Определители квадратных матриц и их свойства

Матрицы и определители. Основные понятия о матрицах.

 

Понятие матрицы и раздел математики, изучающий матрицы – матричная алгебра, имеет особо важное значение для экономистов, т.к. на использовании этого раздела построены многие экономические дисциплины: в частности «ЭММ и М», «Финансовая математика», «Эконометрика», «Оценка и анализ рисков».

Цель: освоение следующих вопросов:

1.Матрица – это прямоугольная таблица чисел, имеющая размерность (число строк и столбцов).

2.Квадратную матрицу можно связать с числом – ее определителем.

Задача: а) научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков;

б) уметь находить обратную матрицу и проверять правильность решения.

Определение. Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица из элементов любой природы, имеющая mстрок и n столбцов.

 

 

Элементами матрицы могут быть числа, буквы, функции, рисунки, любые знаки.

а₁₁ а₁₂ …. а_1n где i - номер строки, 1≤ i≤ m

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n = (a_ij)_mxn, j – номер столбца, 1≤ j≤ n

………………………

а_m1 a_m2 …. a_{mn m xn}

 

Если m=n, матрица называется квадратной.

Если размерность матрицы 1x n A=(a₁ a₂ … a_n)1_xn, матрица называется строчной или вектор-строка.

Если размерность mx1, матрица называется столбцевой (вектор - столбец).

b₁

B = b₂

….

b_{n mx1}

Если все a_ij= 0, матрица называется нулевой: O = (о)_mxn

a_ij= 0, i≠j

Если m=n и матрица называется диагональной

a_ij≠0, i=j

Например,

2 0 0

А= 0 1 0

0 0 6

Если в диагональной матрице элементами диагонали являются единицы, матрица называется единичной и обозначается

1 0 …. 0

Е =0 1 …. 0

………………….

0 0 …. 1

Матрицы А=(a_ij)_mxn и B=(b_ij)_mxn называются равными, если они имеют одинаковую размерность и совпадают поэлементно.

A=B a_ij=b_ij

Операции над матрицами.

Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.

 

Сложение матриц.

Пусть А=(a_ij)_mxn и B=(b_ij)_mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.

C = A+B=(a_ij +b_ij)_mxn

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А=(a_ij) на число k называется матрица

B=kА=(ka_ij)_mxn

Эти операции подчиняются следующим свойствам:

1. А+В=В+А – переместительность.

2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность

3. А+0=А

4. kA=Ak

5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.

6. (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A – распределительность относительно матричного множителя.

7. k₁Ak₂=(k₁k₂)А=k₁(Ak₂)

Умножение матриц.

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

 

Пусть даны две матрицы А = (аij)mxр и В = (bij)pxn. Произведением этих матриц называется матрица С = (cij)mxn, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

 

… … …. … … b_ij …

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n - i - строка B = … b_2j …

………………………..……………

… b_pj … _pxn

j - столбец

_{j столбец}

 

C_mxn = C_ij ^{i строка}

 

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj

 

Пример.

3 1 6 1 4 3*1+1*2+6*(-1) 12+3-6 - 1 9

0 -1 2 2 3 = 0*1+(-1)*2+2*(-1) 0-2-2 = - 4 -4

5 2 4 3 _x3 -1 -1 _3x2 5+4-4 20+6-4 _3x2 5 22

 

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно умножать. А это означает, что из существования произведения АВ не вытекает существование ВА.

Действительно B_pxn*A_mxp не имеет смысла, если m≠n.

Если перемножаемые матрицы квадратные, то существуют и АВ и ВА, но АВ≠ВА в общем случае, то есть переместительный закон не имеет места при умножении матриц. Другие известные законы справедливы.

1. (А + В)С = АС + ВС (без перестановки)

2. k(AB) = (kA)B = A(kB)

3. ABC = (AB)C = A(BC)

4. AE = EA, если Е, А – квадратные матрицы, одинаковой размерности.

5. A^p = A*A*A…A - (р раз)

 

Транспонирование матриц.

Если в матрице A_mxn строки и столбцы поменять местами, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к исходной матрице.

а₁₁ а₂₁ …. a_m1

A^'=А^т = а₁₂ а₂₂ …. a_m2

…………………

а_1n a_2n …. a_{mn nxm}

Сама операция называется транспонированием.

1.(A')' = A 3.(A+B)' = A'+B'

2.(kA') = kA 4.(AB)' = B' A'

Определители квадратных матриц и их свойства.

A = (a₁₁) ∆=|A| = a₁₁

 

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

A_2x2 = │А₂₂│= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ – число, которое

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ называется определителем 2-го

порядка.

