ l cos θsin (K ₁ v)/ v + P ₂ l cos θsin (K ₂ v)/ v = 13×3²×1²/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 + 5×3×1×0,841/1,5 = 65,2 кН×м;

Σ C _п = - ql ²cos² θ/ v ² = -13×3²×1²/2,25 = -52 кН×м.

Коэффициенты A, B, и C равны

C = Σ C _п = -52 кН×м на всех участках.

Определим для всех участков :

Координата первой точки экстремального значения момента x ^э₁ = 0. Для второй точки, предполагая, что она находится на первом участке, определим

ψ₂ = arcsin (A / M) = arcsin (53,02/68,3) = 0,889,

тогда

x ^э₂ = ψ₂ l / v = 0,889×3/1,5 = 1,78 > x _гр1.

Наше предположение оказалось неверным. Определим заново значение ψ₂, предполагая, что точка находится в пределах второго участка,

ψ₂ = arcsin (A / M) = arcsin (44,27/65,14) = 0,747.

Соответствующая координата

x ^э₂ = ψ₂ l / v = 0,747×3/1,5 = 1,494 м.

Эта точка находится в пределах второго участка, так как

x _гр1 < x ^э₂ < x _гр2.

Определим параметр ψ₃ третьей точки, предположив, что она расположена на втором участке,

ψ₃ = arcsin (A / M) + π = arcsin (44,27/65,14) + 3,14 = 3,89.

Соответственно,

x ^э₃ = ψ₃ l / v = 3,89×3/1,5 = 7,78 м > x _гр2.

В предположении, что третья точка находится на третьем участке, находим

ψ₃ = arcsin (A / M) + π = arcsin (38,89/68,3) + 3,14 = 3,75

и

x ^э₃ = 3,75×3/1,5 = 7,5 > l.

Из этого следует, что x ^э₃ = l.

Вычислим значение изгибающего момента в точке x ^э₂:

M ^э₂ = A sin (vx ^э₂/ l) + B cos (vx ^э₂/ l) + C = 44,27 sin (1,5×1,494/3) + 47,79cos (1,5×1,494/3) - 52 = 13,15 кН×м.

Таким образом, экстремальные значения изгибающий момент имеет на концах стержня (M ^э₁ = M ^д₁ = -9 кН×м и M ^э₃ = M ^д₃ = -7 кН×м) и в одной точке в пролете.

По абсолютной величине наибольшим является момент в пролете

M ^э₂ = M ^д₂ = 13,15 кН×м.