Методические рекомендации по решению задач

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.. 3

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 4

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 6

СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ 7

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. 15

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ... 29

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. 29

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2. 30

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 32

 

ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

Настоящие методические указания составлены на основе ФГОС ВПО по направлению 040400.62 «Социальная работа», утвержденного 8 декабря 2009 г. и рабочего учебного плана данного направления.

Целью дисциплины «Математика» является подготовка в соответствии с квалификационной характеристикой бакалавра и рабочим учебным планом направления подготовки 040400.62 Социальная работа.

Задачи изложения и изучения дисциплины – дать необходимые знания по основам математики для решения задач в профессиональной деятельности.

Процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 040400.62 Социальная работа. Профиль: социальная защита и социальное обслуживание семей и детей:

а) общекультурных (ОК):

– владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);

– уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);

– использовать в профессиональной деятельности основные законы естественнонаучных дисциплин, в том числе медицины, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10).

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знатьосновы аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциальных и интегральных исчислений;

Уметь использовать математические модели явлений и процессов в социальной работе;

Владетьматематическими методами исследования в социальной работе.

Для изучения данной дисциплины студентам необходимо усвоение математики в объеме курса общеобразовательного учреждения. Усвоение других дисциплин не требуется.

 

 

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Общая трудоемкость дисциплины составляет

5 зачетных единиц, 180 часов.

№ п\п	Содержание разделов (модулей), тем дисциплины	Количество часов, выделяемых на виды учебной подготовки
Лекции	ПР	СР
	1 семестр
	Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Вектор в декартовых координатах. Операции над векторами, свойства операций. Матрицы. Основные операции над матрицами. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Прямая на плоскости. Кривые второго порядка. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
	Функции. Предел и непрерывность.
Понятие множества и функции. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация.
	Дифференциальное исчисление.	0,5	0,5
Производная и ее геометрический смысл. Таблица производных основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Касательная и нормаль к плоской кривой. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Исследование функций и построение графиков с помощью производной.	0,5	0,5
	Первообразная и интеграл	1,5	1,5
Первообразная и неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования.
Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла.	0,5	0,5
	Функции нескольких переменных.	0,5	0,5
Частные производные ФНП. Градиент и производная по направлению. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия.	0,5	0,5
	Дифференциальные уравнения.	1,5	1,5
Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.	0,5	0,5
	Ряды.
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Знакопостоянные ряды, признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости.	0,5	0,5
Степенные ряды. Центр и радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций.	0,5	0,5
	Всего в 1-м семестре:
	Итого:

 

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. В.С.Щипачев. Задачник по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. - М., Высшая школа, 2002. – 304с.: ил.

2. Общий курс высшей математики для экономистов. Учеб. пособие под ред. В.И.Ермакова - М.: Инфра,2006-33с

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие под ред. В.И.Ермакова - М.: Инфра,2006-516с

 

Дополнительная

4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 2000.- 439 с.

5. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. / под ред. С.Н. Фетина. - М.: Айрис-пресс, 2006. – 592 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. - М.: Айрис-пресс, 2006. – 592 с.

СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема: Линейная алгебра

Вектор в декартовых координатах. Операции над векторами, свойства операций. Линейная зависимость и независимость векторов.

Матрицы, виды матриц. Основные операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Цель: освоить основные понятия: вектора, матрицы и определителя; закрепить навыки выполнения операций над матрицами и векторами; закрепить навыки вычисления определителей и систем линейных алгебраических уравнений.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи № 1, №2, №3 из контрольной №1; при вычислении определителей используйте их свойства; при решении вопроса о наличии решения СЛАУ удобнее находить ранг матрицы.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Приведите определение матрицы, определителя и вектора.

2. Сформулируйте основные операции над матрицами.

3. Перечислите свойства определителей.

4. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента матрицы?

5. Приведите методы вычисления определителей второго и третьего порядка.

6. Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.

7. Дать определение СЛАУ.

8. Сформулируйте основные методы решения СЛАУ.

 

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между прямыми. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Цель: освоить основные понятия аналитической геометрии на плоскости и в пространстве; закрепить навыки построения прямых на плоскости и кривых второго порядка.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу № 4 из контрольной №1; при построении кривых второго порядка рекомендуется приводить их уравнения к каноническому виду.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте основные понятия системы координат на плоскости.

2. Как осуществляется решение основных задач на плоскости: нахождение расстояния между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении.

3. Приведите различные виды уравнения прямой на плоскости.

4. Запишите формулы для нахождения угла между двумя прямыми, признаки параллельности и перпендикулярности прямых, расстояние от точки до прямой.

