Правило сложения дисперсий

Изучая дисперсию признака в совокупности и проводя расчеты помощью общей средней, нельзя оценить влияние отдельных факторов на колеблемость индивидуальных значений призна­ка.

Это можно сделать с помощью метода группировок: единицы изучаемой совокупности подразделяются на однород­ные группы по признаку-фактору.

В случае разделения совокупности на группы по какому-либо признаку существует возможность оценки влияния этого признака-фактора на колеблемость индивидуальных значений.

Наряду с изучением вариации признака по совокупнос­ти в целом, появляется возможность проследить количественные изменения признака: 1) по группам, на которые разделяется сово­купность; 2) а также между группами.

При этом кроме общей сред­ней для всей совокупности исчисляются:

- средние по отдельным группам (групповые или частные средние);

- три показателя дис­персии:

• общая дисперсия ;

• межгрупповая дисперсия ;

• средняя внутригрупповая дисперсия .

Общая дисперсия характеризует вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов ее вызывающих:

,

где: - общая средняя арифметическая для всей совокупности;

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует вариацию индивидуальных значений признака под влиянием признака-фактора, лежащего в основе группировки. По сути, межгрупповая дисперсия – это мера колеблемости групповых средних вокруг общей средней :

,

где: - групповая средняя (средняя по отдельной группе);

- число единиц в отдельной группе;

Средняя внутригрупповая дисперсия - характеризует колеблемость признака в среднем внутри групп в результате влияния всех остальных неучтенных факторов:

= ,

где - внутригрупповая дисперсия отдельной группы, дает оценку колеблемости признака внутри каждой ой группы.

Средняя внутригрупповая дисперсия дает обобщенную характеристику внутригрупповой колеблемости вокруг групповых средних

Между указанными дисперсиями существует взаимосвязь, которая называется правилом сложения дисперсий: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой и средней внутригрупповой дисперсии:

.

Это правило показывает, что общая вариация признака в совокупности складывается из вариации признака внутри отдельных групп и вариации между ними.

Разные виды дисперсий широко используют для исчисления показателей тесноты связи между признаками. Показателями тесноты связи служат эмпирическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации.

В частотности, на основании правила сложения дисперсии рассчитывается эмпирическое корреляционное отношение («эта»). Этот показатель позволяет определить тесноту связи между факторным (группировочным) и результативным признаками. Он определяется по формуле:

,

Эмпирическое корреляционное отношение может быть толь­ко положительным. Качественная интерпретация показателя связи осуществляется с помощью шкалы Чэддока (табл. 6.3).

Таблица 6.3