Все доказанные свойства справедливы для определителей любого порядка

Примеры. Вычислить определители.

1. 1 7 0

2 -1 -3 = 2 - 21*5 + 0 – 0 - (-3)*41 - 14*2 = 2 -105+12-28 =14-133=-119

5 4 2

2. + + +

4 6 -2 1 (-4) (- 6) (2) 0 0 0 1

1 -1 3 5 = -19 -31 13 5 19 31 13

3 -10 2 1 -1 -16 4 1 = -1 1 16 4 =

6 0 12 2 -2 -12 16 2 2 12 16

19 31 13 19 31 13 19 31 13

= -2 1 16 4 = -2 1 16 4 = -2 1 26 0 =

1 6 8 0 -10 4 0 -10 4

= -2 * (12*26*4 + 130 – 31*4) = -4 * (12*26*2 + 65 – 31*2) = -4 * (12*26*2 + 3)

Замечание. Так как всякий определитель связан с квадратной матрицей, то все доказанные свойства можно «привязать» к матрице.

Например. Если элементы двух строк квадратной матрицы равны, то определитель этой матрицы ∆ = |A|=0.

Лекция 2. Обратная матрица.

Число b называют обратным по отношению к числу a, если ab=1 В этом случае b= = a^-1 aa^-1 ≡ 1

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А слева или справа получается единичная матрица: AB=BA=E

Аналогично числам можно ввести понятие обратной матрицы.

В этом случае для обратной матрицы В вводится обозначение В=А^-1.

Из свойств определителей и условия A^-1A=AA^-1=E следует

| А^-1А|=| А^-1||А|

| А^-1|*|А|= 1, |А^-1|= , |А|≠ 0

|А^-1А|=| Е|= 1

Очевидно, говорить о существовании обратной матрицы для матрицы А можно лишь том случае, если │А│≠ 0. В этом случае матрица А называется невырожденной. Если |A|=0, то матрица А называется вырожденной(особенной).

Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы.

│А│≠ 0 - необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Теорема. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А^-1 и при этом единственная, для которой справедливо равенство: А*А^-1 = А^-1 *А = Е

Справедлива следующая теорема.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель |A|. Если │А│≠ 0,то обратная матрица существует.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений матрицы А.

А₁₁ А₁₂ А₁₃

А = А₂₁ А₂₂ А₂₃

А₃₁ А₃₂ А₃₃

3. Полученную матрицу транспонируем

А₁₁ А₂₁ А₃₁

А₁₂ А₂₂ А₃₂ = Ã

А₁₃ А₂₃ А₃₃

Назовём эту матрицу присоединённой.

4. Все элементы присоединённой матрицы делим на определитель |A|.

│А^-1│ = * Ã

Проверка. Если │А^-1│ = * Ã = Е, то обратная матрица найдена верна

Пример. Найдем обратную матрицу, если

4 -8 -5

А = -4 7 -1

-3 5 1

1. 4 -8 -5 24 -43 0

|А| = -4 7 -1 = -4 7 -1 = 24*12- 7*43 = 288 – 301 = -13 -3 5 1 -3 5 1-3 5 1 -7 12 0

-7 12

2. 7 -1 -4 -1

А₁₁ = = 7 + 5 = 12, А₁₂ = - = 7, А₁₃ = 1,

5 1 -3 1

-8 -5 4 -5

А₂₁ = - = -17, А₂₂ = = -11, А₂₃= 4,

5 1 -3 1

А₃₁ = 43, А₃₂= 24 А₃₃= - 4

12 7 1

-17 -11 4;

43 24 -4

3. 12 7 1

Ã = -17 -11 4;

43 24 -4

4. Обратная матрица

- -

А^-1= - -

- -

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы - одно из важнейших для решения многих прикладных задач.

Пусть дана матрица размерности m х n. Вычёркивая произвольно строки и столбцы матрицы, можно в ней вычленять квадратные матрицы различных порядков.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ - ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ 3-ГО ПОРЯДКА

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ - 18 МАТРИЦ 2-ГО ПОРЯДКА.

Например:

а₁₁ а₁₂ или а₂₂ а₂₃

а₂₁ а₂₂ а₃₂ а₃₃

Определители этих матриц назовём минорами соответствующих порядков. Например, минор 3-го порядка

а₁₁ а₁₂ а₁₃ Среди этих миноров могут быть нулевые

а₂₁ а₂₂ а₂₃ и ненулевые миноры.

а₃₁ а₃₂а₃₃.

Определение. Наивысший из порядков минора, отличный от нуля, называется рангом матрицы и обозначается символом rang A=r.

Очевидно: а) rang A≤ min (m, n);

б) если А – невырожденная квадратная матрица, то rang A=n;

Пример. Найти ранг матрицы А

1 4 7 12

А = 3 -1 0 13 rang А≤ min (3;4)

4 16 28 48

Все миноры 3 порядка равны нулю (т.к. элементы 3-й строки в любом миноре пропорциональны элементам 1-й строки).

Рассмотрим минор 2-го порядка 1 4 = - 13 ≠ 0

3 -1

существует минор 2-го порядка не равный нулю. Значит, rang А=2.

Вычисление всех миноров в общем случае достаточно громоздкая операция. Для упрощения этой операции используются преобразования матрицы, сохраняющие её ранг. Такие преобразования называются эквивалентными или элементарными. Они основаны на свойствах определителей:

1. Если ряд матрицы состоит из нулей, его можно отбросить, ранг при этом сохраняется.

2. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

3. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки умножить (разделить) на одно и то же число.

4.Ранг не меняется от перестановки рядов матрицы.

5. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки, умноженные на одно и то же число, прибавить к соответствующим элементам другой строки.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Пример.

1 3 7 2 5 + (3) (-2)

-1 0 4 8 3

3 6 10 -4 7

2 -3 10 4 4

1 3 7 2 5 1 3 7 2 5

0 3 11 10 8 => 0 3 11 10 8 (3)

0 -3 -11 -10 -8 0 -9 -4 0 -6

0 -9 -4 0 -6

1 3 7 2 5 1 3 7

0 3 11 10 8 М = 0 3 11 = 1*3*29 = 87≠ 0

0 0 29 30 18, 0 0 29

rang A_4х5 = 3.