5. Запишите канонические уравнения кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

6. Основные виды уравнений плоскости в пространстве: общее, проходящей через три точки, проходящей через точку, перпендикулярно заданному вектору, в отрезках, нормальное уравнение.

7. Как найти угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до плоскости?

 

Тема: Функция. Предел и непрерывность функции.

 

Понятие множества. Основные операции над множествами. Функция. Основные свойства функций. Элементарные функции и их графики. Предел последовательности и его свойства. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва и их классификация. Теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Цель: освоить основные понятия теории пределов, теории множеств; закрепить навыки вычисления пределов и определения непрерывности функции.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе; при вычислении пределов помните о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых величин.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Дайте определение функции.

2. Перечислите способы задания функции.

3. Сформулируйте характеристики функции: область определения, множество значений, четность, периодичность, монотонность, промежутки знакопостоянства, точки экстремума.

4. Сформулируйте определение предела функции в точке, односторонних пределов, предела функции на бесконечности.

5. Дайте определение бесконечно малых и бесконечно больших функций и перечислите их свойства.

6. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

7. Запишите первый и второй замечательные пределы и их следствия.

8. Перечислите основные способы вычисления пределов.

9. Дать определение непрерывности функции в точке, на интервале, на отрезке.

10. Как классифицируются точки разрыва функции?

 

Тема: Дифференциальное исчисление.

 

Производная и ее геометрический смысл. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Теоремы о производных. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Касательная и нормаль к плоской кривой. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Исследование функций и построение графиков с помощью производной.

Цель: освоить основные понятия дифференциального исчисления; закрепить навыки нахождения производных и применение производных и дифференциалов.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи №5, №6, №7, №8 из контрольной №1; при нахождении производных и дифференциалов необходимо использовать таблицу производных и правила дифференцирования. Исследование функций необходимо проводить в соответствии с планом исследования.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Дать определение производной.

2. Сформулировать правила вычисления производной.

3. Сформулируйте основные теоремы дифференцирования.

4. Сформулируйте определения и теоремы об основных характеристиках функции: возрастание и убывание, максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение, выпуклость и вогнутость.

5. Как найти асимптоты графика функции?

6. Приведите схему полного исследования функции.

7. Как применяется формула Тейлора?

 

Тема: Неопределенный интеграл.

 

Первообразная и неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование; замена переменной; интегрирование по частям; тригонометрические подстановки. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Цель: освоить основные понятия интегрального исчисления; закрепить навыки вычисления неопределенных интегралов.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу № 9 из контрольной №1; при вычислении неопределенного интеграла необходимо использовать таблицу первообразных и свойства интегралов, а также помнить, что при замене переменной необходимо после вычисления интеграла вернуться к исходной переменной.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Сформулируйте определение неопределенного интеграла.

2. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

3. Как осуществляется метод интегрирования заменой переменной?

4. Приведите формулу интегрирования по частям.

 

 

Тема: Определенный интеграл.

 

Понятие интегральной суммы. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Понятие несобственного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур.

Цель: освоить основные понятия интегрального исчисления; закрепить навыки вычисления определенных интегралов и приложения к нахождению площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения и длины дуги кривой.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу 1 из контрольной работы №2; при вычислении определенного интеграла необходимо использовать таблицу первообразных и свойства интегралов также как и при вычислении неопределенных интегралов. При использовании метода интегрирования – замена переменной, достаточно перейти к новым пределам интегрирования и тогда после нахождения интеграла возвращаться к исходным переменным не требуется.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Показать, что определенный интеграл есть предел интегральной суммы.

2. Пояснить геометрический и физический смысл определенного интеграла.

3. Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница и основные свойства определенного интеграла.

4. Какие методы интегрирования определенного интеграла и в чем отличие от таких же методов для неопределенного интеграла?

5. Как применяются определенные интегралы?

Тема: Функции нескольких переменных.

 

Функции нескольких переменных (ФНП). Способы задания. Линии уровня.

Частные производные ФНП. Частные дифференциалы и полный дифференциал ФНП. Частные производные высших порядков. Градиент и производная по направлению. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Цель: освоить основные понятия функции многих переменных; закрепить навыки нахождения производных и дифференциалов.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи №2, №3, №4 из контрольной работы №2; при нахождении частных производных следует помнить, что если по одной переменной функцию дифференцируем, то остальные переменные этой функции считаются постоянными.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Дать основные понятия ФНП.

2. Сформулировать определение предела функции и непрерывности функции двух переменных

3. Как находятся частные производные первого и второго порядка?

4. Что такое полный дифференциал?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума.

Тема: Ряды.

