Розклад вектора за базисом, ,. Координати вектора

Візьмемо прямокутну декартову систему координат в просторі і разом з нею три одиничні вектори , і . Домовимося, що:

1) початок векторів , і співпадає з початком аоординат;

2) вектори , і мають одинакові напрями з додатними напрямами осей координат Ox, Oy і Oz відповідно.

Означення 13. Сисатема векторів , і називається декартовим прямокутним базисом.

Теорема. Будь-який вектор можна розкласти по базису , і , тобто

=a_x + a_y + a _z ,

де a_x , a_y і a_{z –} координати вектора .

Операції над векторами, заданими координатами. Рівність і колінеарність двох векторів

1. Операції над векторами. Якщо відомі координати векторів, то операціям над векторами відповідають арифметичні операції над їхніми координатами.

Нехай задано вектори , і дійсне число , тоді:

, .

2. Рівність векторів. Нехай вектори та рівні, тобто мають однакові довжини і напрями, тоді мають місце рівності:

.

Справедливе і обернене твердження: якщо рівні координати двох векторів, то рівні і вектори.

3. Колінеарність двох векторів. Необхідною і достатньою умовою колінеарності двох векторів та , є пропорціональність їхніх координат:

. (8)

Справді, якщо вектори і колінеарні, то має місце рівність = m . Тоді з умови рівності двох векторів можемо записати рівності: , з яких випливає формула (8).

Скалярний добуток двох векторів

 

Означення 14. Скалярним добутком двох векторів і і позначається · називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними, тобто

.

Якщо вектори перпендикулярні один до одного то скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто

· = 0.

Якщо вектори задані своїми координатами, то скалярний добуток цих векторів обчислюється за формулою

· = a_x b_x + a_yb_y +a_zb_z

 

Довжина вектора, заданого координатами. Відстань між двома точками

Нехай вектор заданий своїми координатами: . Тоді довжина вектора або його модуль обчислюється за формулою

Нехай задано точки A (x_a; y_a; z _a) і B (x_b; y_b; z_b). Тоді відстань між цими точками обчислюється за формулою:

Кут між двома векторами

Знаючи правило обчислення скалярного добутку, можна знайти косинус кута між векторами

.

Якщо вектори задані своїми координатами: і , тоді косинус кута між векторами обчислюється за формулою

.

Приклад 3. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та .

Розв’язання. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (див. рис. 18).

D C

 

A B

 

Рис.18

Позначимо цей паралелограм через ABCD ( та – довільні). Тоді

; ; ; ; .

Отже, діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та будуть вектори та . Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та :

,

.

Тепер за формулою для косинуса кута між векторами можна знайти косинус потрібного кута, який позначимо через j

.

З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.