Методы математических доказательств

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СРС

СРС 1

Изучение материала по теме «Введение. Математическая логика в системе современного образования» по учебнику: Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов.- М., Академия, 2004, с. 6-14.

Форма отчётности: конспект.

СРС 2

Выполнение семестрового задания № 1 (по вариантам).

СРСП 1

СРСП 2

СРСП 3

СРСП 4

СРСП 5

СРСП 6

№ зад.

№ вар.

1.14 б

1.18 к

1.26 б

1.58 б

2.1 в

2.2 к

2.12 к

2.15 б

1.35 б

1.40 к

3.29

3.55

1.14 в

1.18 и

1.26 в

1.58 в

2.1 г

2.2 и

2.12 и

2.15 в

1.35 в

1.40 и

3.30

3.56

1.14 г

1.18 з

1.26 г

1.58 г

2.1 д

2.2 з

2.12 з

2.15 г

1.35 г

1.40 з

3.31

3.58

1.14 д

1.18 ж

1.26 д

1.58 д

2.1 е

2.2 ж

2.12 ж

2.15 д

1.35 д

1.40 ж

3.33

3.59

1.14 е

1.18 е

1.26 е

1.58 е

2.1 ж

2.2 е

2.12 е

2.15 е

1.35 е

1.40 е

3.34

3.60

1.14 ж

1.18 д

1.26 ж

1.58 ж

2.1 з

2.2 д

2.12 д

2.15 ж

1.35 ж

1.40 д

3.37

3.61

1.14 з

1.18 г

1.26 з

1.58 з

2.1 и

2.2 г

2.12 г

2.15 з

1.35 з

1.40 г

3.38

3.55

1.14 и

1.18 в

1.26 и

1.58 и

2.1 к

2.2 в

2.12 в

2.15 и

1.35 и

1.40 в

3.39

3.56

1.14 к

1.18 б

1.26 к

1.58 к

2.2 к

2.1 в

2.12 б

2.15 к

1.35 к

1.40 б

3.40

3.58

1.15 б

1.17 к

1.27 б

1.59 б

2.2 и

2.1 г

2.11 к

2.16 б

1.36 б

1.39 к

3.41

3.59

1.15 в

1.17 и

1.27 в

1.59 в

2.2 з

2.1 д

2.11 и

2.16 в

1.36 в

1.39 и

3.42

3.60

1.15 г

1.17 з

1.27 г

1.59 г

2.2 ж

2.1 е

2.11 з

2.16 г

1.36 г

1.39 з

3.43

3.61

1.15 д

1.17 ж

1.27 д

1.59 д

2.2 е

2.1 ж

2.11 ж

2.16 д

1.36 д

1.39 ж

3.29

3.55

1.15 е

1.17 е

1.27 е

1.59 е

2.2 д

2.1 з

2.11 е

2.16 е

1.36 е

1.39 е

3.30

3.56

1.15 ж

1.17 д

1.27 ж

1.59 ж

2.2 г

2.1 и

2.11 д

2.16 ж

1.36 ж

1.39 д

3.31

3.58

1.15 з

1.17 г

1.27 з

1.59 з

2.2 в

2.1 к

2.11 г

2.16 з

1.36 з

1.39 г

3.33

3.59

1.15 и

1.17 в

1.27 и

1.59 и

2.1 в

2.2 к

2.11 в

2.16 и

1.36 и

1.39 в

3.34

3.60

1.15 к

1.17 б

1.27 к

1.59 к

2.1 г

2.2 и

2.11 б

2.16 к

1.36 к

1.39 б

3.37

3.61

1.14 б

1.16 к

1.26 б

1.58 б

2.1 д

2.2 з

2.11 к

2.15 б

1.38 б

1.39 к

3.38

3.55

1.14 в

1.16 и

1.26 в

1.58 в

2.1 е

2.2 ж

2.11 и

2.15 в

1.38 в

1.39 и

3.39

3.56

1.14 г

1.16 з

1.26 г

1.58 г

2.1 ж

2.2 е

2.11 з

2.15 г

1.38 г

1.39 з

3.40

3.58

1.14 д

1.16 ж

1.26 д

1.58 д

2.1 з

2.2 д

2.11 ж

2.15 д

1.38 д

1.39 ж

3.41

3.59

1.14 е

1.16 е

1.26 е

1.58 е

2.1 и

2.2 г

2.11 е

2.15 е

1.38 е

1.39 е

3.42

3.60

1.14 ж

1.16 д

1.26 ж

1.58 ж

2.1 к

2.2 в

2.11 д

2.15 ж

1.38 ж

1.39 д

3.43

3.61

1.14 з

1.16 г

1.26 з

1.58 з

2.2 к

2.1 в

2.11 г

2.15 з

1.38 з

1.39 г

3.29

3.55

1.14 и

1.16 в

1.26 и

1.58 и

2.2 и

2.1 г

2.11 в

2.15 и

1.38 и

1.39 в

3.30

3.56

1.14 б

1.18 к

1.26 б

1.58 б

2.1 в

2.2 к

2.12 к

2.15 б

1.35 б

1.40 к

3.29

3.55

1.14 в

1.18 и

1.26 в

1.58 в

2.1 г

2.2 и

2.12 и

2.15 в

1.35 в

1.40 и

3.30

3.56

1.14 г

1.18 з

1.26 г

1.58 г

2.1 д

2.2 з

2.12 з

2.15 г

1.35 г

1.40 з

3.31

3.58

1.14 д

1.18 ж

1.26 д

1.58 д

2.1 е

2.2 ж

2.12 ж

2.15 д

1.35 д

1.40 ж

3.33