 

Числовые ряды. Основные понятия и определения. Необходимый признак сходимости числового ряда. Знакопостоянные ряды и их признаки сходимости: Даламбера, интегральный признак Коши, сравнения. Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

Цель: освоить основные понятия темы ряды; закрепить навыки исследования рядов на сходимость.

Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе; составьте краткий конспект изучаемой темы.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Что называется числовым рядом?

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости числового ряда.

3. Какие достаточные признаки сходимости числовых рядов вы знаете?

4. Какие числовые ряды называются абсолютно и условно сходящимися?

5. Как найти интервал и радиус сходимости степенного ряда?

 

Тема: Дифференциальные уравнения.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Цель: освоить основные понятия темы дифференциальные уравнения; закрепить навыки решения основных видов дифференциальных уравнений. Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи №5, №6, №7 и №8 из контрольной работы №2; при решении дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными необходимо следить за появлением особых решений, так как возможна их потеря в результате преобразования уравнений.

Рекомендуемая литература:

Основная: [1]-[3].

Дополнительная: [4] – [6]

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Дать определение дифференциального уравнения.

2. Что значит решить задачу Коши?

3. Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?

4. Что такое характеристическое уравнение?

5. Как найти общее и частное решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Задача 1

Даны векторы и . Найти вектор = + , скалярное произведение ( · ) и модуль вектора , где = (1; 4; -1; -5), = (5; -1; 5; 2).

Решение:

Вектор находится как сумма двух векторов и . Для того чтобы найти сумму двух векторов заданных координатами необходимо сложить их соответствующие координаты.

= + = (1; 4; -1; -5) + (5; -1; 5; 2) = (6; 3; 4; -3).

Скалярное произведение векторов – это число, полученное как сумма произведений соответствующих координат векторов.

· = 1·5 + 4·(-1) + (-1)·5 + (-5)·2 = -14

Длина вектора находится по формуле:

, где = .

Тогда:

 

Задача 2

Найти значение матрицы D = A · B – C² и вычислить ее определитель, если даны матрицы:

A = , B = , C = .

Решение:

Для того чтобы найти значение матрицы D, необходимо в первую очередь найти произведение матриц А и В. Операция умножения двух матриц возможна только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, тогда . Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где i = 1,.. m; k = 1,... p, то есть элемент i -й строки и k -го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы k -го столбца матрицы B. Тогда произведение двух матриц A и B:

Аналогично находим С² , как произведение матрицы С на саму себя, то есть:

Для того, чтобы найти разность двух матриц необходимо найти разность соответствующих элементов этих матриц:

Вычислим определитель матрицы D разложением по первой строке, так как первая строка содержит больше всего нулей:

Задача 3

Решить систему из трех уравнений

a) по формулам Крамера;

b) методом Гаусса.

Решение:

a) При решении системы с использованием формул Крамера необходимо составить определители. Обозначим ∆ - главный определитель системы (составляется из коэффициентов при переменных), а ∆_i - дополнительные определители (составляются из главного путем замены i -того столбца коэффициентов на столбец свободных членов). Формулы: , где i = 1,... n называются формулами Крамера.

Составим определители и вычислим их:

18, 54, 36, 18. Значит, , , .

b) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

Для решения данной системы уравнений составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. С помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

В результате исходная система преобразовалась к ступенчатой (восстановим запись системы из полученной ступенчатой матрицы):

Решение данной системы: x = 3, y = 2, z = 1.

 

Задача 4

a) Найти точку пересечения прямых и

b) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) перпендикулярно к прямой

c) Найти уравнение прямой, параллельной к прямой и проходящей через точку (2; 1)

d) Какая кривая описывается уравнением ? Написать каноническое уравнение этой кривой.

Решение:

a) Задача о нахождении точки пересечения двух прямых сводится к отысканию точки, координаты которой являются решением системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом точка пересечения имеет координаты:

c) Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀; y₀) имеет вид:

y –y₀ = k (x – x₀).

Для нахождения углового коэффициента k воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых: . Тогда искомое уравнение прямой: , где угловой коэффициент прямой: . Запишем полученное уравнение прямой в общем виде: или x - 2 y + 3 = 0.

c) В данной задаче воспользуемся условием параллельности двух прямых: k₁ = k₂. Тогда уравнение искомой прямой: , где угловой коэффициент прямой: k₁ = k₂ =2. Запишем полученное уравнение прямой в общем виде: 2 x – y – 3 = 0.

d) Данная кривая является эллипсом. Каноническое уравнение эллипса: . Приведем уравнение к каноническому виду: . Тогда: .

