Характеристика форми розподілу

Аналіз статистичної сукупності можна зробити більш повним, якщо відобразити закономірності співвідношення варіант та частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Вона є мо­деллю реального явища в цілому. Якщо крива побудо­вана за даними спостереження, то вона має назву емпіричної кривої.

За своєю формою криві розподілу поділяються на симетричні та асиметричні. Якщо в асимет­ричному розподілі вершина зміщена вліво, то ми маємо правосторонню асиметрію («правий хвіст»), і навпаки. Криві бувають одно-, дво- і багатовершинні. Багатовершинність свідчить про неоднорідність су­купності. Залежно від форми вершини криві розподілу бувають гостро- і плосковершинні. Ступінь асиметрії та гостровершинності вимірюють за допомогою кое­фіцієнта івасиметрії та ексцесу, які позна­чають, відповідно, як А та Е. При нормальному розпо­ділі Е = 3, при гостроверхому Е > 3, при гаюско-верхому Е < 3 (рис. 3.6, 3.7). Тобто можна вести мову про більшу чи меншу гостро(плоско)верхість.

Рис. 3.7. Плосковерхий розподіл. Коефіцієнт асиметрії можна розраховувати за про­стою формулою таким чином

, або

Значення А, може бути позитивним і негативним. У симетричному розподілі А = 0, при правостороннін асиметрії А > 0, при лівосторонній - місце відхилення від 0 в той чи інший бік, то можна вести мову про більшу чи меншу асиметрію.

Характеристики форми розподілу грунтуються на моментах розподілу. Момент розподілу - це се­редня k-гo ступеня відхилень х - а.

Залежно від величини а моменти поділяються на первинні (а = 0), центральні (а = х) і умовні (а = const). Ступінь k визначає порядок моменту [2]. В літературі звичайно записують

Тоді

, а

де ;

Тобто для розрахунку коефіцієнта асиметрії та екс­цесу насамперед необхідно розрахувати моменти тре­тього та четвертого ступеня.

Особливе місце серед кривих розподілу займає нормальна крива, яка відображає нормальний розподіл (див. рис. 3.4), або розподіл Гауса. Він є результатом впливу необмеженої кількості незалеж­них один від одного факторів, що зустрічається в при­роді дуже часто. Поняття нормального розподілу по­кладено в основу багатьох методів статистики.

Розглянемо приклад, який ілюструє методику роз­рахунку усіх показників варіації та форми розподілу.

Приклад 3. 7

Маємо дані про виконання норм виробітку ро­бітниками одного з цехів заводу (табл. 3.7).

 

 

Таблиця 3.7.

Розподіл робітників за виконанням норм виробітку

Групи за виконанням норм виробітку, %	Кількість робітників, чол.	Середина інтервалу, х’	Кумулята,	x*f	Відхилення від середньої
До 100		97,5			-12,3
100-105		102,5			-7,3
105-110		107,5			-2,3
110-115		112,5			2,7
115-120		117,5			7,7
120 і вище		122,5			12,7
Разом		х	Х		х

 

Так як дані згруповані, середнє розраховується за формулою середньої арифметичної зваженої:

 

Для розрахунку показників варіації побудуємо табл. З.8.

 

 

Таблиця 3.8

Розрахунок показників варіації та форми розподілу

Групи
	147,6	1815,48	-22330,4	274663,9
	146,0	1065,80	-7780,3	56796,5
	112,0	423,20	-973,4	2238,7
	124,2	355,34	905,4	2444,6
	277,2	2734,44	16435,2	126550,9
	76,2	967,74	12290,3	156086,8
Разом	883,2	7362,00	-1453,2	618781,4

 

У табл. 3.8 в графах 1-2 наведені проміжні дані, які розраховані для зручності користування форму­лами. Використаємо їх для розрахунку середнього лінійного відхилення та дисперсії для згрупованих да­них:

Середнє квадратичне відхилення:

Відносні характеристики варіації: а) лінійний коефіцієнт варіації

або

Відносно низькі коефіцієнти варіації свідчать про однорідність сукупності робітників за виконанням норм виробітку.

Для характеристики форми розподілу використаєм коефіцієнт асиметрії та ексцесу через моменти третьо­го та четвертого порядку

Розраховані значення свідчать про те, що розподіл робітників за виконанням норм виробітку лівосторон­ній з невеликою плосковерхістю. Побудуємо графік розподілу (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Гістограма розподілу робітників за виконанням норм виробітку.

 

Питання для самоконтролю.

1. Назвіть елементи варіаційного ряду розподілу. В чому різниця між частотою та частістю?

2. Якими будуть ряди розподілу квартир за числом кімнат та за густотою їх заселення (чол./кімн.)? Дискретними чи інтер-вальними?

3. Чому середня є абстрактною величиною і чому узагальнюю­чою?

4. Чому дорівнює середня заробітна плата в колективі, одна час­тина якого має заробіток 100 грн., друга — 500 грн.?

5. Назвіть характеристики центру ряду розподілу за ознакою «професія».

6. Яким чином зміниться середній оклад співробітників кафед­ри, якщо одній половині його збільшити удвічі, другій - уд­вічі зменшити.

7. Назвіть характеристики центру ряду розподілу за ознакою «рівень кваліфікації».

8. Чи для кожної групи студентів чисельністю 25 чол. можуть бути знайдені такі характеристики, як мода та медіана для ря­ду розподілу за віком; за статтю?

9. На підставі наведених даних за місяць визначити середню ча­стку продукції вищої якості та середню продуктивність праці одного робітника для всіх бригад. Поясніть, які види середніх слід вживати в даному випадку і чому. Продуктивність праці визначається як обсяг продукції, виробленої одним ро­бітником за місяць.

Вид бригади	Число бригад	Обсяг ви­робленої за місяць про­дукції	Частка про­дукції вищої якості,%	Середня про­дуктивність од­ного робітника, тис. грн.
Спеціалізо­вана			96.0
Комплексна			92.6

10. На основі таких даних обчислити дисперсію освіти пра­цівників фірми:

Освіта	Частка робітників, %
середня
середня спеціальна
вища

11. Обчислити характеристики такого ряду розподілу:

№ робітника
Заробіток, грн

 

12. Які ознаки називають дискретними; неперервними?

 

 

ТЕМА 4 Вибіркове спостереження

ПЛАН ЛЕКЦІЇ

4.1. Вибіркове спостереження, причини та умови його застосування.

4.2. Види та схеми відбору.

4.3. Помилки вибірки.

4.4. Визначення необхідної чисельності вибірки.

4.5. Особливості малої вибірки.