3.59

балл

0,5

Задания по учебнику: Игошин В. И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов.- М., Академия, 2005.

Форма отчётности: семестровое задание необходимо сдавать в отдельных тетрадях в сроки, указываемые преподавателем для каждого задания.

СРС 3

Изучение материала по теме «Приложение АВ к логико-математической практике: строение и виды теорем, методы математических доказательств; нахождение всех следствий из посылок, посылок для следствий, недостающей посылки в рассуждении».

Приложение АВ к логико-математической практике

Строение и виды теорем

В большинстве случаев математические предложения формулируются в виде импликативного высказывания.

а) (прямая теорема)

Пример. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб.

б) (обратное предложение)

Примечание. Обратное предложение может и не быть теоремой.

в) (противоположное предложение)

г) (контрапозитивное предложение)

Примечание. Известно, что (по закону контрапозиции). Поэтому, если - теорема, то и контрапозитивное предложение тоже будет теоремой. Аналогично, если будет доказано, что обратное предложение является теоремой, то и противоположное предложение также будет теоремой, или наоборот. Если же будет доказано, что обратное предложение не является теоремой, то и противоположное предложение также не будет теоремой, или наоборот.

Примечание. Но зачастую формулировки теорем имеют более сложную структуру. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1. а) Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны и равны, то этот параллелограмм является квадратом.

Таким образом, данная теорема имеет три равносильные формы.

Для каждой из них можно образовать по одному обратному предложению:

2) ,

кроме этого, обратив импликации во второй и третьей формах, стоящие в «скобках» получим еще два обратных предложения:

Примечание. Полученные пять форм не равносильны и не все из них являются верными предложениями. В дальнейшем в качестве обратных предложений мы будем рассматривать только предложения, имеющие формы-1,4,5.

Произведя конрапозицию форм (1,4,5), получим предложения противоположные к данной теореме:

Произведя контрапозицию исходной теоремы, получим одно контрапозитивное предложение:

II. .

то есть в этом случае прямая теорема распадается на n теорем

Пример 2.

Р₁ – диагонали параллелограмма перпендикулярны,

Р₂ - диагональ является биссектрисой угла,

Q - параллелограмм является ромбом.

а) - прямая теорема.

б) (три неравносильных обратных предложения).

в) - противоположное предложение.

г) - три неравносильных контрапозитивных предложения.

Примечание. Можно рассмотреть и другие структуры теорем.

При формулировках теорем используются термины: необходимо и достаточно.

Если предложение, сформулированное в виде импликации , является теоремой, то

а) Р – достаточное условие для Q,

б) Q – необходимое условие для Р.

		Р по отношению к Q	Q по отношению к P
		не достаточно и не необходимо	не необходимо и не достаточно
		не достаточно, но необходимо	не необходимо, но достаточно
		достаточно, но не необходимо	необходимо, но не достаточно
		достаточно и необходимо	необходимо и достаточно