 

Задача 5

Найти производные функций:

а) y = 2 x^{- 3/2}

b) y = x²·cos (5 x+ 1) +

c) y = ln (sin (5 x+ 1))

Решение:

Для нахождения производных функций необходимо воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования.

а) Найдем производную функции y = 2 x^{- 3/2} . Для этого вынесем постоянный множитель за знак производной и воспользуемся формулой из таблицы производных: . Получим:

b) Найдем производную функции y = x²·cos (5x+1) + . Для этого воспользуемся правилами дифференцирования: ; ; и формулами из таблицы производных: , . Функция cos (5 x+ 1) является сложной функцией, где cos (5 x+ 1) = cos (u), u = 5 x+ 1. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции . Аналогично находится производная функций cos (3 x)и ln (4 x). Получим: =

c) Найдем производную функции y = ln (sin (5 x+ 1)). Данная функция является сложной, где y = ln (z), z = sin (u), u = 5 x+ 1. По правилу дифференцирования сложной функции получим . Тогда:

 

Задача 6

Найти вторую производную функции: у = .

Решение:

По определению: .

Найдем производную первого порядка используя правила дифференцирования и формулу . Получим:

= .

Тогда: = = = .

 

Задача 7

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х² функцию и найти ее приближенное значение при х = 0,1.

Решение:

Формула Тейлора в окрестности точки х = 0 имеет вид:

,

где n! = 1·2·3·4·….· n.

Для того, чтобы разложить заданную функцию до членов порядка х², необходимо найти , , . Найдем: ; . Тогда: , , . Получим следующее разложение: . Найдем приближенное значение функции при х = 0,1:

Задача 8

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

Схема исследования функции:

1) Область определения функции, точки разрыва.

2) Интервалы возрастания и убывания функции.

3) Найти точки экстремума.

4) Интервалы выпуклости и вогнутости функции.

5) Найти точки перегиба.

6) Асимптоты графика функции.

На основании проведенного исследования строится график функции.

Область определения функции – вся числовая ось, то есть . Значит, точек разрыва нет.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную: . Производная обращается в нуль при х = 0. При х < 0 производная положительная, а при x > 0 производная отрицательная. Это означает, что функция возрастает на и убывает на . В точке х = 0 функция имеет максимум.

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную функции: . Вторая производная обращается в нуль при . Тогда и . Вторая производная положительна на интервалах: , следовательно на этих интервалах функция вогнута. Вторая производная отрицательна на , тогда функция на этом интервале выпукла. Точки и - это точки перегиба функции.

Найдем асимптоты графика функции. Вертикальных асимптот нет, так как область определения . Найдем наклонную асимптоту . Для этого найдем предел: . Следовательно, наклонной асимптоты нет. Горизонтальная асимптота , где . Тогда y = 0.

Для построения графика вычислим значения функции в найденных точках: , .

Построим график функции:

Задача 9

Найти неопределенные интегралы:

a) ;

b) ;

c) ;

d)

Решение:

a) Для нахождения интеграла можно использовать свойства интегралов: интеграл от разности функций равен разности интегралов; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а также формулу .

.

b) Данный интеграл не является табличным, поэтому для его нахождения можно применить замену переменной. Заменим 1 + 2 x ² на t, то есть t = 1 + 2 x ² . Тогда по правилу вычисления дифференциала , следовательно .

=

c) При вычислении интеграла от дробно-рациональной функции вида можно в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат и сделать замену переменной.

Например, для преобразуем знаменатель подынтегральной функции . Сделаем замену переменной t = x- 2. Тогда х = t+ 2, dx = dt.

.

Получили сумму из двух интегралов. Второй интеграл табличный , где а = 1, а в первом интеграле сделаем замену переменной u = t ² – 1, тогда tdt = du/ 2.

d) Данный интеграл находится методом интегрирования по частям:

.

Пусть . Тогда по формуле интегрирования по частям:

Задача 10

Найти определенные интегралы:

a) ;

b) ;

с) найти площадь фигуры ограниченной кривой и осью абсцисс.

Решение:

a) Для вычисления интеграла используем метод непосредственного интегрирования. В результате получим:

b) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть t = sin (2 x), тогда dt = (sin 2 x) ´dx = 2 ·cos (2 x) dx. Следовательно cos (2 x) dx = dt/ 2. Также необходимо заменить пределы интегрирования, так как произошла замена исходной переменной:

.

с) Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу осью OХ, слева прямой x = a и справа прямой y = b можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница: , где F(x) – первообразная для функции f(x).

