ЛЧХ контура с отрицательной обратной связью

Экзаменационный билет № 16

1. Форсирующее звено. Звено чистого запаздывания.

2. Методика построения логарифмической частотной характеристики САУ: параллельное соединение звеньев.

 

Форсирующее звено.

Q, град

Дифференциальное уравнение переходная функция передаточная функция

 

 

Пример: ПД-регулятор.

 

Звено чистого (транспортного) запаздывания.

u - скорость перемещения ленты;

Q₁ – объем сыпучего продукта в единицу времени,подается через шибер;

Q₂ – выход продукта.

 

Время чистого запаздывания .

 

В природе нет ни одного процесса без чистого запаздывания.

 

 

преобразуем по Лапласу это выражение (теорема запаздывания), получим отсюда

 

 

 

 

 

 

Ряд Паде

Аппроксимация, соответствующая n=2 при применении функции pade, Т=1с:

Рассмотренные выше наиболее часто встречающиеся на практике основные типы звеньев характеризуются отсутствием корней с положительной вещественной частью уравнений числителя (т.е. нулей передаточных функций) и знаменателя (т.е. полюсов) называются МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ. Из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые звенья обладают наименьшими по абсолютным значениям фазовыми характеристиками; второе их важное свойство – однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик (т.е. по амплитудной характеристике можно определить фазовую и наоборот.

- неминимально-фазовое звено.

 

 

2. Методика построения логарифмической частотной характеристики САУ: параллельное соединение звеньев.

Статические системы.

 

Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев 1 порядка, имеет вид в реальных системах n£(m-n).

 

Отобразим W(р) в область преобразований Фурье; преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме и расположим в порядке убывания величины Т_i:

 

Тогда

 

 

Алгоритм построения ЛАЧХ:

1. На оси w нанесите точки w_i=1/T_i. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии.

2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии.

3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном
-20 дБ/дек´u(u – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20 дБ/дек´u для дифференцирующих звеньев первого порядка.

4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20 дБ/дек´u (+20 дБ/дек´u) на следующей вертикальной линии до полного построения L(w).

Примечания:

1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи w_i=1/T_i, вдали с асимптотами: левой 0 дБ/дек, правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

3. ЛФЧХ строятся с использованием шаблонов или по точкам, рассчитанным аналитически.

 

Астатические системы.

 

Построение ЛАЧХ астатических систем 1-го порядка начинается с определения базовой частоты w_б=k, где k - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования и построения вспомогательной прямой с наклоном -20 дБ/дек влево от w_i; затем слева до первой штриховой вертикальной линии, построенной по пункту 1 алгоритма, по этой прямой проводится контурная линия и далее по правилу построения, кроме пункта 2.

Построение ЛАЧХ астатических систем 2-го порядка отличается от построения ЛАЧХ астатических систем 1-го порядка значением частоты и наклоном вспомогательной линии -40 дБ/дек, в остальном методика построения совпадает.

 

ЛЧХ контура с отрицательной обратной связью.

 

 

Аналитический метод построения ЛЧХ контура с единичной ООС.

отсюда

 

 

Построение ЛЧХ контура по номограммам замыкания (Никольса).

 

Пусть амплитудно-фазовая частотная функция замкнутой системы имеет вид

 

(1) причем ,

Амплитудную и фазовую частотные функции замкнутой системы А_з(w) и q_з(w) можно выразить через А(w) и разомкнутой цепи.

Согласно формуле (1) имеем

или, взяв обратные величины слева и справа, получим новое равенство

Подставим сюда и приравняем затем отдельно вещественные и мнимые части. Получим два равенства

Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый результат

 

 

 

L(w₁)

 

L₃(w₁)

 

q₃(w₁)

 

 

 

 

Чтобы не иметь дело на практике с этими формулами, составлены НОМОГРАММЫ ЗАМЫКАНИЯ.

Отложив на осях абсцисс и ординат заданные значения q(w₁) и L(w₁), находим значения 20lgА_з(w₁) и q(w₁) на поле номограммы в точке с этими координатами. Таким образом по точкам строится вся частотная характеристика замкнутой системы.

Если контур с неединичной ООС, то его следует преобразовать к контуру с единичной ООС.

где W_А(jw)=W_ПК(jw)×W_ОС(jw). Тогда ЛЧХ замкнутой системы строится в два приёма:

вначале строятся ЛЧХ контура с единичной ООС, затем строятся ЛЧХ функции и, наконец, результирующие ЛЧХ системы: и
Экзаменационный билет № 17

1. Передаточная функция САУ.

2. Анализ качества САУ в динамике.

 

Передаточная функция САУ

 

Передаточной функцией звена (системы) называется отношение изображений Лапласа выходной функции к входному воздействию при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция звена есть математическое выражение, показывающее динамические свойства звена через его параметры.

Эталонная передаточная функция – отношение изображений Лапласа требуемой (безошибочной) выходной функции к заданному входному воздействию при нулевых начальных условиях слева. Эта функция устанавливает заданную форму безошибочного преобразования входного воздействия в выходную функцию.

Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях полученное выше дифференциальное уравнение трёхкоординатной системы управления (3), используя следующую теорему.

Теорема:

Пусть где Ф-класс преобразуемых по Лапласу функций, тогда справедливо ледующее преобразование

В результате преобразования при равных нулю возмущающем воздействии и его производных получим:

отсюда - передаточная функция по каналу управления;

если в уравнении (3) принять входное воздействие и его производные равными нулю, то получим - передаточная функция по каналу возмущения.

Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом, а, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни знаменателя называются полюсами, а корни числителя – нулями.

Передаточная функция зависит от конструкции устройства и свойств материала конструкции, но не зависит от входных воздействий и выходной функции.

Структурная схема объекта имеет вид

 

Пусть структурная схема исходной САУ преобразована в эквивалентную так, что отсутствуют перекрёстные связи и прямые параллельные цепи, и пусть известны передаточные функции динамических звеньев, тогда передаточная функция элементарного (без внутренних обратных связей) замкнутого контура и всей САУ имеет вид где Wпк(p) – передаточная функция прямого канала САУ, Wос(p) – передаточная функция обратной связи, причём знак “+” в знаменателе соответствует отрицательной, а знак “-” - положительной обратной связи. Если входное воздействие инвертируется в цепи от точки входа до выхода, то передаточная функция записывается со знаком “-”.

Правило определения передаточной функции замкнутой САУ