Для матрицы А_3х3 вводится понятие определителя 3-го порядка

.

a₁₁ а₁₂ а₁₃

∆ а₂₁ а₂₂ а₂₃ = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₂₁ а₃₂ а₁₃-а₁₃ а₂₂ a₃₁ -

А₃₁ а₃₂ а₃₃ - а₂₃ а₃₂ а₁₁- а₁₂ а₂₁ а₃₃

 

 

Для вычисления определителя используется правило треугольника

 

 

......

......

......

+ -

Аналогично определителю 3-го порядка вводится понятие определителя n-го порядка

Определение1. Если в определителе 3-го порядка вычеркнуть ряды, содержащие элементы aij, оставшиеся элементы образуют определитель 2-го порядка, который называется минором элемента aij.

 

 

а₂₂ а₂₃

а₁₁ М₁₁= a_ij M_ij

а₃₂ а₃₃

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на (-1)i+j

 

 

aij Аij = (-1)i+j * Mij

для опреде для определителя любого порядка.

 

Например, a₂₁ А₂₁ = - M_21, a₃₁ А₃₁ = M₃₁

Теорема Лапласа. (Докажем для определителей 3-го порядка). Рассмотрим определитель ∆, сгруппировав попарно слагаемые, содержащие элементы какого-нибудь ряда, (например, 1-ой строки.)

 

∆ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₃₂а₁₃ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₂₃а₃₂а₁₁ - а₁₂а₂₃а₃₃ =

= а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

= а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

∆ = а11А11 + а12А12 + а13А13

 

Теорема. Всякий определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на свои алгебраические дополнения.

 

Свойства определителей.

1. В результате транспонирования величина определителя не меняется.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₃₂ а₂₁ а₃₁ а₂₁ а₃₁

∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₂₃ а₃₃ а₂₃ а₃₃ а₂₂ а₃₂

 

0 0 0

2. ∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = 0

а₃₁ а₃₂ а₃₃

 

3. Общий множитель элементов какого-нибудь ряда можно вынести за знак определителя.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

kа₂₁ kа₂₂ kа₂₃ = ka₂₁A₂₁+ ka₂₂A₂₂ + ka₂₃A₂₃ = k ∆

а₃₁ а₃₂ а₃₃

4. Если в определителе две строки (два столбца) поменять местами, определитель меняет знак на противоположный.

5. Если в определителе два столбца одинаковые, определитель равен нулю.

 

а₁₂ а₁₁ а₁₃

∆ = а₂₁ а₂₁ а₂₃ = -∆ (Если поменять 1 и 2 столбцы местами, св.4);

а₃₁ а₃₁ а₃₃

 

6. Если в определителе элементы двух рядов пропорциональны, определитель равен нулю. Вытекает из свойств 3 и 5.

7. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения другого ряда равна нулю.

Доказательство:

Рассмотрим определитель

а₃₁ а₃₂ а₃₃

∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = 0 (по свойству 5)

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Разложим этот определитель по элементам 1-й строки (теорема Лапласа). ∆ = a₃₁А₁₁ + а₃₂А₁₂+ а₃₃А₁₃ = 0. Здесь мы видим сумму произведений элементов третьей строки определителя ∆ и алгебраических дополнений 1-й строки, и эта сумма равна нулю.

8. Сумма произведений чисел b₁, b₂ , b₃ на алгебраические дополнения любого столбца равна определителю, который получается из данного определителя заменой элементов этого столбца столбцом из чисел b₁, b₂, b₃.

b₁ а₁₂ а₁₃

b₁A₁₁+ b₂A₂₁ + b₃A₃₁ = b₂ а₂₂ а₂₃

b₃ а₃₂ а₃₃

9. Если элементы какого-нибудь ряда, умноженные на одно и тоже число, прибавить к соответствующим элементам другого ряда, величина определителя не изменится.

 

 

а₁₁ а₁₂ а₁₃+k а₁₁

а₂₁ а₂₂ а₂₃+k а₂₁ = (a₁₃+ka₁₁)A₁₃+(a₂₃+ka₂₁)A₂₃+(a₃₃+ka₃₁)A₃₃=

а₃₁ а₃₂ а₃₃+k а₃₁

= a₁₃A₁₃+a₂₃A₂₃+a₃₃A₃₃+k(a₁₁ A₁₃+a₂₁ A₂₃+a₃₁ A₃₃)= ∆ + k0 = ∆

_{(из свойства 7)}

10. Для квадратных матриц |AB|=|A|*|B|