Фигура ограничена сверху графиком кривой , снизу осью ОХ. Эта площадь находится как интеграл от функции f(x), а пределы интегрирования – координаты точек пересечения параболы с осью OX. Найдем эти точки, решив уравнение . Корнями данного уравнения являются числа: и . Поэтому нижний предел интегрирования равен 0, а верхний равен 2. Тогда:

 

Задача 11

Найти первые частные производные функций.

a) ;

b) .

Решение:

Частные производные функции двух и более переменных определяется по тем же формулам и правилам, что и функция от одной переменной. Следует помнить одно правило: если по одной переменной дифференцируем функцию, то остальные переменные считаются постоянными в этой функции.

a) Имеем функцию от двух переменных х и у: . Тогда частные производные:

,

b) Данная функция является функцией от трех переменных x, y, z: . Тогда частные производные:

;

;

.

 

Задача 12

Найти градиент функции z (x;y) в точке (х_о, у_о), если z= cos (2 x + 11 y), x₀ = y₀ = π/ 2

Решение:

Градиентом функции z (x;y) называется вектор с координатами (z´_x, z´_y).

Имеем: , . Найдем значения частных производных в точке x₀ = y₀ = π /2:

Градиент функции z в точке (π /2; π /2):

Задача 13

Исследовать на экстремум функцию z = х ² - ху + (у + 1)².

Решение:

Найдем первые частные производные функции: ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем критическую точку, решая систему уравнений: . Отсюда получаем точку М (-2/3; -4/3). Найдем частные производные второго порядка данной функции: , , . Найдем значение > 0, при этом > 0. Следовательно функция имеет минимум в точке М (-2/3; -4/3).

 

Задача 14

Найти общее решение дифференциальных уравнений и проверить правильность найденных решений дифференцированием:

a) ;

b) .

Решение:

Данное дифференциальное уравнение относится к виду , допускающему понижение порядка до тех пор, пока не получим решение уравнения. Для этого необходимо проинтегрировать правую и левую часть уравнения. Полученное уравнение имеет порядок на единицу ниже, чем исходное, то есть: .

a) Решим дифференциальное уравнение первого порядка . Получим:

.

Для того чтобы проверить правильность найденного решения, необходимо найти производную найденной функции: . Получим исходное дифференциальное уравнение. Следовательно найденное решение верно.

b) Решим дифференциальное уравнение второго порядка с помощью двукратного интегрирования . Тогда: , .

Проверим правильность найденного решения. Для этого найдем первую и вторую производную найденной функции. , .

Получим исходное дифференциальное уравнение. Следовательно найденное решение верно.

Задача 15

Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

a)

b)

Решение:

Уравнения вида: называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными. В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое – от у. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: - это общий интеграл.

a) Разделим обе части уравнения на : . Проинтегрируем обе части уравнения и получим: (произвольную постоянную здесь удобно записать именно так), где С > 0. Тогда - общий интеграл исходного уравнения. При делении на мы могли потерять решение y = -1 и x = 1. Так как С > 0, то оно не содержится в общем интеграле. Таким образом данное уравнение имеет особые решения: y = -1 и x = 1.

b) Уравнение вида также сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Решим уравнение: . Поскольку , то . Разделим переменные: . Проинтегрировав обе части уравнения получим: . Выразим у: . Это общее решение дифференциального уравнения.

При разделении переменных произошло деление на , поэтому мы могли потерять решение y = 0. Оно не содержится в общем решении. Таким образом данное уравнение имеет особое решение y = 0.

 

Задача 16

Найти решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами: у" -2 у' + 10 у = 0 с условиями у = 0, у' = 1 при х = 0.

Решение:

Уравнения вида , где p и q постоянные, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Для решения необходимо составить характеристическое уравнение , заменив на соответственно. При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая:

1. корни уравнения k₁ , k₂ - действительные и различные, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

2. корни уравнения k₁ , k₂ - действительные и равные, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

3. корни уравнения k₁ , k₂ - комплексно-сопряженные, то есть , тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решим уравнение . Составим характеристическое уравнение: . Корни уравнения . В этом случае общее решение уравнения имеет вид: .

.

Подставляя начальные условия у = 0, у' = 1 при х = 0 в полученное общее решение и его производную, получаем систему уравнений относительно С₁ и С₂ :

Найденные константы подставляем в общее решение. Получаем искомое частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Задача 17

Найти решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения:

у" - 2 у' + у = 5.

Решение:

Общее решение данного уравнения представим в виде: , где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.

Найдем общее решение однородного уравнения . При решении характеристического уравнения получим корни . Тогда

Частное решение для линейного уравнения, в правой части которого стоит константа, ищется в виде , где А – константа. Подставив это решение в исходное уравнение и учитывая что производная от константы равна нулю, получим А = 5, следовательно .

Общее решение неоднородного уравнения .