Виды степенных средних и методы их расчета

 

Степенные средние величины объединяются в общей формуле степенной средней (при различной величине к):

1. простая степенная средняя – рассчитывается по несгруппированным данным с помощью формулы:

2. взвешенная степенная средняя - рассчитывается по сгруппированным данным с помощью формулы:

где: - средняя величина; к – показатель степени средней; - индивидуальные значения (варианты) признака, ; - частота; - число единиц (объем) совокупности.

Средняя считается простой, если индивидуальные значения признака встречаются один или одинаковое число раз; взвешенной – неодинаковое число раз. В этом случае частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах взвешенных средних.

В зависимости от значений показателя степени средней к выделяют несколько видов степенных средних. Формулы расчета степенных средних приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Формулы степенных средних величин

Вид степенной средней	Показатель (к)	Формула средней
простая средняя	взвешенная средняя
Гармоническая	-1	=	=
Геометрическая		=	=
Арифметическая		=	=
Квадратическая		=	=
Кубическая		=	=

 

Указанные формулы можно получить из соответствующих формул для простой и взвешенной степенной средней при значениях к =-1; 0; 1; 2; 3.

Например, выведем формулы средней гармонической простой и взвешенной при к = -1.

.

где - статистический вес.

Аналогично можно вывести остальные формулы средних величин. При выводе средней геометрической требуется знание теории пределов.

При расчете средних по одним и тем же данным получаются разные результаты. В этом случае действует правилом мажорантности средних: с увеличением показателя степени средней к увеличивается и соответствующая средняя величина, т.е.

< < < <

Рекомендуется использовать разные виды средних в зависимости от вида статистических данных и конкретной ситуации.

В частности, форма, вид и методика расчета средней величины зависят от:

§ цели исследования;

§ вида и взаимосвязи изучаемых признаков;

§ характера исходных данных.

На практике среднюю во многих случаях можно определить с помощью исходного соотношения средней (ИСС) и ее логическую формулу:

.

Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом средних величин явля­ется средняя арифметическая. Она широко применяется в плановых расчетах, при выявлении взаимосвязей между признаками с помощью группировок. Следует заметить, что если вид средней величины не указывается, то подразумевается средняя арифметическая.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имело бы каждая единица совокупности, если общий итог всех значений признака равномерно распределить между всеми единицами совокупности.

Пример 5.1. Рассчитать средний стаж работы 5-ти сотрудников фирмы: 7, 5, 3, 2, 4.

Решение. Варианты не повторяются, значит, применяется формула средней арифметической простой = = года.

Пример 5.2. Рассчитать средний стаж работы 20-ти сотрудников предприятия: 7, 7, 5, 3, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 5, 3, 2, 3.

Решение. Варианты повторяются с различной частотой , поэтому применяется формула средней арифметической взвешенной = = года.

 

В интервальных вариационных рядах переходят к серединам соответствующих интервалов. Величина открытых интервалов (первого и последнего) приравнивается к величине примыкающих к ним (второго и предпоследнего) интервалов.

С помощью средних обобщаются не только абсолютные, но и относительные значения варьирующего признака. Тогда в качестве веса используется частость (в процентах или долях единицы), т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:

- доля каждой группы в общем числе единиц совокупности.

Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

.

Если частоты выражены в долях (коэффициентах), то . В итоге формула средней арифметической упрощается: